zeigen, daß zwei centrisch-kollineare Figuren einer Ebene durch Drehung der einen um die Kollineationsachse e, in eine räumliche Lage übergeführt werden können, bei welcher die eine als Centralprojektion der anderen erscheint, wird die Identität unserer Kollineation mit der aus der Centralprojektion im Raume oben abgeleiteten geometrischen Verwandtschaft erwiesen und wir können. die hier erhaltenen Gebilde in demselben Sinne wie vorher, als perspektive Figuren bezeichnen. 177. Da nun die Eigenschaften ), ), 7) auch der räumlichen Centralprojektion zukommen, so ist nur zu zeigen, daß sie hinreichen, um in Verbindung mit der Angabe gewisser Bestimmungsstücke eine Kollineation vollständig zu definieren. In der That besteht aber der Satz: Die Centralkollineation in der Ebene ist bestimmt durch Angabe des Centrums 0, der Achse e, und zweier einander entsprechender Punkte A und 4, die mit 0 in gerader Linie liegen müssen. Denn dann kann zu jedem ge Ebene auf eine andere. Denn, denkt man sich die eine der centrischkollinearen Figuren, etwa das Original, um e, aus der Ebene herausgedreht in den Raum und bezeichnet jetzt C die ursprüngliche Lage des Kollineationscentrums, C die neue Lage, so entsprechen und C einander und bestimmen mit 4 und 4, zusammen das Centrum der räumlichen Projektion, durch welches auch die Verbindungslinie irgend zweier weiterer entsprechender Punkte, wie B und B1 geht, weil die Dreiecke ABC und A11C1 den Bedingungen des Satzes in 171 entsprechen. 179. Die aus der räumlichen Konstruktion gefolgerten Eigenschaften perspektiver ebener Figuren müssen sich auch aus der Definition der Centralkollineation herleiten lassen. Dieser Gedanke soll noch mit wenigen Worten ausgeführt werden. Die für das Bild eines Punktes gegebene Konstruktion läßt 1 unmittelbar erkennen: dem unendlich fernen Punkte der Geraden g entspricht als Fluchtpunkt der Schnitt G der Geraden g, mit der Parallelen zu g durch O; umgekehrt entspricht dem unendlich fernen Punkte von g, als Verschwindungspunkt der Schnitt G, vong mit der Parallelen zu g, durch O. Mit anderen Worten: das Bild einer Geraden g wird erhalten, wenn man durch ihren Achsenschnittpunkt G, die Parallele zur Verbindungslinie GO ihres Verschwindungspunktes mit dem Centrum zieht. Ebenso findet man zu einer Geraden g, das Original, indem man durch ihren Achsenschnittpunkt G, die Parallele zur Verbindungslinie GO ihres Fluchtpunktes mit dem Centrum zieht. ບ 180. Ferner ergiebt sich, daß der unendlich fernen Geraden im Originalsystem die durch G parallel zu e, gezogene Gerade e als Fluchtlinie entspricht, und der unendlich fernen Geraden im Bildsystem die durch G, parallel zu e, gezogene Gerade e, als Verschwindungslinie. Sucht man nämlich auf irgend einem weiteren Paare entsprechender Geraden h und h, (mit dem Achsenschnittpunkt H) wie vorher den Verschwindungspunkt H, und Fluchtpunkt H, so sind die Vierecke OG,G,G und OHH als Parallelogramme affin (vergl. 16) und da sich entsprechende Seiten in den Punkten A, 0, 4, einer Geraden schneiden, affin gelegen. Folglich sind die Verbindungslinien affiner Ecken, nämlich e1 = G11, e1 II,, =GH1, e = GH parallel, w. z. b. w. Die Verschwindungslinie e, und die Fluchtlinie e werden auch als die Gegenachsen von Original und Bild bezeichnet, ebenso spricht man von den Gegenpunkten G, und G einer Geraden und ihres Bildes. 181. Wichtig für das Folgende sind die beiden unmittelbar aus der Figur zu entnehmenden Beziehungen: Das Bild einer Geraden schneidet die Fluchtlinie unter demselben Winkel 7. wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Verschwindungspunkt die Verschwindungslinie, und andererseits: Eine Gerade schneidet die Verschwindungslinie unter dem selben Winkel , wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Fluchtpunkt die Fluchtlinie. 182. Es mag noch erwähnt werden, daß die Centralkollineation auch durch Angabe des Centrums, der Achse und einer der Gegenachsen bestimmt ist. Denn indem man an Stelle zweier entsprechender Punkte eine Gegenachse einführt, wird ihrem Schnittpunkte mit irgend einer Geraden der Punkt zugeordnet, welcher auf der Verbindungslinie des ersteren mit dem Centrum unendlich fern liegt. Perspektive Grundgebilde. Wir erklären zuerst einige öfter wiederkehrende Benennungen. 