aus dem Dreieck ABC in E das Dreieck A,B,C, in E1 als Bild hervor. Die Beziehung, in welcher die einander entsprechenden Figuren stehen, heißt Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage (perspektive Ahnlichkeit) und besitzt folgende Eigenschaften:

a) Entsprechende Gerade sind parallel; also:

8) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade g, und h, und einem Winkel ein ihm glei

7) Das Verhältnis irgend zweier entsprechenden Strecken AB und A,B, ist konstante:e, wenn

Ist für zwei ebene Figuren eine der beiden letzten Eigenschaften und folglich auch die andere erfüllt, so sind sie nur als ähnlich zu bezeichnen. Kommt aber die erste Eigenschaft hinzu, so befinden sie sich zugleich in ähnlicher Lage. In der That braucht man nur zwei einander entsprechende parallele Strecken AB und 4B, zu kennen, um das Ähnlichkeitscentrum 0 = AA1 × BB1 zu finden. Hieraus folgt weiter, daß je zwei ähn

B

liche Figuren auf unendlich viele Arten in ähnliche Lage gebracht werden können.

2. Die ähnlichen Figuren bleiben in ähnlicher Lage, wenn die Bildebene E, sich selbst parallel verschoben wird. An Stelle von O tritt dabei ein neues Centrum O'. Die Strecke 00', d. i. die Verschiebung des Centrums, ist mit derjenigen gleichgerichtet oder ihr entgegenE, auf derselben oder auf verschie

denen Seiten von E liegen; der Größe nach ist sie durch die Relation:

bestimmt, wo a die Größe der Verschiebung der Punkte von E, bezeichnet. Geht nämlich (Fig. 2) A, das Bild eines beliebigen Punktes A, bei der im Raume gedachten Parallelverschiebung von E, in A, über, so schneidet die Gerade 4,4 die durch O gezogene Parallele zu 44, in einem Punkte O, welcher durch die obigen Angaben bestimmt ist; dies gilt für jedes Paar entsprechender Punkte. Insbesondere bleibt der Charakter unserer Abbildung erhalten, wenn E, durch eine geeignete Parallel verschiebung mit E selbst zur Deckung gebracht wird. Diese Operation, welche auf unendlich viele Arten vollzogen werden kann, liefert ähnliche und ähnlichgelegene Gebilde in einer Ebene. Mit den projizierenden Strahlen fällt auch das Centrum O in die Ebene E. Die drei obengenannten Eigenschaften bleiben für die so erhaltene Kollineation in der Ebene unverändert bestehen. Sie ist eindeutig bestimmt durch. Angabe des Centrums und zweier einander entsprechender Punkte oder durch ein Paar paralleler entsprechender Strecken.

A,

Fig. 3.

B2

3. Der vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden: Sind im Raume zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen, so sind sie es auch zu einander. Das neue Ahnlichkeitscentrum liegt mit den beiden gegebenen in gerader Linie. Sind nämlich 4, B und 4,, B, (Fig. 3) entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlichgelegener Figuren, sowie O das zugehörige Ähnlichkeitscentrum, gilt ferner dasselbe von A, B, A, B, und Ơ, so liegen 4, und BB, in einer

Ebene, weil A,B,|| AB A,B, ist. Weiter liegt der Strahl 4,4, in der Ebene 400 und schneidet 00 in einem Punkte O'. In demselben Punkte wird 00 von B, B2 geschnitten, denn andernfalls hätte die Ebene der Strahlen 4,4, und BB, mehr als einen Schnittpunkt mit 00' gemein. O' ist das neue Ähnlichkeitscentrum. Der Satz gilt auch für Figuren in einerlei Ebene.

4. Von den Folgerungen, die aus dem Vorhergehenden unmittelbar gezogen werden können, mag als beachtenswerth diese hervorgehoben werden,

Fig. 4.

daß jede zu einem Kreise ähnliche Figur wiederum ein Kreis ist, und daß je zwei Kreise einer Ebene in doppelter Art als in ähnlicher Lage befindlich betrachtet werden können. Da nämlich (Fig. 4) die Mittelpunkte M und M, einander entsprechen und die Radien und r, der Verhältnisgleichung r:r1 =OM:OM, genügen müs

sen, so kann als Centrum jeder der beiden Punkte O und O' gewählt werden, welche die Strecke MM, in dem angegebenen Verhältnis außen und innen teilen (äußerer und innerer Ähnlichkeitspunkt). Durch O und O' gehen die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise, deren es im allgemeinen vier giebt.

