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Prisma. Zunächst legt man eine Gerade a durch die Spitze der Pyramide parallel zu den Kanten des Prismas, sucht ihre Spurpunkte P und Q in den Basisebenen A und B und die Gerade s = AXB auf. Dann ist genau wie vorher zu verfahren, indem jede Ebene durch a die Pyramide in Geraden durch den Scheitel und das Prisma in Parallelen zu den Kanten schneidet.

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Handelt es sich um die Durchdringung zweier Prismen, so bestimme man die Schnittlinie s ihrer Basisebenen A und B und in diesen die Spurlinien einer zu den Kanten beider Prismen parallelen Ebene E, etwa u = AXE, v=BX E. Jede zu E parallele Ebene schneidet aus A und B Spuren aus, die zu u resp. v parallel sind

und sich auf s treffen, sie schneidet die Prismen in Geraden, die den Kanten parallel laufen. Legt man die zu E parallele Ebene durch eine Kante, d. h. legt man ihre eine Spurlinie durch die bezügliche Ecke des Basispolygons, so gewinnt man Eckpunkte der Durchdringungsfigur, die sich also hiernach leicht völlig zeichnen läßt.

Schlagschatten und Eigenschatten bei Vielflachen.

163. Unter der Annahme paralleler Lichtstrahlen bildet der Schlagschatten auf Grundriß und Aufriß nichts anderes als eine schiefe Parallelprojektion. Ganz ebenso nun wie ein Vielfach in Bezug auf eine bestimmte Projektionsrichtung in einen sichtbaren und einen unsichtbaren Teil zerfällt, die längs des Umrisses an einander grenzen, zerfällt die Oberfläche desselben in einen beleuchteten und einen im Eigenschatten liegenden Teil, die längs eines Polygons, des Lichtgrenzpolygons oder kurz des Grenzpolygons aneinanderstoßen. Alle Kanten, in denen der Lichtstrahl den Körper bloß streift, ohne in ihn einzudringen, gehören dem Grenzpolygon an; alle Punkte, in denen der verlängerte Lichtstrahl in den Körper eindringt, liegen auf seinem beleuchteten Teile, die Punkte dagegen, in denen der verlängerte Lichtstrahl aus dem Körper heraustritt, befinden sich im Eigenschatten. Wird ein Lichtstrahl, bevor er auf den Körper auftrifft, durch dazwischen liegende Gegenstände aufgehalten, so entsteht an der betreffenden Stelle Schlagschatten. Von den Durchstoßpunkten eines Lichtstrahles mit einem oder mehreren Körpern ist der erste im Lichte, der zweite, vierte, . . . ... im Eigenschatten, der dritte, fünfte, . . . . im Schlagschatten. Die Schlagschattengrenze auf einer Projektionsebene wird gebildet von dem Schatten des Grenzpolygons. Der Schlagschatten auf einen Körper kann teilweise von dem Grenzpolygon des Eigenschattens begrenzt werden.

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164. Den Schlagschatten eines Zwölfflachs auf die Projektionsebenen sowie seinen Eigenschatten zu bestimmen (Fig. 125). Wir nehmen an, daß seine Projektionen nach der früheren Darlegung gefunden und die des Lichtstrahles / und l' gegeben sind. Die Schatten eines Eckpunktes auf Grund- und AufriBebene sind die Spurpunkte des durch ihn gelegten Lichtstrables, so z. B. bilden E, und E* Grund- und Aufrißschatten von E. Läßt man alle Kanten Schatten werfen, so wird die Grenze des Schlagschattens von denjenigen Linien gebildet, welche alle

