E spektiv bezeichnet. Offenbar entspricht jedem Punkte P (Fig. 127) der Originalebene ein Punkt P, der Bildebene, jeder Géraden g eine Gerade g, und umgekehrt. Ferner entspricht jeder Punkt G1 der Projektionsachse e sich selbst und je zwei entsprechende Geraden schneiden sich auf der Achse oder sind ihr im besonderen beide parallel. P G 1200 Fig. 127. P 167. Die Centralprojektion einer Ebene auf eine zweite umfaßt als spezielle Fälle die Affinität und Ahnlichkeit ebener Figuren. Die perspektive Lage geht über in die ähnliche, wenn die Projektionsachse ins Unendliche fällt, d. h. wenn die Bildebene zur Originalebene parallel wird; sie geht über in die affine Lage, wenn das Projektionscentrum in unendliche Entfernung rückt, d. h. wenn die projizierenden Strahlen parallel werden. Läßt man beide Annahmen zu gleicher Zeit eintreten, so ergeben sich kongruente Figuren, wie auch bei solcher affiner Lage, wo die projizierenden Strahlen auf einer der beiden Ebenen senkrecht stehen, welche den Winkel zwischen Original- und Bildebene oder seinen Nebenwinkel halbieren. Affine, ähnliche und speziell kongruente Figuren sind deshalb ebenfalls als projektiv zu bezeichnen und ihre gegenseitige Lage als perspektiv, wenn sie nach der früheren Bezeichnung affin oder ähnlich ist. 168. Die durch O parallel zu E und П gelegten Ebenen mögen П und E in den Geraden e und e, (beide parallel zur Achse e1) schneiden (Fig. 127). Bewegt sich in E ein Punkt P auf der Ge-. raden g nach der einen oder anderen Seite ins Unendliche, so dreht sich der zugehörige projizierende Strahl OP in der Ebene Og um 0 im entsprechenden Sinne und zwar nähert er sich in jedem Falle derselben Grenzlage, nämlich der Parallelen zu g durch O. Der Spurpunkt G der letzteren in П liegt auf e; er kann als das Bild des ins Unendliche fliehenden Punktes aufgefaßt werden und heißt darum der zu g gehörige Fluchtpunkt. Offenbar gehört er ebenso als Fluchtpunkt zu allen Geraden, die mit g parallel laufen. — Der Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte der Ebene E entspricht die eine bestimmte Gerade e, die Fluchtlinie der Ebene E. Umgekehrt verschwindet das Bild des Schnittpunktes G, der Geraden g mit e,, d. h. es liegt auf g1 unendlich fern; G, heißt darum der Verschwindungspunkt von g. Die Gerade e, selbst, deren Bild ins Unendliche fällt, heißt die Verschwindungslinie der Ebene E. Allen Parallelen zu g in E entsprechen in П alle Geraden durch den Punkt G der Fluchtlinie e, und allen Geraden in E durch den Punkt G, der Verschwindungslinie e die Parallelen zu g1 in П. 169. Das angegebene Verhalten der unendlich fernen Punkte einer Geraden oder einer Ebene gegenüber der Centralprojektion, nämlich der Umstand, daß sie nur in einem einzigen Punkt oder einer einzigen Geraden abgebildet werden, begründet die Ausdrucksweise, nach welcher einer Geraden nur ein unendlich ferner Punkt (Richtung) zugeschrieben wird, den sie mit allen parallelen Geraden gemein hat, und einer Ebene nur eine unendlich ferne Gerade (Stellung), die ihr mit allen Parallelebenen gemeinsam ist. Erst auf Grund dieser Erklärung dürfen wir das umkehrbar eindeutige Entsprechen zwischen den Punkten und Geraden der Originalebene und den Punkten und Geraden der Bildebene als ein ausnahmslos geltendes Grundgesetz der Centralprojektion betrachten. Im Verfolg dieser perspektiven Betrachtungsweise hat man eine Gerade als geschlossene Linie aufzufassen, weil ein Punkt, der sie beschreibt, sich demselben unendlich fernen Punkte nähert, gleichviel in welchem Sinne er sich bewegt. 170. Für die Centralprojektion von E auf П kann, wenn die Lage dieser Ebenen zu einander fixiert ist, die Angabe des Projektionscentrums O offenbar durch die zweier entsprechender Punktepaare A, B und A, B, ersetzt werden, deren Verbindungslinien AB und B1 sich auf der Achse e1 = EXП schneiden. Es e1 liegen nämlich dann AA, und BB, in einer Ebene und bestimmen O als ihren Schnittpunkt. 171. Ist nur die Achse e fest gegeben und sind zwei einander entsprechende Dreiecke ABC und 4,B,C, bekannt, deren homologe Seiten sich auf e, schneiden, so bestimmen diese bei jeder noch möglichen Lage ihrer Ebenen E und П ein Centrum O, in Bezug auf welches sie perspektiv liegen. Denn unter jener Voraussetzung liegen BC und BC, CA und C41, AB und A11 je in einer Ebene A, B oder r; diese schneiden sich zu zweien in den Geraden 441 =В×г, BB1= ̃ × A, CC1 = A × B und diese alle drei in dem Centrum OAX BX г. 172. Hieraus läßt sich der weitere Satz folgern: Gehen die Ebenen dreier Figuren 3, 31, 32 durch eine und dieselbe Achse e und sind zwei derselben und zur dritten F2 perspektiv, so sind sie es auch zu einander. Die drei Centren liegen in gerader Linie. Die Perspektivitätscentren, B2 Fig. 128. 