sich aber im Aufriß als eine Gerade, die auf D'J" in der Mitte senkrecht steht, auf der also M" sich befinden muß.

Wählt man

flächen, ist also der gesuchte Kugelmittelpunkt. Durch ihn gehen natürlich auch die Halbierungsebenen in den anderen Kanten. Je nachdem man nun bei jenen Kanten die Innen- oder die Außenwinkel halbiert, erhält man acht verschiedene Möglichkeiten und demnach acht einbeschriebene Kugeln, die freilich die Flächen nicht alle selbst, sondern teilweise ihre Verlängerungen berühren. Halbiert man überall die Innenwinkel, so liegt die einbeschriebene Kugel im Innern des Vierflachs.

Um diese Kugel zu finden, setzen wir wieder voraus, daß die Ecken ABC in der Grundrißebene liegen, dann können wir uns zur Konstruktion der Halbierungsebenen in den Kanten AB, BC, CA der folgenden Methode bedienen (Fig. 116). Die Halbierungsebene durch die Kante AB schließt mit der Seite ABD und der Grundrißebene gleiche Winkel ein, also auch mit jeder anderen Horizontalebene. Legt man demnach durch die Ecke D eine horizontale Hilfsebene, so wird dieselbe von jener Halbierungsebene in einer Hilfsspur c geschnitten (c|| AB), und es muss D von e und AB gleichen Abstand besitzen, d. h. es muß DH = DL sein, denn ▲ DHL ist gleich

schenklig wegen der Gleichheit der Winkel bei H und L. Nun bestimmt sich DH als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten D'H und D'E, man hat dann nur D'L' = DL = DH auf die Verlängerung von HD' aufzutragen, um I und damit e zu finden. Analog verfährt man, um die Projektionen a und der Hilfsspuren a und b bei den Halbierungsebenen durch die Kanten BC und CA zu gewinnen. Bezeichnen wir jetzt das Dreieck der drei Hilfsspuren mit A,B,C1, so sind AA1, BB1, CC1 die gegenseitigen Schnittlinien unserer Halbierungsebenen und ihr gemeinsamer

: =

Punkt ist der gesuchte Kugelmittelpunkt (O' AA, × BB' × CC und O" auf "A"). Der Kugelradius ist gleich dem Abstande des Punktes O' von der x-Achse.

Für die Halbierungsebene des Außenwinkels an der Kante AB gilt wiederum die Beziehung, daß der Abstand ihrer Hilfsspur von D gleich DH ist, nur ist dieser Abstand in entgegengesetzter Richtung wie vorher aufzutragen. Hieraus folgt sofort die Konstruktion. der anderen berührenden Kugeln.

Die horizontale Hilfsebene kann auch in beliebigem Abstand von der Grundrißebene gewählt werden. Dann hat man zunächst das Hilfsspurdreieck der Flächen DAB, DBC, DCA zu zeichnen, was eine geringe Abänderung obiger Konstruktion nach sich zieht.

Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen und Pyramiden.

K

1

-b"

151. Ist ein beliebiger Körper mit ebenen Begrenzungsflächen durch seine beiden Projektionen gegeben und soll man einen ebenen Schnitt durch denselben ausführen, so geschieht das im allgemeinen in der Weise, daß man seine Kanten mit der Ebene zum Schnitt bringt. Zu diesem Zweck benutzt man am besten zwei parallele Geraden in der Schnittebene, etwa zwei Hauptlinien a bП,. Um nun auf einer Kante JK den Schnittpunkt S zu finden, denkt man sich durch JK eine vertikale Hilfsebene gelegt, die die Schnittebene in PQ schneidet, dann ist: J"K" x P'Q"S". Auf diese Weise bestimmt man die Ecken des Schnittpolygons; von den Kanten sind dabei natürlich nur diejenigen zu benutzen, die wirklich von der gegebenen Ebene geschnitten werden. Um die wahre Gestalt der Seitenflächen unseres Körpers sowie des Schnittpolygons zu zeichnen, müssen die bezüglichen Ebenen zu einer Projektionsebene parallel gedreht werden, so wie es in 96 geschehen ist. Es genügt natürlich die gedrehte Lage einer Ecke eines solchen Polygons zu bestimmen, die anderen Ecken ergeben sich

Fig. 117.