183. Für ein aus den Punkten einer geraden Linie bestehendes Gebilde wendet man den Namen Punktreihe an und nennt die Gerade ihren Träger. Von Geraden, die in einer Ebene liegen und durch einen Punkt gehen, sagt man, daß sie einen Strahlbüschel bilden; der gemeinsame Punkt heißt Centrum (Scheitel) und die Ebene der Träger desselben. Ähnlich sagt man von Ebenen, die eine Gerade gemeinsam enthalten, daß sie einen Ebenenbüschel bilden und nennt diese Gerade die Achse desselben. Die Punktreihe, der Strahlbüschel und der Ebenenbüschel sind die einfachsten Gebilde, welche man aus Punkten, Geraden oder Ebenen als Elementen zusammensetzen kann. In ihnen ist das einzelne Element jedesmal durch eine Bedingung bestimmbar (vergl. 217), weshalb sie auch als einförmige Grundgebilde bezeichnet werden. 184. Eine Punktreihe wird aus einem außerhalb gelegenen Punkte durch einen Strahlbüschel projiziert, ebenso ein Strahlbüschel durch einen Ebenenbüschel. Umgekehrt wird ein Ebenenbüschel von einer nicht in ihm enthaltenen Ebene in einem Strahlbüschel und von einer Geraden in einer Punktreihe geschnitten. Zwei Punktreihen bezeichnen wir als perspektiv, wenn sie Schnitte desselben Strahlbüschels sind. Ebenso heißen zwei Strahlbüschel perspektiv, wenn sie Schnitte desselben Ebenenbüschels sind, oder wenn sie eine und dieselbe Punktreihe aus verschiedenen Centren projizieren. Endlich werden zwei Ebenenbüschel perspektiv genannt, wenn sie einen und denselben Strahlbüschel aus verschiedenen Centren projizieren. Auch zwei verschiedenartige einförmige Grundgebilde können als perspektiv bezeichnet werden. (z. B. eine Punktreihe und ein Strahlbüschel), nämlich dann, wenn das eine ein Schnitt des anderen ist. Es gilt jetzt eine Reihe von Sätzen abzuleiten, die sich auf die . erwähnten einfachen Grundgebilde beziehen und für die Projektionslehre von grundlegender Bedeutung sind. Wir dürfen uns dabei größtenteils auf die Betrachtung von Punktreihen beschränken, da die Übertragung der betreffenden Sätze auf Strahl- und Ebenenbüschel keiner Schwierigkeit unterliegt. 185. Wir gehen aus von zwei durch Centralprojektion Punkt für Punkt aufeinander bezogenen Geraden g und g1 (Fig. 131). Auf ihnen ist der Schnitt g. Nach dem Früheren bleiben die Geraden perspektiv, wenn eine derselben, etwa g1, beliebig um den Punkt G1 gedreht wird. Das Centrum O darf daher willkürlich auf einer um G, mit dem Radius GG beschriebenen Kugel angenommen werden, worauf sich die Lage von g, ergiebt. Sollen zwei Gerade g und g, perspektiv liegen, so fragt es sich, zu wieviel gegebenen Punkten der einen die entsprechenden Punkte der anderen willkürlich angenommen werden dürfen. Hier ergiebt sich zunächst folgender Satz. 186. Eine Gerade g, kann zu einer anderen g stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Punkte A, B, C der letzteren mit drei beliebig gegebenen Punkten A, B, C, der ersteren perspektiv sind. Vereinigt man z. B. zwei entsprechende Punkte C und C im Punkte G1, so bestimmen die Verbindungslinien A1 und BB1 der übrigen das Projektionscentrum O als ihren Schnittpunkt. Dies Beispiel giebt indeß nicht die allgemeinste Art der Herstellung der im Satze geforderten Lage. Vielmehr kann man noch die Lage des Centrums O gegen eine der Geraden, etwa g, willkürlich fixieren. Die andere Gerade g, muß dann in der Ebene Og liegen, die wir als Zeichenebene benutzen. Für die perspektive Lage der beiden Punktreihen A, B, C und A1, B1, C1 mul / 140B, = LAOB, BOC = C1 L BOC sein. Man lege daher -9 durch die Endpunkte der Strecken AB, und B,C, Kreise, die über diesen Sehnen die Peripheriewinkel 40B und BOC fassen, bringe den außerhalb 91 liegenden Schnittpunkt 0, derselben mit 0, sowie die Winkel 111 und ≤ B111 bezw. mit LAOB und L BOC (oder mit deren Scheitelwinkeln) zur Deckung, so ist die perspektive Lage hergestellt (Fig. 132). Die einfachen Abänderungen des Verfahrens, welche notwendig werden, wenn unter den Punkten A1, B1, C1 der unendlich ferne Punkt von g1, eventuell zugleich unter den Punkten A, B, C der unendlich ferne Punkt von g vorkommt, sind leicht zu übersehen. 187. Nach dem Vorigen brauchen drei Punkte einer Geraden keinerlei Bedingung zu erfüllen, um mit drei gegebenen Punkten einer anderen Geraden in perspektive Lage gebracht werden zu können. Dagegen müssen vier Punkte aufg, eine gewisse besondere Lage haben, damit man sie als Centralprojektionen von vier gegebenen Punkten auf g auffassen kann. Dies erhellt aus dem folgenden Satze: Sind bei irgend einer Lage der Geraden g und 91 vier Punkte A, B, C, D der einen perspektiv zu vier Punkten A1, B1, C1, D1 der anderen, so sind sie es in allen Lagen, bei denen drei jener vier Punkte mit den drei entsprechenden perspektiv sind. 188. Die Punktreihen A, B, C, D und A, B, C, D, auf g und 91 seien ursprünglich durch Centralprojektion aus dem Centrum |