9, für F, und F, 0, für F, und 2, denke man sich mittels eines. Punktepaares 42, B2 und der ihm entsprechenden Paare A, B und 4,, B, bestimmt. Dann ist zu zeigen: erstens daß die Geraden A4, und BB, einen Schnittpunkt O bestimmen, zweitens daß, wenn einem beliebigen dritten Punkte C2 die Punkte C und C, entsprechen, auch die Gerade CC, durch O geht. Wenn aber das Dreieck A,B,C2 sowohl zum Dreieck ABC als auch zu A,B,C, perspektiv liegt, so 1 1 schneiden sich die homologen Seiten aller drei je in einem Punkte der Achse und folglich liegen nach 171 auch die Dreiecke ABC und A,B,C, perspektiv. Das zugehörige Centrum O liegt auf AA, ebenso O, auf 4,4, und O2 auf 4,4, folglich alle drei Centren auf der Ebene A4,A2, desgleichen auf der zweiten Ebene BB, B2, folglich in der Schnittlinie beider, durch welche auch die dritte Ebene CCC2 gehen muß (Fig. 128). 173. Als einen wichtigen Spezialfall des soeben bewiesenen Satzes heben wir folgenden hervor: Zwei perspektiv gelegene ebene Figuren bleiben in perspektiver Lage, wenn man die eine derselben um die Projektionsachse beliebig dreht. Die zu drehende Figur liegt nämlich zu der gedrehten affin (vergl. 10), d. h. perspektiv mit unendlich fernem Centrum. Durch letzteres geht auch die Verbindungslinie des alten und neuen Perspektivitätscentrums, sie liegt also parallel zur Sehne des Kreisbogens, den irgend ein Punkt der beweglichen Figur beschreibt. 174. Es mag etwa die Originalebene E der Drehung unterworfen werden. Um die Lageveränderung des Projektionscentrums vollständiger zu überblicken, denken wir uns die Zeichenebene normal zur Achse e durch das Centrum O gelegt. Die beiden perspektiven Ebenen E und П, die Achse e1, Verschwindungslinie e, Fluchtlinie eu. s. f. stellen wir dann durch ihre senkrechten Pro jektionen auf die neue Zeichenebene dar und setzen an diese dieselben Buchstaben, welche die Elemente selbst bezeichnen (Fig. 129). Die Originalebene E werde in irgend einer durch Drehung um e1 erreichbaren Lage mit E, ihre Verschwindungslinie mit e, bezeichnet. Das neue Centrum OA liegt in der Schnittlinie der Ebenen, welche durch e parallel zu E und durch e, parallel zu П gelegt werden können und überdies wiederum in der Zeichenebene. Hieraus folgt, daß das Centrum eine Drehung um die Fluchtlinie e erleidet 8 von gleichem Sinn und gleichem Drehwinkel, wie E selbst um die Achse e 175. Wird die Originalebene durch die Drehung mit der Bildebene zur Deckung gebracht, so gelangt auch das Projektionscentrum O in die letztere und zwar, je nach dem Sinne der Drehung, entweder nach O。 oder nach Oo (Fig. 129). Die Verschwindungslinie e, erhält entweder die Lage en oder eo. Im ersten Falle schließen in der Bildebene Centrum und Achse der Projektion die Flucht- und Verschwindungslinie zwischen sich ein; im zweiten Falle werden sie von diesen eingeschlossen. Jedesmal aber bleibt der senkrechte Abstand des Centrums von der Fluchtlinie dem der Verschwindungslinie von der Achse gleich. Derjenige Punkt C in der Originalebene E, welcher nachmals mit dem neuen Centrum 0, zur Deckung kommt, liegt auf dem Strahle 0,0; im neuen Centrum fallen daher zwei entsprechende Punkte der Ebenen E und П zusammen, was von den Punkten der Achse abgesehen für kein weiteres Paar entsprechender Punkte eintritt Analoges gilt bei umgekehrtem Drehungssinn für C' und Oo. Centralprojektion in der Ebene. 176. Durch die vorausgehende Betrachtung sind wir mittelbar zu dem Begriffe perspektiver Figuren derselben Ebene, also zur Centralprojektion in der Ebene gelangt, welche noch genauerer Erörterung bedarf. Es sollen jetzt in einer Ebene zweierlei Figuren betrachtet werden, die wir als Original und Bild unterscheiden und die. einander Punkt für Punkt nach folgenden Gesetzen entsprechen: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei 7) Jeder Punkt einer festen Geraden e1, entspricht sich selbst. Hieraus folgt sofort: der Achse, d) Entsprechende Strahlen schneiden sich auf der Achse e; jeder Strahl durch das Centrum O entspricht sich selbst und mithin gilt das Gleiche vom Centrum selbst. Eine solche Verwandtschaft zwischen zweierlei Figuren wird als Centralkollineation in der Ebene bezeichnet. Indem wir |