S1, so sind sie es für alle Lagen, in denen drei derselben. zu den drei entsprechenden perspektiv sind. S b Fig. 138. In zwei perspektiven Ebenenbüscheln giebt es zwei einander entsprechende Paare rechtwinkliger Ebenen. Sie entsprechen einander für jede mögliche perspektive Sind zwei Ebenenbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Ebene zum dritten Ebenenbüschel perspektiv legt. Wenn zwei Ebenenbüschel perspektiv gelegt und überdies drei Ebenen des einen mit den entsprechenden des anderen vereinigt werden können, so sind sie kongruent. 200. Die Ergebnisse unserer Untersuchung über die Perspektivität der Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel und Ebenenbüschel fassen wir dahin zusammen: Zwei (gleichartige oder ungleichartige) einförmige Grundgebilde können auf unendlich viele Arten in perspektive Lage gebracht werden, so daß drei gegebenen Elementen des einen drei gegebene Elemente des anderen entsprechen. Das gegenseitige Entsprechen der Elemente beider Gebilde ist für alle diese perspektiven Lagen dasselbe. Die perspektive Lage gleichartiger Gebilde geht über in ihre Koinzidenz, wenn sich drei Elemente mit ihren entsprechenden decken. Wir kehren zurück zur Centralprojektion ebener Figuren, von der wir ausgegangen waren, um mit den gewonnenen Hilfsmitteln den folgenden Satz zu beweisen. 201. Je zwei ebene Vierecke ABCD und A,B,C,D, können in perspektive Lage gebracht werden. Wir weisen zunächst nach, daß dies in einer Ebene möglich ist. Wird dann das eine der Vierecke um die Kollineationsachse aufgedreht, so ergeben sich perspektive Lagen derselben im Raume. Es seien Mgxh und = M1 = g1×h1 die Schnittpunkte zweier entsprechender Gegenseitenpaare g AB, h = CD, 91 = A1В1, h1 = C1D1, welche zusammen alle acht Ecken enthalten (Fig. 139). Denken wir uns eines der Vierecke, etwa ABCD, fest, so ist dem anderen eine solche Lage zu erteilen, daß die Paare von Punktreihen: ABM und ABM, CDM und CD1M1, aus einem Centrum perspektiv liegen. Legen wir diese Punktreihen zunächst einzeln irgendwie perspektiv, so können wir ihre Gegenpunkte bestimmen, nämlich G, auf g, G auf g1, H, auf h, H auf h. Hieraus ergeben sich die Gegenachsen Fig. 139. D, beiden centrischkollinearen Figuren. Nach 181 müssen ferner die Beziehungen bestehen: Durch Antragen der bekannten Winkel, welche in diesen Gleichungen rechts vorkommen, an den Punkten G, H, G, H, findet man die Lage des Kollineationscentrums gegen das feste und das bewegliche Viereck, und zwar giebt es jedesmal zwei zu der betreffenden Gegenachse symmetrische Lagen: 0 und 0, 0, und O̟'. 202. Man vereinige nun einen der Punkte 0, oder 0,' mit 0 oder so, daß zugleich die Gegenachsen e, und e, unter sich parallel werden. Das bewegliche Viereck kann acht derartige Lagen annehmen; aber nur bei vieren zeigt sich zugleich die notwendige. Bedingung erfüllt, daß die vom Centrum nach G, H, G, H, laufenden Strahlen den Geraden g, h, g, h, parallel werden. Diese Fälle werden erhalten, wenn man 0, mit 0, oder 0,' mit O' vereinigt. Man denke sich 0, mit 0 vereinigt und die aufgestellten Bedingungen erfüllt (Fig. 140). Sind dann G1 = g × g1 und H1 = h× h2 die Schnittpunkte der sich ABCD und 1,B,C,D, befinden sich in perspektiver Lage. 203. Aus dieser einen ergeben sich im Ganzen vier perspektive Lagen in der Ebene. Man kann nämlich erstens das bewegliche Viereck um die Perspektivitätsachse e, umlegen, worauf O' das Centrum wird (Fig. 140); zweitens kann man es durch den Winkel 2 R um das Centrum O in der Ebene drehen, wodurch die Perspektivitätsachse die neue Lage e,' erhält; drittens kann man beide. Operationen nacheinander anwenden (die beiden letzten Lagen sind in Fig. 141 dargestellt). Im Raume sind zwei verschiedene Arten perspektiver Lagen der beiden Vierecke möglich. Sie werden erhalten, wenn man das bewegliche Viereck um die Achse e oder um die Achse e, aufdreht. Harmonische Grundgebilde. 