Parallelprojection einer ebenen Figur auf eine andere Ebene.

5. Die zu projizierenden Gebilde seien in der Ebene E gelegen; als Bildebene nehmen wir irgend eine zweite E, an. Werden durch die Punkte und Geraden einer in E befindlichen Figur parallel zu einer fest gewählten Richtung projizierende Strahlen resp. Ebenen gezogen und mit E, geschnitten, so entsteht eine zweite Figur, welche mit ihren Punkten und Geraden der vorgelegten eindeutig zugeordnet ist. Das Dreieck A, B, C, in E, geht z. B. auf diese Art aus dem Dreieck ABC in E hervor (Fig. 5). Das benutzte Verfahren wird im allgemeinen als schiefe, im besonderen, wenn die Projektionsrichtung zur Bildebene E, rechtwinklig steht, als orthogonale Parallelprojektion bezeichnet. Die geometrische Abhängigkeit

E

zwischen den entsprechenden Figuren heißt Affinität bei affiner Lage (perspektive Affinität); die projizierenden Strahlen werden Affinitätsstrahlen, die Schnittlinie a=EXE, wird Affinitätsachse genannt.

6. Aus der Definition ergeben sich die Eigenschaften affiner und affingelegener ebener Figuren.

a) Jeder Punkt der Af-
finitätsachse a ent-
spricht sich selbst;
folglich schneiden
sich entsprechende
Geraden gund g, auf

a und im beson-
deren ist g1a, wenn

ga angenommen wird.

9

Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele
Gerade g, und h1.

E,

7) Einem Winkel entspricht im allgemeinen ein von ihm verschiedener Winkel,. Es giebt aber an jedem. Punkte Peine Lage des Winkels q, bei welcher ihm (und seinem Scheitelwinkel) der gleiche Winkel am affinen Punkte P, entspricht. Namentlich existiert an je zwei affinen Punkten ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen. Letzteres wird aus folgender Konstruktion erkannt: man lege durch die Mitte der Strecke PP, eine zu ihr rechtwinklige Ebene A und um deren Achsenschnittpunkt M = a × A eine Kugelfläche, welche P, folglich auch P1 enthält. Schneidet diese die Achse a in X und Y, so sind XPY und XPY einander entsprechende und, weil sie über dem Kugeldurchmesser stehen, zugleich rechte Winkel.

d) Das Verhältnis je zweier Strecken einer Geraden und allgemeiner das Verhältnis je zweier paralleler Strecken ist dem ihrer Bilder gleich. Liegen nämlich entsprechende Strecken auf einer Geraden g und der affinen. Geraden g, vor, so sind sie durch Parallelen hervorgebrachte Abschnitte der Schenkel eines Winkels. Der allgemeinere Fall zweier paralleler Strecken AB und CD wird auf den

vorigen zurückgeführt, indem man Fig. 6, 4B um die Strecke BE CD verlängert. Dem Parallelogramm BCDE

B

E

D.

E,

entspricht nach ein aftines Parallelogramm

B1C, D, E, wo BE

= CD, die Verlängerung von 4 B1 bildet. 7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affingelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die obigen Eigenschaften erfüllt sind. Denn, sind A, B, C (s. Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, A1, B1, C1 die entsprechenden Punkte der anderen Figur, so schneiden nach a) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC × A,B,C1; da ferner nach ): RA: AB = RA,: A, B, sein soll, so ist AA1 || BB1, u. s. f. - Finden für zwei ebene Figuren die obigen Eigenschaften mit Ausnahme der ersten statt, so sind sie nur als affin zu bezeichnen. Die Frage, ob sie in affine Lage gebracht werden können, findet ihre Erledigung erst durch später folgende Sätze.

Fig. 6.

1

8. Es seien 3, &, und & drei Figuren, deren Ebenen E, E1

a

Fig. 7.

ihre beiderlei Bilder zu führen.

und E, sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe 2 aus Fund F1 aus & durch eine Parallelprojektion hervor; dann sind auch und F1 durch eine solche aufeinander bezogen, d. h. es besteht der Satz: Sind in Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affingelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt, den Beweis für irgend zwei Punkte und Den Punkten A. B in & mögen

A, B, in . diesen 4. B, in , entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AB, A, B, A, B, schneiden sich in einem Punkte Rauf a. Da aber