zu П, und in P' zu П, errichteten Senkrechten miteinander schneidet. — Aus der Darstellung des einzelnen Punktes ergeben sich aber die der Geraden und Ebenen, sowie überhaupt der zusammengesetzten Raumgebilde. 38. Die Projektion einer Linie wird als Gesamtheit der Projektionen ihrer Punkte erhalten. Die ersten Projektionen aller Punkte einer Geraden g ergeben deren Grundriß, erste oder Horizontalprojektion g', ebenso die zweiten Projektionen den Aufriß, die zweite oder Vertikalprojektion g". Die projizierenden Strahlen sämtlicher Punkte von g bilden resp. eine erste und zweite projizierende Ebene. Die Projektionen der Geraden sind also die Schnittlinien (Spuren) ihrer projizierenden Ebenen in П, und П, mithin selbst gerade Linien. Eine Ausnahme hiervon tritt nur für den besonderen Fall ein, daß die gegebene Gerade g zu einer Projektionsebene senkrecht steht: es existiert dann keine zugehörige projizierende Ebene mehr; die betreffende Projektion wird ein Punkt, während die andere Projektion. eine zur Achse senkrechte Gerade bildet. 2 39. Nach Annahme einer Geraden q ist ihre Orthogonalprojektion auf eine gegebene Ebene als Spur der projizierenden Ebene bestimmt; umgekehrt ist g durch eine Projektion noch nicht bestimmt, falls diese nicht ein bloßer Punkt ist, was gegenwärtig ausgeschlossen werden mag. Dagegen wird die Gerade g durch die beiden Projektionen g' und g" auf П1 und П, welche willkürlich angenommen werden dürfen, definiert, und zwar ist sie die Schnittlinie der durch g' und g" senkrecht zu П, resp. zu П, gelegten Ebenen. Ausgenommen hiervon ist der Fall, wo eine Projektion auf der Achse rechtwinklig ist. Es ergiebt sich nämlich hierbei, daß die andere Projektion in dem nämlichen Punkte auf der Achse. senkrecht stehen muß. In der That steht eine projizierende, d. h. durch g normal zur betreffenden Tafel gelegte, Ebene auf der Achse, folglich auch auf der anderen Tafel senkrecht und enthält daher zugleich die andere Projektion. Werden aber g' und g′′ demgemäß angenommen, so folgt daraus für die Gerade g nur, daß sie in der erwähnten Normalebene zur Achse liegt: zu ihrer vollständigen Bestimmung sind weitere Angaben erforderlich. 40. Die Darstellung einer Geraden g kann immer auf die zweier sie bestimmender Punkte, P und Q, zurückgeführt werden, aus deren Projektionen man die der Verbindungslinie als g′ = P'Q', g′′ = P'Q" findet. Unter allen Punkten einer Geraden werden aber vorzugsweise die beiden in den Projektionsebenen gelegenen G1 = gx π1, Ggg X TT, benutzt. Sie heißen erster und zweiter Spur- oder Durchstoßpunkt der Geraden. Jeder dieser Spurpunkte fällt mit einer seiner Projektionen zusammen, nämlich G1 mit G', und G2 mit G", während seine andere Projektion auf der Achse liegt (Fig. 29). Ist g einer Tafel parallel, so liegt in dieser ihre Spur unendlich fern; die Projektion auf die andere Tafel ist parallel zur Achse. Z. B. folgt aus gП, daß g'g und g'a ist (Fig. 30). Ist g zur Achse parallel, so sind es g' und g" auch; G, und G2 liegen dann beide unendlich fern. Sind umgekehrt die Projektionen g' und g" der Geraden g gegeben, so findet man ihre Spuren aus der Bemerkung, daß die zweite E Пог x Ex Projektion von G1 der Schnittpunkt g" xx, die erste Projektion von G2 der Punkt gx ist. 41. Die Projektion einer (unbegrenzten) Ebene E überdeckt im allgemeinen die betreffende Bildebene Bildebene in ihrer ganzen Ausdehnung und eignet sich daher nicht zur Bestimmung von E. Auszunehmen ist der Fall, wo E auf der Projektionsebene senkrecht steht; die Orthogonalprojektion der Ebene reduziert sich dann auf eine Gerade und genügt zu ihrer Bestimmung. Im allgemeinen Falle dagegen kann zur Darstellung der Ebene entweder die Fig. 31. Angabe dreier ihrer Punkte oder die zweier auf ihr gelegener Geraden durch ihre Grund- und Aufrisse dienen. Am gebräuchlichsten ist es, die Ebene E durch die beiden Geraden darzustellen, welche resp. als ihre erste oder Horizontalspur und ihre zweite oder Vertikalspur bezeichnet werden (Fig. 31). Die Spuren treffen sich im Achsenschnittpunkte E = EX x und bestimmen Ɛ direkt als Verbindungsebene ee. Ist E zur Achse parallel, so sind es auch die Spuren e und e2 und Er liegt unendlich fern. Ist überdies E einer Projektionsebene parallel, so liegt in dieser ihre Spur unendlich fern, in der anderen parallel zur Achse. Ist E zu einer Tafel normal, so steht in der anderen ihre Spur zur Achse senkrecht. Enthält endlich E die Achse, so fallen beide Spuren e, und e, mit dieser zusammen; zur Bestimmung der Ebene bedarf es dann der Angabe eines auf ihr gelegenen Punktes außerhalb der Achse. 