204. Projiziert man aus einem Centrum O die Endpunkte einer Strecke AB, und ihren Mittelpunkt C, auf eine beliebige Gerade g, so bilden die erhaltenen Punkte ABC mit dem auf g gelegenen Verschwindungspunkt D (nach unserer früheren Beziehungsweise G) vier Punkte von harmonischer Fig. 142. Ᏼ, Aus dieser Definition ist unmittelbar klar: Bei jeder Projektion gehen aus vier harmonischen Punkten einer Geraden stets wieder vier harmonische Punkte hervor. Denn die neue Punktreihe kann mit derselben Punktreihe in perspektive Lage gebracht werden, die zur Konstruktion der ersten diente. - Projiziert man die harmonische Punktreihe ABCD speziell so, daß D wiederum dem unendlich fernen Punkte D2 der Bildgeraden g, entspricht, so muß von den Bildern der anderen drei Punkte, A2, B2, C2 der Punkt C in der Mitte zwischen 4, und B2 liegen. Da nämlich in der vorher benutzten Punktreihe A,B,C,D, und der neuen A,B,C,D2 die unendlich fernen Punkte D, und D, einander entsprechen, so können sie dadurch perspektiv gemacht werden, daß man ihre Träger, die Geraden g1 und g2, parallel legt; dann aber befinden sie sich in ähnlicher Lage und mithin sind die Verhältnisse entsprechender Strecken gleich, woraus die Behauptung folgt. 2 2 2 2 205. Vier harmonische Punkte ABCD bilden zwei Paare AB und CD, so daß die Punkte jedes Paares durch die des anderen getrennt liegen. Man kann die beiden Paare miteinander und die Punkte eines oder beider Paare unter sich vertauschen, ohne daß die vier Punkte aufhören, eine harmonische Reihe zu bilden. Dieselben vier Punkte bilden also acht harmonische Reihen: A, B ABCD, BACD, ABDC, BADC, CDAB, CDBA, DCAB, DCBA. Zum Beweise dieses Satzes führen wir erstens an: Wenn die Punkte ABCD bezw. zu den Endpunkten A1, B1 einer Strecke, ihrem Mittelpunkt C, und dem unendlich fernen Punkte D1 perspektiv gelegt werden können, so ist dies wie der Anblick der Fig. 143 lehrt auch nach Vertauschung der Punkte A und B möglich. Zweitens: Projiziert man die harmonische Punktreihe auf eine beliebige eines der vier Punkte unend A C B. C2 B2 D2 9 D Gerade g, so, daß das Bild irgend lich fern fällt, so liegt stets das Bild des von ihm getrennten Punktes in der Mitte zwischen den Bildern der beiden übrigen. O sei das Projektionscentrum und es falle etwa das Bild A von A ins Unendliche, so daß OA 92 ist; es ist zu zeigen, daß B die Mitte der Strecke A CD2 bildet. Man ziehe (Fig. 144) durch D die Parallele zu 921 welche von OB in P, von OC in Q getroffen werden mag, so muß die Linie 40 von QB im Punkte R so geschnitten werden, daß 40 OR ist; denn die harmonischen Punkte A, B, C und D liegen (von Q als Centrum aus) perspektiv zu A, R, O und dem unendlich fernen Punkte dieser Reihe. Andererseits liegen die Punktreihen AOR und DPQ ähnlich (ihr Ähnlichkeitscentrum ist B) und DPQ wiederum ähnlich mit D2 B2C2 (Ahnlichkeitscentrum 0); daher ist D, B2 = B¿C2, w. z. b. w. Aus der Verbindung beider Resultate folgt der obige Satz. 2 2 Fig. 144. R = 2 206. Vier Strahlen, die eine harmonische Punktreihe aus beliebigem Centrum projizieren, bilden einen harmonischen Strahlbüschel. Umgekehrt wird ein harmonischer Strahlbüschel von jeder Geraden seiner Ebene, die nicht durch sein Centrum geht, in einer harmonischen Punkt |