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übrigen einschließen. Es ist indeß nicht nötig, den Schatten aller Kanten zu bestimmen. Zunächst findet man mehrere Eckpunkte, die dem Grenzpolygon angehören, indem man auf dem scheinbaren Umriß der ersten Projektion diejenigen Punkte aufsucht, in denen eine Parallele zu diesen Umriß streift ohne ihn zu schneiden. In

der Figur sind dies die Punkte B' und G', ihre Schatten B und G*

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müssen notwendigerweise auf dem Randpolygon des Schlagschattens gelegen sein. Denn der Lichtstrahl aus B kann das Vielfach nicht schneiden, da ja sonst seine Projektionen die Projektionen des Vielflachs schneiden müßten, was für nicht eintritt. Ebenso bestimmen sich vermittels des Aufrisses die Punkte D und J als Eckpunkte des Schlagschattenpolygons. Von den Kanten aus B gehören zwei dem Grenzpolygon an, es sind diejenigen, deren Schlagschatten den Schatten der dritten in ihren Winkel einschließen. Es können hiernach die beiden Seiten des Grenzpolygons aus B bestimmt werden, und ganz analog alle übrigen Seiten desselben. Auch wenn aus einer Ecke des Vielflachs mehr als drei Kanten ausstrahlen, lassen sich in der angegebenen Weise die Seiten des Grenzpolygons finden.

Der Schlagschatten wird an der x-Achse gebrochen in den Punkten R und S, indem die Kanten DE und HJ die gebrochenen Schattenlinien D RE* und H*SJ liefern (DEX = R, HJ x x = S).

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165. Den Schlagschatten einer dreiseitigen abgestumpften Pyramide auf ein Achtflach zu entwickeln (Fig. 126). Sind Pyramide und Achtflach gezeichnet, so bestimme

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man zunächst den Schlagschatten beider auf die Horizontalebene, ganz abgesehen davon, ob er wirklich zu stande kommen kann oder nicht. Außerdem zeichne man noch den Schlagschatten derjenigen Flächen des Achtflachs, die Schlagschatten von dem Pyramidenstumpf empfangen. In der Figur sind dieses die Flächen KHN, KLN, LMN und HMN, die in N zusammenstoßen. Da der Schatten BF von BF den Schatten HNM in S und R durchschneidet,

ROHN u. PAPPERITZ. I.

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so muß der Schatten von BF auf die Seitenfläche IINM fallen und wird dort S*R*, wo S*S, und R*R parallel zu der ersten Projektion des Lichtstrahles sind. Ebenso findet man den Schatten von FE auf die Fläche LMN; hier muß man FE, verlängern bis es zwei Seiten des Dreiecks MN in U und schneidet, dann ist U** der Schatten dieser Geraden auf die Fläche LMN und E*F* derjenige von EF auf diese Fläche ( E*E ̧ ¦ ̧‚ I || F*F ̧)• Die gleiche Konstruktion läßt sich überall durchführen. Es kommt die Konstruktion stets auf die Aufgabe hinaus, den Schatten einer Geraden a auf eine Gerade b zu finden, indem man zunächst die Schatten a, b beider Geraden auf den Grundriß bestimmt und durch ihren Schnittpunkt S eine Parallele zu 7 legt, die die eine Gerade im Schatten werfenden, die andere im Schatten empfangenden Punkte schneidet. In der Zeichnung zieht man natürlich durch S eine Parallele zu, die die Horizontalprojektion der genannten Punkte aus a' und bausschneidet. Das Gesagte wird zur Konstruktion völlig genügen und mag nur noch bemerkt werden, daß die Punkte P*D*Q*E*F*R*S* Horizontalprojektionen sind, ihre Bezeichungen also einen Strich erhalten müßten, was jedoch der Einfachheit halber unterblieben ist.

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VIERTES KAPITEL.

Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. Centralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

166. Es seien im Raume zwei Ebenen E und TT und außerhalb beider ein Punkt O willkürlich festgelegt. Zieht man aus O durch alle Punkte einer in E angenommenen Figur Strahlen, so schneiden diese die Ebene П in einer zweiten Figur, welche der gegebenen eindeutig entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt Centralprojektion, der Punkt O das Projektionscentrum, die Schnittlinie e1 der Originalebene E mit der Bildebene П die Projektionsachse. Die einander entsprechenden Figuren werden als projektiv in perspectiver (centraler) Lage oder kurz als per

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