Erzeugenden des Cylinders von einander. Da aber PQ (|| e2) zu den projizierenden Ebenen normal ist, so haben ihre Schnittpunkte mit PQ die gleichen Abstände wie sie selbst; diese Schnittpunkte sind. P, Q und R, wenn MR PQ und M der auf c liegende Endpunkt der durch L gehenden Mantellinie des Cylinders ist. Die Abstände des Punktes I" von den Umrißlinien des Cylinders sind demnach gleich RP resp. R°Q° (M°R° 1 P°Q°, I'M°y); u" berührt im Punkte die Projektion der bez. Mantellinie des Cylinders, da u die Mantellinie selbst in L berührt. Ganz analog können wir für jeden Punkt von u" die durch ihn verlaufende Erzeugende des Cylinders finden.

Die Sichtbarkeit der Kurvenu und u" ergiebt sich ganz wie in der vorausgehenden Aufgabe, indem man bei Cylinder und Kegel, und zwar bei jedem für sich allein, die sichtbaren Teile aufsucht, die Punkte der Kurven u resp. u", die den sichtbaren Teilen beider Flächen angehören, sind selbst sichtbar. Die sichtbaren Teile der Kurven und u" enden auf den Umrißlinien der Flächen.

2

2

2

509. Die Projektionen der Durchdringungskurve u unserer Flächen zeigen ganz wie im vorhergehenden Beispiele je zwei Doppelpunkte. Wir wollen hier die Konstruktion der Doppelpunkte von u" besprechen, die sich der früheren im wesentlichen analog gestaltet. Alle zu П, normalen Sehnen des Kegels werden von einer zu П1⁄2 parallelen Ebene durch S halbiert, alle zu П, normalen Sehnen des Cylinders werden von einer Ebene halbiert, welche die Mantellinien durch P und Q enthält, die im Aufriß als Cylinderumriß erscheinen. Die Schnittlinie s beider Ebenen ergiebt sich hieraus; sx geht durch S, se geht durch O", wenn 0, der Schnittpunkt der Cylinderachse mit s ist (0'0'y, O"0" 1 e). Die Ebene durch s senkrecht zu П1⁄2 schneidet den Kegel in einer Ellipse 2, deren eine Achse X ist (X" und X" liegen auf den Umrißlinien des Kegels), sie schneidet den Cylinder in einer Ellipse ja, deren eine Achse ZZ2 ist (Z" und Z" liegen auf dem Umriß des Cylinders). Die vier Schnittpunkte von i, um j2 haben dann folgende Eigenschaften (vergl. 272 u. 507). Ihre Projektionen auf П, fallen paarweise in die Doppelpunkte 1 und 2 von u" zusammen. Jede Gerade in der Ebene der beiden Kegelschnitte und j2 schneidet diese in zwei Punktepaaren, deren Projektionen auf П, zwei Punktepaare einer Involution liefern, der auch das Punktepaar 1, 2 angehört. So bilden "X", "Z" und 1, 2 drei Punktepaare einer Involution. Eine zweite Involution erhalten wir, wenn wir im Endpunkte W2 der zweiten Achse von j2 die Tangente g von j2 ziehen (g' || s', g′′= s'').

2

3

3

21

Um die Schnittpunkte T, T2 von g mit dem Kegel zu gewinnen, schneiden wir den Kegel mit der Ebene Sg, deren erste Spur G, W ist (G1 ist die erste Spur von g und W, die erste Spur von SW W1" = 02"); G1W, schneidet dann auf k die Spurpunkte der Mantellinien des Kegels aus, die T, T, enthalten. Die drei Punktepaare 0," O", "T" und 1, 2 bilden dann ebenfalls eine Involution und aus beiden Involutionen ergeben sich 1 und 2 nach 354.

2

=

3

510. Durchdringung von Kugel und Kegel. Hierbei wird man stets Hilfsebenen in Anwendung bringen, die das von dem Kegelscheitel auf eine Projektionsebene gefällte Lot enthalten; außerdem

wird man eine zweite Projektionsebene wählen, die zur Ebene der Basiskurve des Kegels senkrecht steht. In der Figur 332 ist der Einfachheit halber die Basiskurve e des Kegels in TT, angenommen, S, S" sind die Projektionen des Scheitels, k' und 7" die scheinbaren Umrißkreise der Kugel. Sind von Sind von c ein Paar konjugierte Halbmesser MA und MB gegeben, so zeichne man einen zu e affinen

