nachgewiesen werden soll. Die Projektion auf die Ebene der Brennpunkte ist eine Ellipse c', von der zwei Stücke AB und CD im Innern des Kreises k liegen, die beiden anderen AC und BD aber außerhalb sich befinden. Die Punkte jener beiden Stücke bilden die Projektionen von je zwei reellen, die Punkte dieser Stücke die Projektionen von je zwei konjugiert imaginären Kurvenpunkten. Die Ellipse e ist zu dem Kreise k affin und zwar ist AD oder BC die Affinitätsachse. In der That erhält man jeden Punkt P' dieser Kurve, wenn man auf k gleiche Bogen AP = 1}° abschneidet und P'P, 1 OF, und P'P° 1 OF, macht. Ist nun = = L = OA X PP', so folgt aus der erwähnten Gleichheit der Bogen, daß LP, LP0 wird. Die Winkel des ▲ LP'Po sind aber von der Wahl des Kurvenpunktes P' unabhängig, denn zwei seiner Seiten sind zu OF, resp. OF, senkrecht und P'LPo P'LA - ▲ PLA; demnach ist auch das Verhältnis P'L: PL oder P'L: PL von der Wahl des Punktes P' auf e' unabhängig. Die Kurven c' und k sind also affin (siehe erstes Kapitel), OA ist die Affinitätsachse, P'P (oder auch P'P) sind ein Paar affiner Punkte; infolgedessen schneiden die Tangenten von k in P, resp. Po und die Tangente von c' in P' die Gerade OA in dem nämlichen Punkte 7. Zu dem gleichen Resultat gelangt man auch nach 436, wenn man noch den zu P' benachbarten Punkt auf ein Betracht zieht. Seien x, y, z die Achsen des Kegels durch c, und zwar mag r den FOF, und y seinen Nebenwinkel halbieren, wo OF, und OF, nicht durch die Kegelflächen getrennt sind, während z auf der Ebene der Brennpunkte senkrecht steht. Dann ist die Projektion e von c auf eine zur Ebene yz parallele Ebene eine vollständige Ellipse, deren Halbachsen gleich AB resp. EE' sind; die Projektion c"" von e auf eine zu rz parallele Ebene dagegen liefert eine Hyperbel, deren Hauptachse gleich AC ist, der reelle Teil von c ergiebt nur zwei Stücke derselben. Daß c" und c"" wirklich Kegelschnitte sind, erkennt man folgendermaßen. Ist P ein Punkt von c und sind P1, P2, P3 seine Entfernungen von den Ebenen xy, yz, xz, so ist p,2+ p2 + P32 = r2 (r Kugelradius), da P auf der Kugel liegt. Für die Projektion P' auf xy, wobei P, und p, sich in wahrer Länge projizieren, haben wir: 2 = P22 P32 = P2 1, wenn a1 <b1 die Halb Aus beiden Gleichungen 2 nämlich p12 + P ̧2 1 ableiten, wo: a22 b22 = b2 (r2 — a12): (6,2-a,) ist, = und ebenso eine Relation zwischen 1 P. wo: az2 = b2 — r2, und b2 = a,2 (b,2 — r2) : (b,2 — a,2) ist. Diese Relationen sind aber nichts anderes als die Gleichungen der Projektionen c" und c", da ja P1, P3 bei der Projektion von c auf die Ebene yz und P1, P2 bei der Projektion von c auf die Ebene xz ungeändert bleiben. Die gefundenen Gleichungen beweisen aber nach 414 die Behauptung. Die stereographische Projektion. 522. Projiziert man die Punkte und Linien einer Kugelfläche aus einem Punkte O auf ihr auf eine Ebene П,, die die Kugel in dem zu O diametral entgegenstehenden Punkte 0, berührt, so bezeichnet man dieses als stereographische Projektion; von ihr sollen die wichtigsten Eigenschaften abgeleitet werden. Jeder Kegel, dessen Spitze in O liegt und der П, in einem Kreise schneidet, schneidet auch die Kugel in einem Kreise (beide Kreise sind nach 263 Wechselschnitte); die stereographischen Bilder der Kugelkreise sind also wieder Kreise. Wir legen die Zeichenebene П durch den Kugeldurchmesser OMO, und die Kegelachse, sie schneidet die Kugel in dem größten Kreis k und den Kegel in den Mantellinien OAA, OBB1, wo A, B auf der Kugel A, B, in der Ebene П, liegen. Die Gerade AB schneidet die den Kreis k in O berührende Tangente t im Punkte S, dessen Polares in Bezug auf k durch O und den Mittelpunkt N von  ̧ ̧ geht, denn die Strahlen 04,, OB1, ON, t liegen harmonisch. Auf der Kugel liegen A, B, O, N = s × k harmonisch und es geht s als Polare von S durch den Schnittpunkt 7 der Tangenten von k in A und B. Hieraus fließt der Satz: Alle Kugelkreise, deren Ebenen die Tangentialebene im Centrum der stereographischen Projektion in der nämlichen Geraden schneiden, ergeben koncentrische Bildkreise; ihr Mittelpunkt N ist das Bild des Berührungspunktes N der durch jene Gerade an die Kugel gelegten Tangentialebene; er erscheint zugleich als Centralprojektion der Scheitel aller Kegel, die der Kugel längs jener Kreise