SK, SL, SL gegeben (Fig. 91). Es soll sich zunächst darum handeln, eine der vier im allgemeinen möglichen gemeinsamen Berührungsebenen der Kegel und 2 zu konstruieren. Die übrigen können dann auf analoge Weise gefunden werden.

Wir fixieren auf a und b willkürlich zwei Punkte A und B, etwa die Schnittpunkte mit der Projektionsachse r, und denken uns aus ihnen auf die gesuchte Berührungsebene T die Lote AC und BD gefällt, deren Fußpunkte C und D auf den Berührungslinien liegen (vergl. 104). Die Verbindungslinie CD trifft die Achse r und, um æ in П, umgelegt, berührt sie in C, und D, die beiden Kreise, welche um A und B mit den Radien AC und BC beschrieben sind

0

(AC = AK1, BD = BL1, AK, SK1, BL, SL1). O= CD x x ist 0: der Spurpunkt von CD und folglich OS die erste Spur t, von T; man findet O als einen Ähnlichkeitspunkt der erwähnten beiden Kreise (vergl. 4) und hierauf ihre gemeinsame Tangente CD. Der Punkt D (welcher mit S verbunden die Berührungslinie h von T auf dem Kegel 2 ergiebt) findet sich auf dem Kreise, welcher durch Rotation des Punktes L, um die Achse b entsteht. Die erste Projektion dieses Kreises ist sein horizontaler Durchmesser L, L; auf diesem findet man daher den Grundriß D' (DDI) und hieraus h' = SD'. Wir suchen den Spurpunkt H2 der Berührungslinie h, um die zweite Spur von T als t2 = OH, darzustellen; er liegt senkrecht über H x und sein erster Tafelabstand II, wird gewonnen, indem man den ihn enthaltenden Kegelkreis in TT, nieder

=

legt. Der horizontale Durchmesser dieses Kreises geht durch H,' normal zu 6 und wird von den horizontalen Mantellinien in J und J begrenzt.

Symmetrisch zu T in Bezug auf TT, liegt eine zweite gemeinsame Tangentialebene; ihre erste Spur fällt mit t, zusammen, die zweite Spur bildet in entgegengesetztem Sinne denselben Winkel mit wie t. Ist 0, der zweite Ähnlichkeitspunkt der um 4 und B beschriebenen Kreise, so ist OS die gemeinsame erste Spur zweier weiterer Tangentialebenen, welche wiederum zu П1 symmetrisch sind und deren zweite Spuren folglich entgegengesetzt gleiche Winkel mit der Achse a einschließen. Diese Spurlinien sind in die Figur ebenfalls eingetragen.

Die gegebenen Kegel haben nur dann vier getrennte Tangentialebenen gemein, wenn die Linien OS und O'S beide außerhalb derselben liegen. Umschließen die Kegelflächen eine dieser Linien, oder beide, so kommen zwei, resp. alle vier gemeinsamen Tangentialebenen in Wegfall. Den Übergang von einer der hier unterschiedenen Möglichkeiten zur anderen vermitteln solche Fälle, wo die gegebenen Kegel selbst einander längs einer Kante berühren und mithin die bezügliche Tangentialebene (doppelt zählend) gemeinsam haben.

Es mag noch erwähnt werden, daß die Bestimmung der gemeinsamen Tangentialebenen zweier koncentrischer Rotationskegel auch auf die der gemeinsamen Erzeugenden ihrer Polarkegel zurückgeführt werden kann (vergl. 105).

115. Das in 113 gegebene Verfahren läßt sich, natürlich mit gewissen Abkürzungen, auf die schon in 111 behandelte Aufgabe anwenden: die Geraden zu bestimmen, welche durch einen. gegebenen Punkt unter gegebenen Neigungen gegen die Tafeln gezogen werden können. Die zum gegebenen Punkte P und den gegebenen Winkeln 7, und 1⁄2 in П, und П2 gehörigen Neigungskreise k1 und k2 bestimmen zwei Rotationskegel mit der Spitze P, deren gemeinsame Erzeugenden die Lösungen des Problems bilden. Die Achsen PP' und PP" dieser Kegel liegen in einer zur Projektionsachse r senkrechten Ebene П,, welche als Seitenriẞebene zu benutzen ist. Damit nimmt die Aufgabe, was die Darstellung der dritten Projektionen der gesuchten Geraden betrifft, dieselbe Form an, wie in 113 für die ersten Projektionen. Zur Bestimmung der ersten und zweiten Projektionen dient hier die Bemerkung, daß die bezüglichen Spurpunkte auf den Neigungskreisen k, und k liegen müssen.

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116. In entsprechender Weise kann die Aufgabe erledigt werden: die Ebenen zu finden, welche durch einen gegebenen Punkt P unter gegebenen Tafelneigungen gelegt werden können. Diese Ebenen müssen die beiden Kegel gleichzeitig berühren, welche durch den Punkt P als Spitze und die zu ihr und zu den gegebenen Winkeln & und ε in П1 und П2 gehörigen Neigungskreise k, und k, bestimmt sind. Man benutze wiederum die durch P gelegte Seitenrißebene П. Hat man in ihr, wie in 114 für П,, die paarweise zusammenfallenden dritten Ebenenspuren gefunden, so hat man aus den Schnittpunkten derselben mit den Nebenachsen y und z nur noch die Tangenten an die Kreise k1 und k zu legen; diese bilden die ersten und zweiten Spuren der gesuchten Ebenen. Man kann die Aufgabe auch auf die in 111 gelöste zurückführen, indem man zuerst die Geraden durch P bestimmt, welche die Tafelneigungen R & und R& haben und zu ihnen Normalebenen durch P legt.

