Lehrbuch der darstellenden Geometrie

238-240. Perspektive Lagen zweier Kreise einer Ebene. Die Ähnlich-
keitspunkte als Centren, die Chordale und unendlich ferne
Gerade als Achsen .

241

243. Projektion eines Kreises in sich selbst. Polare eines Punktes
und Pol einer Geraden in Bezug auf den Kreis
244-250. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel,
die bei ihr in sich übergehen. Gemeinsame Chordale. Null-
kreise oder Grenzpunkte. Lösung von Aufgaben über die
Involution mittels Kreisbüscheln

251-257. Harmonische oder konjugierte Pole und Polaren des Kreises.
Polare eines Punktes, Pol einer Geraden. Polardreiecke.
Eingeschriebenes Viereck und umgeschriebenes Vierseit
258-263. Schiefer Kreiskegel. Symmetrieebenen. Wechselschnitte. Kreis-
schnitte. Kugeln durch einen Kreisschnitt schneiden noch
einen zweiten Kreis aus

264-267. Centralprojektionen eines Kreises in einen Kreis, bei denen

einer nicht schneidenden Geraden die unendlich ferne Gerade

oder einem inneren Punkte der Mittelpunkt oder drei Punkten

des Originals drei Punkte des Bildes entsprechen

Polygone, die einem Kreise ein- oder umgeschrieben sind.

268. Zwei Vierecke, die einander und zugleich einem Kreise ein-

bezw. umgeschrieben sind

269. Zwei Dreiecke, die einander und zugleich einem Kreise ein-

bezw. umgeschrieben sind

270.

186

187

Pascal'sches Sechseck und Brianchon'sches Sechsseit

271. 272. Sechsecke, die einem Kreise eingeschrieben sind

273-275. Doppelverhältnis von vier Punkten oder Tangenten eines Kreises 189

277. Sechsseite, die einem Kreise umgeschrieben sind .

191

276.

Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des Kreises.

278-280. Definition der Kegelschnitte als ebener Centralprojektionen

des Kreises. Der Kegelschnitt ist eine stetige geschlossene

Kurve. Er bestimmt mit einer Geraden zwei Schnittpunkte,

mit einem Punkte zwei Tangenten

192

281 283. Die drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel und Parabel 193

Pole und Polaren eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser

und Achsen.

284-288. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Polare

eines Punktes; Pol einer Geraden; ihre Konstruktion.

Polardreiecke. Äußere und innere Punkte eines Kegel-

schnittes

195

289-293. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der

harmonischen Polaren durch einen Punkt. Elliptische, hyper-

bolische und parabolische Involution. Konstruktionen. Pro-

jektivität der Grundgebilde, die durch Pol und Polare gleich-

zeitig erzeugt werden

294-296. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes

297-300. Konjugierte Durchmesser und Achsen

Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel

203

301. 302. Projektive Büschel und Reihen in perspektiver und in schiefer

Lage. Erzeugung des Kreises durch Büschel und Reihen. 205

303 -305. Die Erzeugung der Kegelschnitte als Ortskurven durch pro-

jektive Strahlbüschel, als Umhüllungskurven durch projek-

tive Punktreihen

306-309. Bestimmung eines Kegelschnittes durch fünf Punkte, fünf

Tangenten oder fünf gleichwertige Elemente

310-312. Konstruktionen der Kegelschnitte aus fünf Elementen

313-318. Sätze von Pascal und Brianchon und anschließende Kon-

struktionen

319-322. Konstruktion entsprechender Strahlen, der Rechtwinkel- und

Doppelstrahlen zweier projektiver Strahlbüschel an einerlei

Scheitel, sowie entsprechender Punkte, der Gegen- und

Doppelpunkte zweier projektiver Punktreihen auf derselben

Geraden.

323. 324. Projektive Punktreihen und Tangentenbüschel eines Kegel-

schnittes

325. 326. Involution auf dem Kegelschnitt, Mittelpunkt und Achse der-

selben

327. 328. Bestimmung entsprechender und der ausgezeichneten Elemente

in Strahlen- und Punktinvolutionen

329-336. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf

Punkte oder Tangenten gegeben sind. Schnittpunkte mit

einer Geraden. Tangenten aus einem Punkte. Polare eines

Punktes. Pol einer Geraden. Durchmesser und Mittelpunkt.

Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Invo-

lution der Pole und Polaren mit gegebenem Träger

Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel
oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegel-
schnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

339-342. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren

343. 344. Reciprocität in Bezug auf einen Kegelschnitt

345-348. Probleme ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben

zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären

Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente 229

-351. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären

Elementen

349

230

Seite

352. 353. Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene.

Konstruktion eines Kreises aus teilweise imaginären Elementen 233

354. Gemeinsames Elementenpaar zweier Involutionen auf dem-

selben Träger

Perspektive Kegelschnitte. Gemeinsame Elemente zweier Kegel-

schnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten.

