Drehachse und seine Entfernung ST von dieser ist nach früherem gleich ST, wo S0 den um ST seitwärts umgelegten Scheitel bedeutet. Ist So gefunden, so hat man a G1SH. Die Halbierung des Winkels a kann nur nach seiner Darstellung in wahrer Größe, also in der Umlegung vollzogen werden. Die umgelegte Halbierungslinie ergiebt auf der Drehachse den ersten Spurpunkt J, woraus dann und i" folgen. 94. Um den Winkel & zweier durch ihre Spuren gegebenen Ebenen A und B zu finden, zeichnen wir deren Schnittlinie g aus ihren Spurpunkten G1 = a, b, und G2 = a2 × b2 (Fig. 75). Eine Normalebene N zu g, der Einfachheit halber durch den Punkt G," der Achse gelegt, schneidet A und B in den Schenkeln des gesuchten Winkels ε. Ihre zweite Spur n ist senkrecht zu g" zu ziehen und liefert auf a resp. b2 die zweiten Spurpunkte Rund 7 der Schenkel. Um n, mag der Winkel in die R Aufrißebene umgelegt werden. Sein Scheitel S ist der Fußpunkt des von G," auf g gefällten Lotes. Letzteres steht auf n, senkrecht, fällt also nach der Drehung mit. g" zusammen. Indem wir g um g" niederlegen und normal zur erhaltenen Geraden go die Strecke G,"So ziehen, finden wir die Länge des genannten Lotes und machen G,"S, ihr gleich. Schließlich ist RST der gesuchte Winkel oder dessen Nebenwinkel. སྙན་ T Fig. 75. Um die zu A und B gehörigen Winkelhalbierungsebenen und 4 zu bestimmen, schneide man n, mit den beiden Geraden, welche den umgelegten Winkel & und seinen Nebenwinkel halbieren in den Punkten U und V. Die zweiten Spuren c, und da sind dann die Verbindungslinien G, U und GV; aus ihren Schnittpunkten. mit der Achse sind die ersten Spuren c, und d nach dem Punkte G1 zu ziehen. = Der Winkel zweier Ebenen ist dem von ihren Normalen eingeschlossenen gleich. Man kann daher bei seiner Bestimmung auch n' S X von diesen ausgehen und die in 93 gegebene Methode anwenden. Als Schnittpunkt der zu betrachtenden Normalen kann jeder beliebige Punkt gewählt werden. 95. Der Neigungswinkel a einer Gera den g gegen eine Ebene E ergänzt den Winkel zwischen g und der Ebenennormale zu einem Rechten. Um seine wahre Größe zu ermitteln, ziehe man daher durch irgend einen auf g angenommenen Punkt S (Fig. 76) die Normale n zu E und bestimme den Winkel = Lgn nach dem in 93 angegebenen Verfahren, etwa durch Umlegung um B B Fig. 76. B Fig. 77. Umlegung in П um a auffassen. ecks ABC wird die wahre Gestalt desselben zeigen, der Grundriß in die Gerade a' fallen. Der Eckpunkt A beschreibt einen Kreisbogen, dessen Ebene auf a normal steht und dessen Aufriẞ folglich in die zu a" senkrechte Linie A"G" fällt. Der Radius dieses Bogens ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten AF (A-π) und FG = (F− a); erstere erscheint mit ihrer wahren Länge im Grundriß AF", letztere im Aufriß F"G", die eine als Lot zu a', die andere als Lot zu a" (F" fällt mit A" zusammen). Dieses rechtwinklige Dreieck AFG sowie die Bahnlinie AA des Punktes A zeichnen wir um FG in die Hilfsebene umgelegt im Aufriß und erhalten in 4" den Aufriß des gedrehten Punktes 4. Die weitere Konstruktion erfolgt mit Benutzung der Affinität. Offenbar sind nämlich AA"B"C" und das zu zeichnende "B"C" affine und affingelegene Figuren; a" ist die Affinitätsachse und die entsprechenden Punkte A′′ und ̧′′ liefern die (hier zur Achse a' senkrechte) Richtung der Affinitätsstrahlen. Nach dem auseinandergesetzten Verfahren kann die wahre Gestalt jeder durch ihre Projektionen gegebenen ebenen Figur ermittelt werden. = 97. