fällt ba, auf ab, de, auf cd u. s. f.); entsprechende Winkel werden in entgegengesetztem Sinne beschrieben. In der anderen Lage (Fig. 158b) fallen die Schenkel der gleichen Winkel des zweiten Systems verkehrt aufeinander (z. B. fällt C1 auf a und a1 auf c, d1 auf b und b1 auf d u. s. f.), aber einem Winkel in dem einen Büschel entspricht der im gleichen Sinne durchlaufene Supplementwinkel im anderen Büschel. Beide Male aber findet zwischen den Strahlen der beiden Büschel ein vertauschbares Entsprechen statt. Wir haben also im ersten Falle ungleichlaufende, im zweiten gleichlaufende involutorische Strahlbüschel. Hieraus folgt sofort:

Zwei perspektive Strahlbüschel liegen nach ihrer Vereinigung an einem Scheitel involutorisch, wenn es ein Paar getrennter Strahlen giebt, die einander vertauschbar entsprechen.

Y

236. Bei zwei ungleichlaufenden involutorischen Strahlbüscheln giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen; bei gleichlaufenden involutorischen Büscheln giebt es solche Strahlen nicht. Die Doppelstrahlen lassen sich leicht konstruieren, wenn man von der in 234 angenommenen perspektiven Lage der beiden Strahlbüschel S und S ausgeht. Sind nämlich SU und SU zwei perspektive Strahlen (Fig. 159) und sollen dieselben bei der Vereinigung der Büschel zur Involution zur Deckung kommen, so müssen die rechtwinkeligen Dreiecke XSU und XUS, ähnlich und folglich SUS, ein rechter Winkel sein. Beschreibt man daher über SS, als Durchmesser einen Kreis, so findet man als Schnittpunkte desselben mit der Perspektivitäts

Fig. 159.

Y

achse zwei Punkte U und V, deren Verbindungslinien mit S resp. S die gesuchten Strahlen u, v resp. u, v, sind. Nach der Vereinigung der Strahlbüschel zur Involution koinzidiert entweder u mit u, und v mit v, (bei ungleichlaufenden Büscheln) oder u mit v und mit u, (bei gleichlaufenden Büscheln).

237. Schließlich folgt hier aus denselben Gründen wie oben für Punktreihen der Satz:

Bei zwei ungleichlaufenden involutorischen Strahlbüscheln werden je zwei einander vertauschbar entsprechende Strahlen a und b durch die Doppelstrahlen u und der Involution harmonisch getrennt. Insbesondere halbieren die entsprechenden Rechtwinkelstrahlen rund y die von den Doppelstrahlen u und v gebildeten Winkel.

Sind zwei involutorische Punktreihen oder Strahlbüschel gegeben - was durch die Angabe zweier Paare voneinander vertauschbar entsprechenden Elementen geschehen kann - so entsteht die Frage nach der Konstruktion ihrer Doppelelemente. Die einfachsten Hilfsmittel hierzu ergeben sich aus später folgenden Sätzen.

FÜNFTES KAPITEL.

Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Projektion eines Kreises in einen Kreis. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Pol und Polare beim Kreise. Schiefer

Kreiskegel.

238. Irgend zwei Kreise k und k1 einer Ebene können auf vier Arten als perspektive Figuren aufgefasst werden. Das Perspektivitätsspektrum ist jedesmal einer der beiden Ähnlichkeitspunkte O oder O. Die Perspektivitätsachse e, liegt entweder unendlich fern oder wird von der Chordale der beiden Kreise gebildet. Die erste Annahme bezüglich der Achse führt auf die uns schon bekannten beiden Arten ähnlicher Lage zurück (vergl. 4), die zweite liefert zwei neue Arten perspektiver Lage.

Zur Erklärung erinnern wir an folgende elementare Sätze. Das Streckenprodukt SP. SQ hat für alle durch einen Punkt S gezogenen Sehnen PQ eines Kreises denselben Werth und heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf den Kreis. Der geo

metrische Ort aller Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kreise ist eine gerade Linie, welche die gemeinsame Potenzlinie oder Chordale genannt wird. Sie steht auf der gemeinsamen Centralen (Verbindungslinie der Kreismittelpunkte) senkrecht, liegt ausserhalb beider Kreise, wenn diese sich nicht treffen (Fig. 160 und Fig. 161), wird, wenn sie sich berühren, zur gemeinsamen Tangente oder verbindet die Schnittpunkte der Kreise, wenn es deren giebt (Fig. 162).

