zugleich AA,|| BB und 4 ̧1⁄2|| B1B2 ist, so sind die Dreiecke und BBB, ähnlich und ähnlich gelegen, folglich 44 || BB2, u. s. f. — 9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene E, als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affingelegener Figuren und &, in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst in F, dann J, in F, überführen. & F In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen und 3, ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktionen untersucht. Der obige Satz lässt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen A4, BB, u. s. w., welche jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben. 10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben irgend zwei Punkte derselben Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn eine derselben um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Im besonderen kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage durch eine Parallelprojektion auf die andere bezogen. Affine und affingelegene Figuren einer Ebene. 11. Zufolge der im vorigen enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren & und & derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften haben: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel; vorigen zurückgeführt, indem man (Fig. 6) AB um die Strecke BE CD verlängert. Dem Parallelogramm BCDE = entspricht nach B) ein affines Parallelogramm BC, D, E, wo B1E D E B a AB E C1 = = CD, die Verlängerung von 4B, bildet. 7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affingelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die obigen Eigenschaften erfüllt sind. Denn, sind A, B, C (s. Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, 41, B1, C1 die entsprechenden Punkte der anderen Figur, so schneiden nach a) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC X A,B,C1; da ferner nach 8): RA: AB = RA: A, B, sein soll, so ist AA, || BB1, u. s. f. - Finden für zwei ebene Figuren die obigen Eigenschaften mit Ausnahme der ersten statt, so sind sie nur als affin zu bezeichnen. Die Frage, ob sie in affine Lage gebracht werden können, findet ihre Erledigung erst durch später folgende Sätze. B Fig. 6. a A, 8. Es seien 3, &, und & drei Figuren, deren Ebenen E, E, und E, sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe 2 aus Fund F, aus & durch eine Parallelprojektion hervor; dann sind auch und durch eine solche aufeinander bezogen, d. h. es besteht der Satz: Sind in Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affingelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt, den Beweis für irgend zwei Punkte und ihre beiderlei Bilder zu führen. Den Punkten A, B in & mögen Ag, Bg in F, diesen A, B, in &, entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AB, AB, A,B, schneiden sich in einem Punkte R auf a. Da aber R B2 Fig. 7. 2 1 2 zugleich AA,|| BВ und à ̧Â1⁄2|| В B2 ist, so sind die Dreiecke A ̧Â1⁄2 und BB1B2 ähnlich und ähnlich gelegen, folglich A1⁄4 ̧ || BB2, u. s. f. 9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene E, als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affingelegener Figuren und in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst & in F2, dann F2 in F, überführen. In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen und 3, ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktionen untersucht. Der obige Satz lässt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen 441, BB1, u. s. w., welche jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht. mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben. 10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben irgend zwei Punkte derselben Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn wenn eine derselben um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Im besonderen kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage durch eine Parallelprojektion auf die andere bezogen. Affine und affingelegene Figuren einer Ebene. 11. Zufolge der im vorigen enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren & und F1 derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften haben: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel; P) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei 7) Jeder Punkt der Affinitätsachse entspricht sich selbst. Finden umgekehrt diese Beziehungen statt, so können die beiden Figuren durch Drehung der einen um die Achse in eine räumliche Lage übergeführt werden, bei welcher sie durch Parallelprojektion aufeinander bezogen sind. Hieraus folgen sofort alle ihre weiteren a die Affinität bei affiner Lage durch Angabe der Affinitätsachse a und zweier nicht auf ihr gelegener entsprechender Punkte Pund P1 auf Grund der unter ), ) und 7) angeführten Eigenschaften eindeutig bestimmt. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Q, bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S PQ a sucht und SP, mit der durch gelegten Parallelen zu PP, in Q, schneidet. Das Bild einer Geraden g ist mittels des Bildes Q, eines ihrer Punkte konstruierbar, denn man findet g1 TQ1: 91 TQ1, wenn T=g xa. Einfacher ergiebt sich 919 wenn PUg gezogen ist, als Parallele zu UP, durch T 12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten Pund P erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und P,, dessen Schneidet dieser a in und 1, so sind XPY und XP1 die gesuchten M R Fig. 9. Centrum M der Affinitätsachse a angehört. den Punkten 1 rechten Winkel. Ist P' der in Bezug auf a zu P1 symmetrische Punkt, so ist P1PY = ▲ P1'PY, weil die Bögen P1Y und PY gleich sind; der Strahl PY halbiert den PPP', PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtwinkelstrahlen dienen, falls etwa M außerhalb der Zeichnungsfläche liegt. Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punkten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu PX (oder PF) gelegene Punkte Q1 und R1. 13. Zur Auffindung zweier an Pund P, einander entsprechender Winkel von gegebener Größe dient folgende Betrachtung. Es werde zunächst angenommen, daß P und P1 auf derselben Seite der Affinitätsachse k P M M P Fig. 10. man aus einem beliebig auf QR angenommenen Punkte M' den Strahl MX unter dem Winkel R 9 gegen a und beschreibt um M' einen Kreis k' durch X', so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k'. Man findet daher M, indem man RP, mit k in P schneidet und PM PM' zieht. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und P, so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt P1; dann ist YP2Y = ≤ XP1Y. 14. Für jede Größe und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PQ, die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden g ist, (nach 6) das Verhältnis λ = PQ : P1Q1 einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich g, eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Strecken |