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g. P und g seien durch ihre Projektionen gegeben. Ein erster Weg zur Ermittelung des Abstandes PQ (Pg) ist folgender. Man bestimme mittels zweier Hauptlinien h1 und h, die Normalebene N zu g, welche den Punkt P enthält, indem man als Projektionen von h, und h durch P resp. P" je eine Parallele zur Achse und eine Normale zur gleichnamigen Projektion von g zieht (Fig. 78). Hierauf schneide man N mit g nach dem in 72 erklärten Verfahren in Q und bestimme die wahre Länge von PQ (Pg) nach der in 86 angeführten Methode als PQ. = Δ Fig. 78. " 98. Wir geben eine zweite Lösung der vorigen Aufgabe an, welche auf der in 96 entwickelten Methode der Drehung beruht. Als Achse a ziehen wir diejenige Parallele zu П, durch den Punkt P, welche die Gerade g (im Punkte A, Fig. 79) trifft. Um dieselbe werde die Gerade g und mit ihr das von P auf sie gefällte Lot PQ gedreht, bis beide zur Aufriẞtafel parallel werden. Die gedrehte Gerade g und das gedrehte Lot PQ erscheinen im Aufriß zu einander rechtwinklig und letzteres in wahrer Länge. Die Drehung selbst wird an einem auf g beliebig angenommenen Punkte B (wie in 96) ausgeführt, hierauf g" A′′B ̧” und senkrecht dazu P'Q" gezogen. Q" findet man durch Zurückdrehen in die ursprüngliche Lage, wobei der von Q beschriebene Kreisbogen sich als Senkrechte zu a" projiziert. Hieraus erhält man Q, sowie beide Projektionen von PQ. = 99. Das in 88 angegebene Verfahren, um Lote auf eine durch ihre Spurlinien gegebene Ebene zu fällen, läßt sich umgekehrt an wenden, um auf ihr Normalen in gegebenen Punkten zu errichten. Wir führen gegenwärtig eine Modifikation desselben an, welche zur Errichtung einer Normalen von gegebener Länge auf einer Dreiecksebene in vorgeschriebenem Punkte P dient. Man denke sich durch P parallel zur Aufriẞtafel eine Hilfsebene TT gelegt und zeichne die Hauptlinie h, welche sie auf der Ebene des Dreiecks ABC ausschneidet. (Fig. 80). Ferner denke man sich zu h eine Normalebene N durch P, welche auf ABC eine Falllinie fausschneidet; es wird dann f"h" sein. Die gesuchte Normale ist in N senkrecht zu f zu ziehen. Man drehe also die Ebene N um ihre in П gelegene Hilfsspur n, bis sie mit П zur Deckung kommt, wobei zu beachten ist, daß der Grundriß n' dieser Hilfsspur mit h', der Aufriß n" mit f" zusammenfällt. Man erhält zuerst die gedrehte Falllinie f im Aufriß, indem man einen Punkt von f, etwa F auf AB, der Drehung unterwirft, sodann die gedrehte Normale, welcher die gegebene Länge 1 = P"Q" zu erteilen ist. Beim Zurückdrehen beschreibt der Aufriß des Endpunktes die Strecke "Q"; senkrecht unter Q" und um dieselbe Strecke von n' entfernt findet man Q'. Die zu PQ entgegengesetzt gerichtete Normale sei PR. Einer der Endpunkte (in der Figur R) liegt mit F auf derselben Seite der Drehachse n, der andere (Q) auf der entgegengesetzten. Man beachte, daß bei ihren Grundrissen das Entsprechende bezüglich der Geraden n' statthaben muß. 100. Für spätere Anwendungen ist die Lösung der Aufgabe von Wichtigkeit: einen Punkt P um eine Tafelparallele a durch einen gegebenen Winkel o P P ·a' zu drehen. Durch die Achse a, welche etwa zur Aufrißtafel parallel angenommen werden mag, lege man eine vertikale Hilfsebene П und durch P eine Ebene N normal zu a, welche die Bahnlinie dieses Punktes enthält. N schneidet in П die Hilfsspurn aus ("a"), Eine Seitenansicht, die man durch Umlegen von N in П gewinnt, zeigt die Bahnlinie in ihrer wahren. Gestalt, nämlich als den um Q" =n" × a" durch die Seitenansicht Po von P beschriebenen Kreis. Trägt man daher an Q'Po in vorgeschriebenem Drehungssinne den Winkel = PQ"P" an, so ist P die Seitenansicht des gedrehten Punktes. Hieraus ergiebt sich dessen Aufriß P", wenn PP" normal zu n" gezogen, und der Grundriß P, wenn sein Abstand von a' derselben Strecke gleichgemacht wird. Diese letzten Operationen entsprechen dem Wiederaufrichten der umgelegten Ebene N. Fig. 81. 101. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden ist diejenige Strecke, welche auf beiden rechtwinklig steht. Es werde durch die eine Gerade g eine Parallelebene E zur anderen ROHN u. PAPPERITZ. I. 5 |