Kreis €1 mit dem Radius MA, dann ist B1 der affine Punkt zu B, & der affine Punkt zu S' (B, MI AM, SS, BB, SS, BM, || SS || B1M). Sind J, K, die Berührungspunkte der Tangenten von San c, und J, K die affinen Punkte auf c, so sind S'J und SK die Umriẞlinien des Kegels. Um nun einzelne Punkte der Durchdringungslinie u oder vielmehr ihrer Projektion u' zu finden, ziehe man durch S Sehnen des Kreises c1, z. B. CD1, suche die affine Sehne CD der Ellipse e und bestimme die Durchstoßpunkte der Mantellinien SC und SD mit der Kugel. Die Ebene SCD (1 π1) schneidet aus der Kugel einen Kreis m mit dem Durchmesser EF; diese Ebene drehen wir samt dem Kreise m und den Geraden SC und SD um die Achse SS bis sie zu П, parallel wird. Im Aufriß erhält man dann den Kreis mo, die Linien S'C, und S'D, und ihre Schnittpunkte Po und Q. (S'D, und m, schneiden sich in der Figur nicht), die durch die Drehung aus den in der Ebene SCD liegenden Punkten P und Q von u hervorgegangen sein müssen; es finden sich also P'S und Q'S gleich den Abständen der Punkte P resp. Qo von S'S. Verfährt man in der geschilderten Weise mit der Umriẞlinie SJ des Kegels, so erhält man auf ihr die Berührungspunkte mit u'. Die Berührungspunkte von u' und k' liegen offenbar auf den Projektionen der Mantellinien, die k treffen; diese Mantellinien liegen also noch auf einem zweiten Kegel, dessen Scheitel S und dessen Basiskurve k ist. Der letztgenannte Kegel besitzt als erste Spur einen Kreis n mit dem Mittelpunkt N dem Spurpunkt von SO- und einem Radius, der sich zum Kugelradius verhält, wie S"N": S'O". Die Spurkurven c und n beider Kegel schneiden. sich in Punkten, die mit S' verbunden auf dem Kreise k' seine Berührungspunkte mit u ergeben. Über die Sichtbarkeit von u entscheidet man wie in den früheren Beispielen. Der Aufriß ist in der Figur weggelassen, würde indessen leicht hinzuzufügen sein.

0

Die Tangente im Punkte P von u ist die Schnittlinie der Tangentialebene im Punkte P der Kugel mit der Tangentialebene an den Kegel längs der Erzeugenden SC. Die Tangente CG im im Punkte C von c ist die Spur der letzteren Ebene, die Spur LG der ersteren Ebene ist senkrecht zu O'P' und enthält den Spurpunkt L der Tangente des Kreises m im Punkte P (PL, Tangente von mo, LS' (LS"S')); dann ist P'G die Tangente von u' im Punkte P. 511. Die Bestimmung der Doppelpunkte 1 und 2 von u geschieht analog den früheren Beispielen. Alle zu TT, normalen. Kugelsehnen werden durch die Ebene des Umrisses k halbiert, alle zu П1 normalen Kegelsehnen durch die Ebene der Umrißlinien SJ

=

Ο

und SK. Denn Endpunkte, Mittelpunkt und unendlich ferner Punkt einer solchen Sehne liegen harmonisch, also auch die Spurpunkte der von S durch sie gelegten Strahlen, die auf einer Geraden durch S' liegen; zwei derselben fallen auf c, einer nach S', der vierte also auf die Polare JK des Punktes S' in Bezug auf c. Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden h (h| JK | ST2, H2 = k" × RT), deren Projektion h' die Doppelpunkte von u' trägt. Die projizierende Ebene durch h schneidet die Kugel in einem Kreise i, und den Kegel in einer Ellipse j, h ist zugleich Durchmesser von und Achse von j2, so daß ihre vier Schnittpunkte paarweise auf zwei Senkrechten zu П, liegen und bei der Projektion in die Doppelpunkte 1 und 2 von zusammenfallen. Für die Konstruktion der Schnittpunkte von i und ją gilt ganz das in den vorangehenden Beispielen Gesagte und soll hier nicht wiederholt werden, nur sei noch hinzugefügt, daß die eine Achse von j, durch den Umriß SJ und SK begrenzt wird, die andere also im Mittelpunkt darauf senkrecht steht, ihre Länge ergiebt sich durch Umlegen der bezüglichen projizierenden Ebene. Von den Involutionen, denen das Punktepaar 1, 2 angehört, wird hier eine bestimmt durch die Punktepaare hxk und h× S'J, h× S'K, eine zweite wird definiert durch Lotung der Punktepaare U U und V, V, auf h'.