umgeschrieben sind, aus dem Centrum 0. Die Kugelkreise durch die Punkte O, N haben die Durchmesser der koncentrischen Bildkreise als Bilder. Zwei Kurven auf der Kugel schneiden sich unter gleichem Winkel, wie ihre Bilder. Unter dem Winkel zweier Kurven in einem Schnittpunkte versteht man den Winkel der bezüglichen Tangenten und man erhält offenbar die Tangenten der Bildkurve, wenn man die Tangenten der Kurve auf der Kugel von O aus projiziert. Man braucht deshalb nur zu zeigen, daß in einem beliebigen Punkte N der Kugel zwei Kugeltangenten die gleichen. Winkel einschließen, wie ihre Centralprojektionen aus dem Centrum O auf П. Dieses folgt aber daraus, daß beim Umlegen der Tangentialebene im Punkte N um ihre erste Spurlinie in П, der Punkt N mit seinem Bilde N, zur Deckung kommt. Ist nämlich k der Kugelkreis durch O, N, O, und hat die Tangente im Punkte N von k den ersten Spurpunkt J, so stehen NJ, und N11 auf jener Spurlinie senkrecht und es ist wie aus der Figur ersichtlich NJ1 = 01J1 = N J. Hieraus kann man auch wieder schließen, daß die Mantellinien und der Berührungkreis eines der Kugel umschriebenen Kegels sich von 0 aus auf П, als Strahlbüschel und eine alle diese Strahlen rechtwinklig schneidende Kurve projizieren, d. h. Berührungskreis und Scheitel des Kegels projizieren sich als Kreis und dessen Mittelpunkt. Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen. 523. Wirft eine Fläche Schlagschatten auf eine zweite Fläche, so hat man zunächst die Eigenschattengrenze, d. h. die Grenzkurve zwischen Licht und Schatten, auf der ersten Fläche zu ermitteln und dann diese Grenzkurve auf die zweite Fläche Schatten werfen zu lassen. Die parallelen Lichtstrahlen durch die Grenzkurve bilden einen Cylinder, dessen Schnittkurve mit der zweiten Fläche aufzusuchen ist. Ist die Schatten empfangende Fläche ein Cylinder oder Kegel, so kommt die vorliegende Aufgabe auf die bereits behandelte hinaus, den Cylinder oder Kegel mit dem Cylinder der Lichtstrahlen zu durchdringen, die die erste Fläche tangieren. Man kann hierbei ganz ebenso verfahren, wie dieses bereits auseinandergesetzt wurde, indem man einerseits die Spitze des Schatten empfangenden Kegels (oder eine Mantellinie des Cylinders) und andererseits die Grenzkurve auf die Ebene der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) Schatten werfen läßt. Eine Mantellinie m der zweiten Fläche empfängt nun Schatten von demjenigen Punkte P der Grenzkurve, dessen Schatten P auf der Geraden m Schatten von m, liegt. Die Gerade m durch P kann man also ziehen und damit auch die Mantellinie m, die sich mit m auf der Basiskurve des Kegels (oder Cylinders) trifft; der Lichtstrahl durch P schneidet dann m in einem Punkte P*, dem Schlagschatten von P auf den Kegel (oder Cylinder). * * * * dem Gewöhnlich ist indessen das Verfahren etwas anders, indem man einerseits die Grenzkurve, andererseits den Kegel (oder Cylinder) auf die Horizontalebene Schatten werfen läßt. Es empfängt dann eine Mantellinie m Schatten von einem Punkte P der Grenzkurve, wenn ihr Schatten m auf TT, durch den Schatten. * * Р von P auf П, geht. Indem man dann rückwärts m und P aufsucht und den Lichtstrahl durch P mit m zum Schnitt bringt, erhält man den Schatten P* von P auf den Kegel (oder Cylinder). Diese Methode ist deshalb vorzuziehen, weil ja immer neben dem Schlagschatten der einen Fläche auf die zweite auch der Schatten der Flächen auf die Horizontalebene verlangt wird; bei der zuerst geschilderten Methode müßte aber der Schatten auf П, noch nachträglich konstruiert werden. 524. Den Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel zu bestimmen. Die Kugelschale ruhe auf П,, ebenso der co Fig. 338. Kegel, der П, längs einer Erzeugenden berühren soll. Der Kegel sei ein gerader Kreiskegel, sein Basiskreis hat die Projektionen c' und c"; c, ist der um die Spurlinie e, der Basisebene in ПT, umgelegte Kreis c. Es giebt dann eine Kugel, welche den Kegel längs c berührt (vergl. 484); ihr Mittelpunkt liegt auf der Kegelachse und offenbar senkrecht über A, daraus ergiebt sich auch sein Aufriß. Die scheinbaren Umrißlinien des Kegels berühren dann die Umrißkreise dieser Kugel in den nämlichen Punkten, in denen sie die Ellipsene und c" tangieren, wodurch sich die Umriẞlinien und ihre |