117. Um die Geraden darzustellen, welche zwei gegebene windschiefe Gerade k und i unter gegebenen Winkeln a und schneiden, bestimme man zuerst die Richtungen derselben auf die folgende Art. Man ziehe durch einen beliebigen. Punkt S auf k eine Parallele zu i. Die Schnittlinien der koncentrischen Kegel und 2, welche durch Rotation des Winkels a um den Schenkel k und des Winkels um den Schenkel 7 erzeugt werden, wenn die Scheitel in S vereinigt liegen, geben die fraglichen Richtungen an. Man lege daher k und 7 in П, nieder (oder drehe sie zu П, parallel), wende zur Bestimmung der gemeinsamen Kanten der mitgedrehten Kegel das Verfahren in 113 an und drehe hierauf zurück. Schließlich sind in den gefundenen Richtungen die gemeinsamen Sekanten der Geraden i und k (nach 77) zu konstruieren.

118. In ähnlicher Weise erhält man die Ebenen durch einen gegebenen Punkt, welche mit zwei gegebenen Geraden k und i gegebene Neigungswinkel a und einschließen. Auch diese Aufgabe hat, wie die vorangehenden, im allgemeinen vier Lösungen. Ist eine Parallele zu i, welche k schneidet, und sind und 2 die wie vorher bestimmten Kegel, so geben deren gemeinsame Tangentialebenen die Stellungen an, welche die der Aufgabe genügenden Ebenen haben. Letztere werden also als die Parallelebenen zu den fraglichen Berührungsebenen durch den vorgegebenen Punkt P gefunden. Statt aber diese Berührungsebenen nach 114 zu bestimmen, empfiehlt es sich im vorliegenden.

Falle, die Polarkegel von und 2 nach 113 miteinander zu schneiden und zu ihren gemeinsamen Erzeugenden durch P die Normalebenen zu legen. Man gelangt so kürzer zum Ziele.

C

119. Ein Dreieck ABC, dessen erste Projektion gegeben ist, soll so bestimmt werden, daß seine zweite Projektion einem gegebenen Dreieck 4,B,C, ähnlich wird. Die Aufgabe läßt die Lage des Dreiecks ABC insofern unbestimmt, als eine Parallelverschiebung desselben in der Richtung senkrecht zu П, belanglos ist. Man darf daher den ersten Tafelabstand eines Eckpunktes, etwa 4, willkürlich fixieren, indem man A" auf der durch A gezogenen Normalen zur Achse z giebt. Diese Normale teile die Strecke BC im Punkte D' (Fig. 92), die entsprechende Strecke B"C" im Punkte D"; dann muß B'"D": D'C" = B'D': D'C' sein. Entspricht andererseits im Dreieck A,B,C, dem

Ꮯ

Fig. 92.

B,

wegen der vorausgesetzten Man teile daher die Seite

Punkte D' der Punkt D1, so hat man Ähnlichkeit: BD : D1C1 = B'D': D'C". B11 nach dem angegebenen Verhältnis durch den Punkt D1; zeichne ferner AB11 in solcher Lage, daß Д, mit A" zusammenfällt, D1 auf 'A' und die einander zugeordneten Punkte B' und B, auf dieselbe Seite von AA" zu liegen kommen. Endlich schneide man die Geraden AB1 und Ấ′′C1 mit den Vertikalen durch B und C in B und C". AA"B"C" ist der Aufriß des gesuchten Dreiecks.

120. Ein Dreieck, dessen zweite Projektion A'B'C" gegeben ist, soll so bestimmt werden, daß es einem gegebenen Dreieck ähnlich wird. Von letzterem darf zur Vereinfachung angenommen werden, daß zwei Ecken mit den entsprechenden Ecken A" und B" zusammenfallen; die dritte Ecke sei dann C1. Auch diese Aufgabe läßt aus demselben Grunde wie die vorige, hinsichtlich der Lage des gesuchten Dreiecks ein Bestimmungsstück willkürlich. Man denke sich ein der Aufgabe genügendes Dreieck ABC gefunden und in seiner wahren Gestalt durch Niederlegung um die zweite Spur e, seiner Ebene als ▲ 4oBoC® dargestellt (Fig. 93). Der Strahl C"Co schneide e, in U und die

-

Seiten "B" und 4°B° in den Punkten X und Xo. Dieselben Seiten mögen von den Parallelen zu e, durch C" und Co in den Punkten Y" und Yo geschnitten werden, einander aber in V (auf e2) treffen. Unserer Voraussetzung zufolge ist AA"B"C" affin und affingelegen zu A4°B°C°; die Affinitätsachse ist e, und die Affinitätsstrahlen liegen normal zu ihr. Andererseits ist ▲ A°B°C0 dem AA'B'C, ähnlich, letzteres also zu AA"B"C" affin und da zwei Paare entsprechender Punkte zusammenfallen - auch affingelegen; die Affinitätsachse ist hier A"B". In demselben Zusammenhange,

Fig. 93.

Yo

=

wie die genannten drei Dreiecke stehen auch die drei rechtwinkligen Dreiecke XC"Y, X°C°Y° und ICY. Hieraus folgen die Gleichungen: UX°: UV = C°X°: Coyo C, X: C, Y und UX: UF =C"X: C"Y. Da aber X und X einander als Aufriß und Niederlegung eines in der Ebene ABC gelegenen Punktes entsprechen, ist UX > UX, folglich CX: CY> C'X: C'Y.

Aus dieser Überlegung ergiebt sich die Konstruktion. Man bestimme (nach 26) die affinen rechten Winkel an den Punkten