=

Tafelneigung b berühren nach 108 einen Kreis mit dem Mittelpunkt P'. Sein Radius ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PPM, dessen andere Kathete gleich dem Tafelabstand PP' ist und dem Winkel b gegenüberliegt.

Die Spur der gesuchten Seite A ist also die von S an unseren Kreis gelegte Tangente b. Die Tangente b, liefert in unserer Zeichnung ein Dreikant mit dem Winkel 2R-a, dagegen liefert die Verlängerung von b, über 8 hinaus, nämlich b2, mit a und e ein Dreikant, welches die gegebenen drei Stücke B, a, b besitzt. Es kann, ganz wie in der vorhergehenden Nummer, zwei oder keine oder eine Lösung geben, je nachdem S außerhalb, innerhalb oder auf dem Kreise um P' liegt. Mit b ist Seite abgefunden, während sich die wahre Größe von A durch Niederlegen in die Tafelebene ergiebt. (MPo = M^P^. Kontrolle: SP1 = SPo.).

Δ

132. Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Winkeln a, b, c. 1. Lösung (Fig. 103). Wir legen eine Seite, etwa A, in die Grundrißebene, und wählen die Aufrißebene senkrecht zur Kante c,

so daß die Ebene der Seite B die Kante c zur ersten, die Gerade, die mit der x-Achse den Winkel e einschließt, zur zweiten Spur hat. Die gesuchte Seite г muß dann mit den Ebenen A resp. B die Winkel b resp. a einschließen, und kann noch durch einen beliebigen Punkt, etwa den Punkt P in П2, gelegt werden. Damit A den Winkel b bildet, so muß sie den Kegel berühren, der durch Rotation von PQ um die Achse PP entsteht (PQP = b). Ganz ebenso muß den Kegel berühren, der durch Rotation von PR um die Achse PF entsteht (PRF = ▲ a, PF | CF). Es sind also die gemeinsamen Tangentialebenen der beiden Kegel mit den Achsen PP' und PF zu bestimmen und verfahren wir dabei wie in 114. Wir denken uns nämlich aus P' und F auf die gesuchte Tangentialebene die beiden. Lote gefällt. Die Verbindungslinie ihrer Fußpunkte ist eine gemeinsame Tangente t beider Kegel, ihr Schnittpunkt H mit PF ist ihr zweiter Spurpunkt und folglich PH die zweite Spurlinie der gesuchten Seite г. Um II wirklich zu konstruieren, suchen wir die um PF niedergelegte Tangente to, deren Abstände von P' und F gleich sind den Abständen dieser Punkte von den Geraden PQ und PR respective. Die Kante b, d. h. die erste Spur der Seite г, findet man nun als Tangente aus B an den ersten Spurkreis des Kegels, der durch Rotation von PQ um die Achse PP' gebildet wurde. Die Kante a = SA; legt man noch a um c resp. b nieder, so erhält man die wahre Größe der Seiten B und г.

1

133. 2. Lösung (Fig. 104). Man zeichne zunächst ein Dreikant mit den drei Seiten: A1 =2R-a, B1 = 2R — b, г1 = 2R — c, indem man ganz wie in 126 zu Werke geht. Dann wähle man auf den Kanten aլ, Ել, c. desselben die Punkte L, M, N respective, und errichte in ihnen Ebenen senkrecht zu den bezüglichen Kanten. Bei geeigneter Wahl von L, M, N liegt der Schnittpunkt S dieser Ebenen im Innern des Dreikantes a, b, c1; die Ebenen schneiden sich dann in den Kanten des Polardreikantes mit dem Scheitel S, das die vorgeschriebenen Winkel a, b, c besitzt. In der Figur ist die Spur AB der in N auf c1 normalen Ebene wie früher bestimmt. Die Spuren der in I auf a, und in M auf b, normalen Ebenen sind LK und MK; sie schneiden aus den Seiten B, resp. 1 die Geraden LH resp. MJ aus, die in den umgelegten Seiten zu LH, und MJ werden. Das gesuchte Dreikant hat den Scheitel S und die Kanten SJ, SH, SK, die auf den Seiten A,, B1,П, respective senkrecht stehen. Die Seitenflächen unseres Dreikantes sind HSJN, JSKM und KSHL, deren wahre Größe wir durch Umlegen in die Zeichenebene finden. So erhält man KS JM, indem man SK und JJKM zieht,

Δ

J_M=J°M macht und SJ durch den Spurpunkt von JS, d. h. durch ABX J'S' zieht; ganz ebenso findet man KS HALL MJS=R, LLHÄS1 =R, KS1 = KS1). Von dem Vierecke SJNH kennt man die wahre Länge aller Seiten und die Winkel SJN=R und SHN=R und kann also die wahre Größe SJANAH zeichnen

=

J2N1 =J®N®, HINAHN, HAS HS). Damit ist dann La=LH_SK, ≤b= LJ_S_K und e=JSH gefunden. 134. Nachdem wir Dreikante aus Seiten und Winkeln konstruiert haben, könnten wir solche auch aus anderen Bestimmungsstücken konstruiren. Es wird jedoch in solchen Fällen öfters geboten sein, die Formeln der sphärischen Trigonometrie zu benutzen, um zu solchen Bestimmungsstücken zu gelangen, die ein einfaches Zeichnen ermöglichen. Bei drei beliebig gewählten Bestimmungsstücken wird die Aufgabe häufig unlösbar, nämlich dann, wenn sie von Gleichungen höheren Grades abhängt. Um hier ein konstruierbares Beispiel zu geben, soll ein Dreikant aus einer Seite A, dem gegenüberliegenden Winkel a und dem Neigungswinkel der Kante a gegen die Seite A La A α — gezeichnet werden.