8 G 42. Die oben erwähnten speziellen Lagen einer Geraden oder einer Ebene, für welche es nötig wird, von der gebräuchlichen Darstellung mittels der Projektionen, bez. Spuren in П1 und П abzuweichen, weil diese zur Bestimmung nicht genügen, können als Beispiele dafür angeführt werden, daß es sich unter Umständen empfiehlt, eine dritte Projektionsebene П, einzuführen. Man legt dieselbe zumeist gegen П, und П, also auch gegen die Achse x senkrecht und bezeichnet sie als Seitenriẞebene. Die Geraden y = π1 Π. ×П ̧ und z=П1⁄2 × π3 y bezeichnen wir als und Fig. 32. 2 31 horizontale vertikale Nebenachse. Der Punkt О = П1 × П1⁄2 × П ̧, in welchem sich die drei Achsen rechtwinklig schneiden, heißt Ursprung. Von aus werden auf jeder Achse die Strecken nach der einen Seite ROHN u. PAPPERITZ. I. 3 positiv, nach der anderen negativ gerechnet und zwar auf r nach rechts, auf y nach vorn, auf z nach oben mit positivem Sinn. 43. Zu den bisherigen Darstellungselementen eines jeden Grundgebildes kommt nach Einführung von П, noch je ein drittes Element neu hinzu: für den Punkt P die dritte Projektion oder der Seitenriß P", sowie der dritte Abstand PP"" (welcher auf der rechten Seite von П, positiv angenommen wird), für eine Gerade g Punktes in diesem System dienen die Vorzeichen der drei Tafelabstände. Die Maßzahlen dieser Abstände (bezogen auf einen Fig. 34. ten Spezialfällen keine Unbestimmtheit mehr übrig läßt. Eine zur Achse a senkrecht gerichtete, schneidende oder nicht schneidende (windschiefe), Gerade g, welche durch ihre beiden ersten Projektionen g' und g" nicht bestimmbar ist, wird durch eine derselben in Verbindung mit der dritten (zu ihr selbst parallelen) Projektion g" völlig bestimmt (Fig. 33). Eine die Achse a enthaltende Ebene E wird durch diese in Verbindung mit der dritten (durch den Ursprung gehenden) Spur es bestimmt (Fig. 34). 46. Im Übrigen ist die Einführung einer dritten Projektionsebene (welche zudem den jeweiligen Bedingungen der Aufgabe entsprechend noch in anderer Weise gewählt werden kann) als eine der Hilfsmethoden zu betrachten, die wir in der Folge noch weiter zu entwickeln haben werden. Den Hauptbestandteil der Methode der Orthogonalprojektion bildet die Benutzung des rechtwinkligen Zweitafelsystems oder das Grund- und Aufrißverfahren. 47. Die in der Horizontal- und Vertikalebene konstruierten Bilder einer Raumfigur sollen jetzt in einer und derselben Zeichnungsebene zur Darstellung gebracht werden. Zu diesem Zwecke wählt man etwa die Aufrißebene als Zeichnungsebene und denkt sich nach Ausführung der Projektion die Horizontalebene durch Drehung um die Achse z mit der ersteren derart vereinigt, daß der vordere Teil der Grundrißebene (welchen wir als +П, bezeichnen wollen) in den unteren Teil der Aufrißebene (— П2), folglich zugleich der hintere Teil der Grundriß ebene (TT) in den oberen Teil der Aufrißebene (+ПT) zu liegen kommt (Fig. 35). + MI, -П, Ist eine Seitenrißebene TT, zur Anwendung gekommen, so denkt man sich auch diese mit П, vereinigt und zwar durch eine solche Drehung um die Achse z, daß die vordere Halbebene П, die linke Halbebene П, deckt. In Fig. 36a und 36b sind diejenigen Quadranten der drei Projektionstafeln, welche den oben, vorn und rechtsgelegenen Raumoktanten begrenzen (in welchem alle drei Tafelabstände eines Punktes P positiv sind), vor und nach ihrer Umlegung in die Bildebene dargestellt. -Πε Fig. 35. Durch die getroffenen (an sich willkürlichen) Festsetzungen über die Anordnung der verschiedenen Projektionen einer Figur in der Zeichnungsebene ist umgekehrt der Übergang von diesen zu ihrer Konstruktion im Raume eindeutig festgelegt. 48. Zur leichteren Orientierung in den Figuren dient außer der |