=

2

512. Eigenschaften der Durchdringungskurve u zweier Kegelflächen A, und Ʌ, die eine beliebige Lage zu einander haben. Die Cylinderflächen erscheinen als spezielle Fälle der Kegelflächen und brauchen nicht besonders behandelt zu werden. Zunächst ist zu erkennen, daß jede Ebene die Kurve u in vier Punkten schneidet; es sind dieses die vier gemeinsamen Punkte der beiden Kegelschnitte, die die Ebene aus den beiden Flächen ausschneidet. Die vier Punkte können alle reell sein, oder es ist ein Paar konjugiert imaginär, oder es sind zwei Paare konjugiert imaginär; vergl. 373. Die Durchdringungskurve u zweier Kegelflächen wird deshalb als Raumkurve 4. Ordnung bezeichnet, indem die Ordnung einer Raumkurve die Zahl ihrer Schnittpunkte mit jeder beliebigen Ebene angiebt. Seien nun S, und S, die Scheitel unserer Kegelflächen und s ihre Verbindungslinie, so giebt es zu s eine Polarebene Σ, in Bezug auf den Kegel A, und eine Polarebene Σ in Bezug auf A, (vergl. 486), beide mögen sich in schneiden. Eine beliebige Ebene E durch s enthält zwei Erzeugende a1, b1 von  ̧ und zwei Erzeugende a, b, von A, und die vier Punkte E1 = a, × α z E2 = a1 × b2, E2 = a2 × b1, E1 = b1 × b2 von x E3 2. Der Punkt EEXEEJ liegt auf t; denn liegt auf E, und auf E, da

1 4

=

2 2

Σ

4

1 2

G = s × E1E und J die Strecke EE harmonisch trennen, diese aber eine gemeinsame Sehne beider Kegel bildet. Die Ebene tG schneidet A, resp. A, in den Kegelschnitten 4 resp. l, die sich abgesehen von E, und E - noch in zwei weiteren Punkten F, F treffen, deren Verbindungslinie wiederum durch G geht. Denn t ist die Polare von G in Bezug auf die beiden Kegelschnitte 4, 42 t liegt ja in Σ, und -, nach 374 liegen also die Punkte FEX FE Tund FE FE1 = T2 auf t, während EE × 4 × FF, G der Pol von t für 4 und 4 ist. Zugleich ist 7 die Polare von GT, und T2 die Polare von GT für beide Kegelschnitte 4, 4, d. h. die Ebene sT, ist die Polarebene von S12 in Bezug auf A. und von ST in Bezug auf A, und ebenso ist sT die Polarebene von ST in Bezug auf A, und von ST in Bezug auf Ʌ. Auf jeder Geraden durch 7, werden mithin beide Kegelsehnen durch 7 und die Ebene s T harmonisch getrennt; haben beide Sehnen also einen Endpunkt gemein, so haben sie auch den zweiten Endpunkt gemein. Jede Gerade durch T1, die nach einem Punkte von u gezogen ist, trifft u noch zum zweiten Male; Gleiches gilt für die Geraden durch T. Demnach bilden 7, resp. T die Scheitel zweier Kegel K, resp. K2, deren Erzeugende die Kurve u je zweimal treffen; also ganz so wie es sich mit den Erzeugenden der Kegel A, und A, verhält. Jede Ebene durch 7 schneidet den Kegel K, in zwei reellen oder konjugiert imaginären Erzeugenden, auf denen paarweise die vier Schnittpunkte der Ebene mit u liegen; jede Ebene schneidet somit den Kegel K1 in einer Kurve 2. Ordnung die von jeder Geraden der Ebene in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten getroffen wird. Die früher von uns untersuchten Kegelschnitte sind solche Kurven 2. Ordnung und umgekehrt ist jede Kurve 2. Ordnung ein solcher Kegelschnitt, wie in der analytischen Geometrie nachgewiesen wird. Die Durchdringungskurve u liegt auf vier Kegelflächen 2. Ordnung.

-

513. Projiziert man die Kurve u durch parallele Strahlen, oder durch Strahlen aus einem Centrum, so erhält man eine Kurve 4. Ordnung u mit zwei Doppelpunkten. Der Beweis hierfür ist dem in den vorangehenden Beispielen gebildeten völlig analog und kann deshalb übergangen werden. Die Kurve u besitzt ferner acht Doppeltangenten, denn jeder der vier Kegel durch u zeigt bei der Projektion als wahren Umriß zwei Geraden, die von u in je zwei reellen oder imaginären Punkten geschnitten werden, die acht scheinbaren Umriẞlinien sind dann die Doppeltangenten. Die Doppeltangenten können natürlich auch paarweise imaginär werden.