am Grundriß AC die Strecke C'BC"B" unter rechtem Winkel an, so giebt AB die Streckenlänge an. Das Dreieck ABC' bildet den Grundriß des durch Drehung um AC in horizontale Lage gebrachten Dreiecks ABC. Unser Verfahren ist also gleichbedeutend mit der Paralleldrehung der Strecke zu einer Tafel um die durch einen Endpunkt gezogene Parallele zur bezüglichen Projektion.

86. Endlich kann auch folgende Methode angewandt werden. Man trage (Fig. 68) an die Strecke B"C" im Aufriß als andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC

Fig. 68.

=

die Strecke C"A" B'A' horizontal an und ziehe die Hypotenuse "B", welche die gesuchte Strecke darstellt.

"B" kann als zweite Projektion der Strecke AB in einer zur zweiten Tafel parallelen Lage angesehen werden, welche sie durch Drehung um die Projizierende des Endpunktes B erhält. Bei einer solchen Drehung beschreibt der Punkt 4 einen Kreisbogen A4 in horizontaler Ebene, sein Grundriß A' also einen kongruenten Kreisbogen AA um B', dessen Endradius B'Azur Achse parallel liegt; der Aufriß " dagegen bewegt sich geradlinig auf der Strecke "A", deren Endpunkt 4" sich senkrecht über A findet. Dieses dritte Verfahren besteht in der Paralleldrehung der Strecke zu einer Tafel um das aus einem Endpunkt auf die andere Tafel gefällte Lot. Bei jedem der drei Verfahren zur Streckenbestimmung hat man die Wahl, ob man vom Grundriß oder Aufriß, vom einen oder anderen Endpunkt ausgehen, sowie auch ob man die Drehung im einen oder anderen Sinne vornehmen will.

87. Die Teilung einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke AB nach gegebenem Verhältnis erfolgt auf Grund des Satzes, daß sich parallele Strecken, also insbesondere die Teilstrecken einer Geraden, wie ihre Projektionen verhalten (vergl. 6 d). Man teilt demnach die Projektionen A'B' und "B" nach dem vorgeschriebenen Verhältnis. Handelt es sich darum, die Teile in wahrer Größe zu finden, so muß eine der in 84-86 gegebenen Methoden angewandt werden.

88. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Ebene E kann nach 82 in Verbindung mit 84 bestimmt werden.

Ebenso einfach (und wenn nur nach der Größe des Abstandes gefragt wird, kürzer) ist folgender Weg. Durch das von P auf E zu fallende Lot denke man

N

sich eine Normalebene N zu der Spur e, gelegt, ziehe also (Fig. 69) n, senkrecht zu e durch P'" und n, senkrecht zur Achse; n fällt dann mit zusammen. schneidet E in einer Falllinie f mit den Spurpunkten Fund F. Man lege dieselbe nebst dem Punkte P um ʼn in П, um. Dies geschieht, indem man normal zun, die Strecke NF1° = NF1 und die Strecke PP-P'Pr anträgt die Verbindungs

2

2

linie FF, ist die umgelegte Falllinie f. Zu ihr ist dann aus P die Normale PoQ°

= zu ziehen, welche den gesuchten Abstand in der Umlegung darstellt. Aus der Umlegung Q° des Fußpunktes Q findet man rückwärts Q auf ' durch eine zu n, normale Gerade Q°Q" und hieraus auf der Normalen zu

und einer Geraden g gegen 72 die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den spitzen Winkel, welchen sie mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene einschließt. Man erhält den Winkel 71 = LG2G, G2 durch Umlegung in die zweite Tafel um die zweite Spur GG der Winkelebene. Hierbei beschreibt der Scheitel G1 in der Horizontalebene den auf der Achse endigenden Kreisbogen G, G° um G2 und folglich ist ▲ G,G,G,' =71 Analog findet man den Winkel 2 = LGGG" durch Umlegung in die erste Tafel als GGG," (Fig. 70). Unter allen Winkeln,

Fig. 70.

1

welche eine Gerade mit den Geraden einer Ebene einschließt, ist ihr Neigungswinkel gegen dieselbe am kleinsten. Für jede Lage von g ist daher 72 GG, G; da andererseits GGG L = G1°G2G2 = R-7, ist, so folgt für die Summe der beiden Tafelneigungen einer Geraden die Relation: 71+ 1⁄2≤R. Durch die Neigungswinkel 7, und 72 ist die Richtung der Geraden g festgelegt. Die zu g parallelen Strecken werden bei der Projektion auf die Tafeln resp. im Verhältnis 1: cosy, und 1: cos 71⁄2 verkürzt.