Wir errichten in einem Punkte A der Kante a eine zu ihr senkrechte Ebene E, die die Kanten b und c resp. in B und C schneidet (Fig. 105). Verschiebt man A auf a, so verschiebt sich auch B auf und C auf c, so daß durch geeignete Wahl von A die Linie

Le
R

·Mo

=

=

BC eine vorgeschriebene Länge erhält. Läßt man nun A mit der Zeichenebene zusammenfallen, nimmt in dieser BC beliebig an und legt die Ebene E um ihre Spur BC um, so muß man zwei Dreiecke CBS und CBA, mit folgenden Eigenschaften erhalten. BSC LA und L BAC La; die Lote aus A und S auf BC treffen diese Linie in dem gleichen Punkte F, da a BC und FSA = a. Man konstruiere also über BC als Sehne zwei Kreise, von denen der erstere den Winkel A. der letztere den Winkel a als Peripheriewinkel Dann sind S und 4, auf diesen Kreisen so zu bestimmen, daß 4,81 BC und 4F: SF sin a ist.

==

faßt.

und NS2 NK2 KS2 NJ2 + JC2,

also durch Subtraktion:

=

=

NJ2,

wobei LR = ML-MJ und KQ = NK — NJ ist. Berücksichtigt man noch die Relation LJ: KJ sin a, so folgt

schließlich:

=

sin a=LJ: KJ = KQ: LR。.

0

MR MJ und NQ= NJ sind bekannt, es gilt also nur noch JL, und JK mit Hilfe der letzten Gleichung zu finden. Trägt man aber im Punkte J die Strecke JR JR, so an, daß ▲ R°JB = a ist, zieht in Ro eine Senkrechte zu JR° und in Q eine Senkrechte zu JQ, die sich in O schneiden, so liegt K auf einer zu JRo durch O gezogenen Parallelen und Zo auf einem von K auf JRo gefällten

Lote. In der That ergiebt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke 1JK und QKO sofort:

LJ: JK = QK: KO = QK: LR。.

0

Hiermit ist F4 = JL bekannt und die Kanten des gesuchten Dreikantes können unmittelbar gezeichnet werden.

Für das Umlegen der Seiten B und

daB CA CA und CASA, sowie

SA ist.

=

genügt es zu bemerken, BABA und BA

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

135. Unter einem Vielflach oder Polyëder ist ein räumliches Gebilde zu verstehen, das von ebenen Vielecken begrenzt wird und überall geschlossen ist. Die ebenen Vielecke heissen die Seitenflächen oder kurz Seiten, ihre Seitenlinien die Kanten des Vielflachs. In jeder Kante stoßen zwei Seitenflächen aneinander. Die Eckpunkte jener ebenen Vielecke sind zugleich die Ecken des Vielflachs, in denen also mindestens drei Kanten und ebensoviele Seitenflächen zusammenstossen. Zwei Vielflache, die in den bezüglichen Seitenflächen einerseits und in den bezüglichen körperlichen Ecken andererseits übereinstimmen, sind kongruent resp. symmetrisch.

Zwischen der Anzahl der Ecken, der Anzahl der Seitenflächen. und der Anzahl der Kanten eines Vielflachs besteht eine Beziehung, die Euler abgeleitet hat. Sie lautet: Beim Vielflach ist die Zahl der Seiten vermehrt um die Zahl der Ecken gleich der Zahl der Kanten vermehrt um 2.

Zum Beweise gehen wir von einem Vielflach mit F Flächen, E Ecken und K Kanten aus, nehmen von demselben eine Seitenfläche nach der anderen weg, bis zuletzt nur noch eine einzige Fläche übrig bleibt, und sehen zu, welche Veränderung hierbei die Zahl: F÷E - K erfährt. Bei Beseitigung der ersten Fläche reduziert sich diese Zahl um eine Einheit. Es entsteht nämlich dadurch ein offenes Vielflach, das einen freien Rand besitzt; die Zahl der Flächen hat sich dabei um 1 vermindert, die der Kanten und Ecken jedoch nicht. Freilich gehören diese teilweise dem Rande des offenen Vielflachs an. Bei Beseitigung jeder weiteren Fläche reduziert sich jene Zahl nicht mehr. Denn beim Abtrennen einer Seitenfläche, die n aufeinanderfolgende Kanten des freien Randes enthält, vermindert sich F um 1, K um n und E um (n-1). Nach der Ausführung von (F1) Operationen wird also die obige Zahl sich nur um 1 vermindert haben, so daß sie dann