355-359. Zwei perspektive Kegelschnitte einer Ebene. Gemeinsame

Polareninvolution am Centrum der Perspektivität, gemein-

same Polinvolution auf der Achse

360. 361 Kegelschnittbüschel. Drei Arten derselben. Perspektivität der

Büschel gleicher Art unter sich. Gemeinsam eingeschriebenes

Viereck; gemeinsames Polardreieck

362. Kegelschnittscharen. Drei Arten derselben. Perspektivität

der Scharen gleicher Art. Gemeinsam umschriebenes Vier-

seit und gemeinsames Polardreiseit

363. Konstruktion des gemeinsamen Polardreiecks eines Kegelschnitt-

büschels mit vier imaginären Grundpunkten

364-366. Die durch ein Büschel (oder eine Schar) von Kegelschnitten

bestimmte Involution von Schnittpunkten (Tangenten) auf

einer Geraden (an einem Punkt). Spezialfall des vollstän-

digen Vierecks (oder Vierseits). Kegelschnitte, die zu den

Doppelelementen der Involution gehören

367. 368. Punktreihen (Tangentenbüschel), die von einem Kegelschnitt-

büschel (einer Kegelschnittschar) auf Strahlen durch die

Grundpunkte (an Punkten auf den Grundstrahlen) bestimmt

werden

369-371. Polaren eines Punktes (Pole einer Geraden) in Bezug auf die

Kegelschnitte eines Büschels (einer Schar). Konjugierte

Punkte (Strahlen)

372-378. Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Schnittpunkte;

Gemeinsame Tangenten; Gerade gleicher Punktinvolution;

Punkte gleicher Strahleninvolution. Gemeinsames Polar-

dreieck

379. 380. Perspektive Lagen zweier Kegelschnitte einer Ebene

381. 382. Polvierecke und Polvierseite

Involutorische Centralprojektion der Kegelschnitte eines Büschels

(einer Schar) in sich selbst. Anwendung

254

385. Darstellung einer durch Centralprojektion eines Kreises er-

zeugten Ellipse als affiner Kurve eines Kreises

255

386. Konstruktion eines Kegelschnittes aus fünf Punkten (Tangenten)

mittels eines perspektiven Kreises

256

387. Durch jeden Kegelschnitt lassen sich unendlich viele Rotations-

kegel legen

257

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

388. Die Brennpunkte der dreierlei Kegelschnitte als Berührungs-

punkte der Kegelschnittebene mit Kugeln, die einem pro-

jizierenden Rotationskegel einbeschrieben sind

258

389. 390. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolu-

tionen. Zugehörige Leitlinien. Brennpunktinvolutionen auf

den Achsen und der unendlich fernen Geraden. Haupt-

oder Brennpunktsachse. Konstruktionen der reellen Brenn-

punkte

391. Brennstrahlen eines Punktes; ihre Winkel mit den Kegelschnitts-

393. Perspektivität eines Kegelschnittes mit einem Kreise um einen

der Brennpunkte

263

394. Tangentenstrecken, die aus einem Brennpunkte unter kon-

stantem Winkel erscheinen ..

265

395. Konstante Summe resp. Differenz der Brennstrahlen der Punkte

einer Ellipse resp. Hyperbel

265

396.

397. Ort der Fußpunkte der aus einem Brennpunkte auf die Tan-

genten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen

398. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei

festen Tangenten bei der Parabel und mit den Asymptoten

400. Konfokale Kegelschnitte .

268

402.

Krümmungskreise der Kegelschnitte.

401. Perspektivität zweier Kegelschnitte einer Ebene aus einem ge-

meinsamen Punkte als Centrum; Berührung erster Ordnung.

Eine gemeinsame Sehne als Achse und einer ihrer Endpunkte

als Centrum der Perspektivität; Berührung zweiter Ordnung.

Spezialfall der Berührung dritter Ordnung

403. Berührung zweiter Ordnung eines Kreises mit einem Kegel-

schnitt. Der Krümmungskreis in gegebenem Punkte und seine

Bestimmungsstücke

404-407. Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktes aus den Achsen

408

269

270

eines Kegelschnittes und seiner Tangente im gegebenen Punkte 272

-411. Konstruktionen der Krümmungsmittelpunkte für die Endpunkte

konjugierter Durchmesser und die Scheitel eines Kegel-

schnittes

412.

Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes für irgend einen

Punkt eines beliebig gegebenen Kegelschnittes.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte. Spezielle Konstruktionen.

413. 414. Konstantes Produkt der Strecken, die auf zwei Paralleltangenten

eines Kegelschnittes von ihren Berührungspunkten bis zu einer

beweglichen Tangente reichen. Ableitung der Gleichungen

der Ellipse und Hyperbel. Mittelpunktsabstände der Brenn-

punkte.

415-418. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen (mittels des ein- und

umgeschriebenen Kreises). Tangenten, Normalen. Konju-

gierter Durchmesser zu einem gegebenen. Bestimmung der

Achsen aus konjugierten Durchmessern. Mechanische Er-

419-421. Gleichheit der Abschnitte einer Geraden zwischen einer Hy-

perbel und ihren Asymptoten. Halbierung der Tangenten-

strecke zwischen den Asymptoten durch den Berührungspunkt.

Konstanter Flächeninhalt des von diesen Linien begrenzten

Dreiecks. Asymptotengleichung der Hyperbel. Gleichseitige

Hyperbel

422. 423. Halbierung der Strecke zwischen Sehnenmitte und Pol durch

die Parabel. Teilung der von einem Punkte an die Parabel

gezogenen Tangenten nach demselben Verhältnis durch eine

dritte Tangente. Gleichung der Parabel

VI. Kapitel. Ebene und Raumkurven.

Unendlich kleine Gröfsen. Erzeugung ebener Kurven.

424-426. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Abhängig-

keit unendlich kleiner Größen voneinander. Ordnungen

derselben. Bestimmte Grenzwerte. Unbegrenzte Teilung.

Beispiele geometrischer unendlich kleiner Größen verschie-

dener Ordnungen

428.

427. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten

Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement. Stetigkeit. Se-

kante, Tangente. Stetigkeit in Bezug auf die Tangente

429. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbar-

tangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetig-

keit als projektive Eigenschaft. Asymptoten

430. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs-
und Drehungssinn des Punktes resp. der zugehörigen Tan-
gente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, Rück-
kehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt, isolierter Punkt.

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

431. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten der-