M

dann aus der Affinität, die zwischen Projektion und wahrer Gestalt des Polygons besteht. Legt man alle Seitenflächen eines Vielflachs in einer Ebene nebeneinander, so daß jede mit der vorangehenden eine Kante gemein hat, so erhält man das Netz des Vielflachs.

Außer der geschilderten Methode können auch noch andere angewendet werden, wie das die weiteren Beispiele zeigen. Es werden indeß hierbei nur Schnitte von speziellen Körpern untersucht, bei denen sich meist die allgemeine Konstruktion etwas vereinfacht.

ROHN u. PAPPERITZ. I.

152. Eine prismatische Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen, offenen oder geschlossenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig die gleiche Richtung beibehält. Das Polygon heißt Leitlinie, die bewegliche Gerade in einem Eckpunkt des Polygons wird Kante, in jeder anderen Lage aber Seite genannt. Zwei parallele Ebenen schneiden die prismatische Fläche in kongruenten Polygonen, das von ihnen begrenzte Stück der Fläche heißt Prisma. Jene Polygone heißen die Grund- oder Basisflächen, die übrigen Flächen (Parallelogramme) die Seitenflächen des Prismas. Stehen die Grundflächen senkrecht auf den Kanten, so ist das Prisma gerade, sonst ist es schief. Der Abstand der Grundflächen heißt die Höhe.

Eine pyramidale Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig durch einen festen Punkt geht. Das Polygon heißt wieder Leitlinie, die bewegliche Gerade wieder Kante oder Seite, je nachdem sie durch eine Ecke des Polygons verläuft oder nicht; den festen Punkt nennt man Spitze oder Scheitel. Parallele Ebenen schneiden die Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Polygonen resp. Polygonstücken. Die pyramidale Fläche besteht aus zwei symmetrischen sich im Scheitel gegenüberstehenden Flächenteilen. Eine Ebene schneidet eine solche Fläche in einem Polygon, oder in mehreren Polygonstücken, je nachdem eine Parallelebene durch den Scheitel die Fläche weiter gar nicht oder in mehreren Seiten schneidet.

Das von einer Ebene und dem Scheitel begrenzte Stück einer pyramidalen Fläche bestimmt zusammen mit dem ebenen Polygon die Pyramide. Letzteres wird Grundfläche, die übrigen Flächen (Dreiecke) werden Seitenflächen genannt. Unter der Höhe der Pyramide versteht man das von der Spitze auf die Basisfläche gefällte Lot.

153. Ein reguläres Prisma, dessen Achse gegeben ist, zu zeichnen, sowie einen ebenen Schnitt zu führen und das Netz des einen Teiles anzugeben (Fig. 118).

Beim regulären Prisma sind die Grundflächen reguläre Polygone und die Kanten stehen auf ihnen senkrecht; die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte ist die Achse, die offenbar zu den Kanten parallel ist. Sei JK die Achse und ABCDE, das um die Hauptlinie der Grundebene zu П, parallel gedrehte reguläre Polygon, so benutze man eine vertikale Hilfsebene durch JK und drehe sie parallel П1 um die Hauptlinie JL. Die mit der Hilfsebene gedrehte

1

=

Δ

Achse des Prismas ist dann J'K; die Projektion von A,B,C,D,E auf die Hilfsebene fällt mit J'K', diejenige von ABCDE mit ADA zusammen, wo ADA 1 JK und J'A (4 h). Aus der Hilfsprojektion des Basispolygons ergeben sich aber sofort sein Grundund Aufriẞ (44' ||h' und 44' 1 h' etc., A = (A" - J"L") etc.). Hierauf lassen sich die Projektionen des Prismas leicht vervollständigen. Ist die Schnittebene E durch ihre Spuren e1, e2 gegeben, so

zeichne man zunächst in ihr eine Hauptlinie i. Die Vertikalebene in BM schneidet E in der Geraden FG, R" ist also der Aufriß der auf BM gelegenen Ecke des Schnittpolygons. Hiernach lassen sich die Projektionen dieses Polygons QRSTU angeben; denn es ist H'S F"G" und He, X C'N' etc. Um seine wahre Größe QRSTU zu finden, legen wir es um die Spur e, in П, um; dabei ist

00

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