239. Wir beweisen erstens, daß als Perspektivitätsachse e (außer der unendlich fernen Geraden) nur die Chordale beider Kreise k und k, auftritt. (Fig. 160). Man erkennt zunächst, daß die Achse e, auf der Centrale MM, senkrecht stehen muß; denn den zur Achse e, parallelen Sehnen von k und ihren Mittelpunkten entsprechen die zu e, parallelen Sehnen von k, und deren Mittelpunkte; d. h.

die zur Achse senkrechten Durchmesser beider Kreise entsprechen sich. Da sie sich auf der Achse (in E) schneiden müssen, so fallen sie zusammen, wenn e1 im Endlichen liegt; den Fall aber, daß e, unendlich fern liegt, schließen wir hieraus, weil er auf die schon besprochene ähnliche Lage der beiden Kreise führt. - Die Centrale schneidet also die Kreise in entsprechenden Punkten 4

und A, B und B1, wo A und B die auf k, 4, und B, die auf k, befindlichen Punkte bedeuten. Sind ebenso P und P1 ein Paar entsprechender Punkte, so liegen die Schnittpunkte AP × AP1 = R und T auf e. Da ferner

ist, folgt:

=

Δ AER~ Δ ΤER, Δ 4 ER~ Δ ΤΕΒ,

=

AE. BEER. ET, A,E. BE - ER. ET;

die Gleichheit der Produkte

240. Wir beweisen zweitens, daß das Perspektivitätscentrum O ein Ähnlichkeitspunkt sein muß. Sei PQ irgend eine Sehne des Kreises k und PQ, die ihr entsprechende des Kreises k1, so liegt der Schnittpunkt beider nach dem Vorigen auf der Chordale und man hat: PS. QS P1S. Q1S.

Die vier Punkte P, Q, P, Q, liegen folglich auf einem Kreise und es ist :

Die Strahlen OP und OQ mögen den Kreis k, außer in P1 und Q1 noch in P, und Q2 schneiden; man hat dann auch:

oder PQ PQ ist.

Da die Sehne PQ beliebig gewählt werden kann und zu ihr stets eine parallele Sehne P2Q2 gehört, so ist 0 = PP2 × QQ2 ein Ähnlichkeitspunkt.

2

Hierdurch ist der in 238 aufgestellte Satz bewiesen. Die Fig. 161 und 162 dienen ebenso wie Fig. 160 zu seiner Erläuterung. beziehen sich aber auf andere Lagen der gegebenen Kreise gegeneinander.

241. Es giebt unendlich viele Centralprojektionen in der Ebene, die einen gegebenen Kreis in sich selbst überführen. Das Centrum oder die Achse der Projektion kann beliebig angenommen werden.

Es sei etwa das Centrum O außerhalb oder innerhalb des Kreises k gegeben (Fig. 163 und Fig. 164). Offenbar müssen bei der in Rede stehenden Centralprojektion je zwei solche Punkte B und B, einander entsprechen, die auf k durch einen aus O gezogenen Strahl ausgeschnitten werden, und zwar vertauschbar, so daß dem Punkte B als Original B1 als Bild und dem Punkte B1 als Original B als Bild zugehört. Die Verbindungslinie des Kreismittelpunktes M mit dem Centrum O mag k in den Punkten A und 4, schneiden,

die einander wieder vertauschbar entsprechen. Es bestimmen dann die Punkte C = AB X A,B, und D = AB1 × 4,B als Schnittpunkte entsprechender Geraden die Perspektivitätsachse e. Zu zeigen ist, daß man stets dieselbe Gerade e, als Achse findet, gleichviel von welchem Paare entsprechender Punkte B und B, man ausgeht.

1

242. Es sei EMO × CD. Die Punkte 4, 4,, B, B, C, D bilden die Ecken eines vollständigen Vierseits, die Punkte E und O die Schnittpunkte einer Diagonale desselben mit den beiden anderen Diagonalen. Folglich ist E der vierte harmonische Punkt zu A, A, und 0. Ferner ist ABA1 = L AB11 = L AB141 = R oder die Geraden AB, und 4, B sind zwei Höhenlinien des ▲ ACA, und, da sich bekanntlich die drei Höhenlinien eines Dreiecks in einem Punkte schneiden, ist CE die dritte. Hiernach ist die Achse e1 konstruierbar