Ει

90. Die Neigungswinkel &, und & einer Ebene E gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Ebene gegen eine der Tafeln wird der Neigungswinkel irgend einer gleichnamigen Falllinie der Ebene verstanden. Er wird bestimmt, indem man ihn entweder (wie in 89) in die ungleichnamige Tafel, oder um den einen Schenkel in die gleichnamige Tafel umlegt. Um & zu finden, ziehen wir FF normal zu e̟, als Grundriß einer ersten Falllinie mit den Spurpunkten F

2

2

G,"G2 in die Aufrißebene um, wodurch &2 = ε2 = LG1°G2G1" erhalten wird (Fig. 71). Daß unter allen Geraden einer Ebene die Falllinien gegen die zugehörige Tafel den größten Neigungswinkel haben, ist schon oben (81) erwähnt worden. Erwägt man, daß der Neigungswinkel einer Ebene durch den gleichnamigen Neigungswinkel der Ebenennormale zu einem Rechten ergänzt wird, so folgt aus 89 für die Summe der Tafelneigungen einer Ebene die Beziehung: ε1 + 2 ≥ R. Die Neigungswinkel & und bestimmen die Stellung der Ebene E. Die Fläche einer in E gelegenen Figur verhält sich zur Fläche ihrer Projektionen wie 1: cos & resp. 1: cos ε.

E

91. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine der Tafeln. Eine ebene Figur

und ihre Projektion auf eine Tafel sind affin in affiner Lage und bleiben es auch, wenn die erstere um die bezügliche Spur ihrer Ebene (d. i. um die Affinitätsachse) in die Tafel umgelegt wird (vergl. 10). Durch Benutzung dieses Umstandes werden die zur Umlegung nötigen Operationen vereinfacht. Es sei beispielsweise ein Dreieck ABC durch die Spuren e, und e, seiner Ebene E und seinen Aufriẞ A'B'C" gegeben, woraus sich der Grundriß in bekannter Weise er

giebt (Fig. 72). Zur Ermittelung seiner wahren Gestalt werde das Dreieck um e, in die Aufribebene umgelegt. Man denke sich in E durch den Punkt A eine Falllinie f gezogen (f + €2). Diese lege man, um zunächst ihre Länge zwischen den Spuren F, und F zu finden (wie in 88) um f" seitwärts in die Aufribebene nieder als f=FF10; sodann

lege man sie um e

=

1

=

in П, nieder als foF,F. Hieraus ergiebt sich die Umlegung e° EF von e. Die Umlegung 4°B°C des Dreiecks ABC aber kann als die affine Figur zu A'B'C" gezeichnet werden, da man, außer der Affinitätsachse eg zwei einander entsprechende Punkte F° und F" kennt (vergl. 11); die Affinitätsstrahlen sind normal zu eg. Andererseits kann die Umlegung jedes Punktes mittels seines Abstandes von der Drehachse e, konstruiert werden, indem man den Umstand benutzt, daß sich dieser Abstand zu seiner Projektion jedesmal wie FF2 zu F"F, verhält.

10

92. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Die beiden Projektionen einer ebenen Figur sind affin und befinden sich nach der Umlegung der einen Tafel in die andere in affiner Lage. In der That sind die Verbindungslinien entsprechender

Punkte parallel, nämlich senkrecht zur Achse: sie bilden die Affinitätsstrahlen; andererseits fallen Grund- und Aufriß der Geraden, in welcher die Ebene E der betrachteten Figur von der hinteren Halbierungsebene H, geschnitten wird, in eine Gerade a (Fig. 73) zusammen: dies ist die Affinitätachse. Die Gerade a geht durch den Achsenschnittpunkt E, von E; einen zweiten Punkt auf ihr liefert der Durchschnitt D der beiden Projektionen irgend einer in E gezogenen Geraden (vergl. 74). Hiernach kann die Affinität benutzt werden, um von einer in gegebener Ebene liegenden Figur aus einer Projektion die andere abzuleiten (wie dies in der Figur für das Dreieck ABC ausgeführt ist).

93. Der Winkel a zweier durch ihre Projektionen gegebenen Geraden g und h. Man kann annehmen, daß g und h sich in einem Punkte S schneiden (indem man nötigenfalls die eine Gerade durch eine Parallele ersetzt). Den Scheitel 8 lege man um die Verbindungslinie der Spurpunkte der Schenkel in eine Tafel um, z. B. durch Drehung um G, H1 (Fig. 74). Der niedergelegte Punkt S findet sich auf der aus S gezogenen Normalen S'T zur