445-447. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Drei- Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, im Rückkehr- punkte und bei der Schnabelspitze 451. Konstruktion des Krümmungskreises für einen Punkt einer Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen. 454. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente, Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnormale, Binormale, 455. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan- gente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenz- zeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen 457. Die Raumkurve als Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 309 458. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven. 310 459. Elemente die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogen- längen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden, Kontingenzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rück- 460. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender 467. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes Kurvensystem, Nachbarkurven. Erzeugung durch stetige. 469. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte 315 470. 471. Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tan- gentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische Kugel, Cylinder und Kegel; ihre Projektionen, Eigen- und 474. Bestimmung der Projektionen eines Flächenpunktes. Sicht- bare und unsichtbare Flächenteile. Doppelkurven, wahrer und scheinbarer Umriß. Projektion einer auf der Fläche . 475. Lichtstrahlencylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächen- 476. Darstellung der Kugel, der Lichtgrenze auf ihr und ihres 479. Darstellung des elliptischen Cylinders, Lichtgrenze, Schlag- 480. Hohlcylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche. 481. Tangentialebenen eines Cylinders aus gegebenem Raumpunkte 482. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangen- 483. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Kegelfläche. Lichtgrenze, 484. Darstellung des geraden Kreiskegel in beliebiger Lage. Licht- grenze, Eigen- und Schlagschatten 485. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangential- ebenen des Kegels aus gegebenem Raumpunkte 486. Polstrahlen und Polarebenen, Achsen und Symmetrieebenen eines Kegels, dessen Grundkurve ein gegebener Kegel- 487. Konjugierte, insbesondere rechtwinklige konjugierte Strahlen 327 327 329 331 331 Ort der konjugierten Punkte zu denen einer Geraden. Spur- 488-491. Ausführung der Achsenbestimmung mit Hilfe einer gleich- seitigen Hyperbel und eines Kreises. Bestimmung der Hy- perbel. Hilfssatz. Bestimmung des Kreises. Allgemeiner Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 492. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene 493. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit gegebener Ebene; Ab- 495. 494. 345 Ebener Schnitt eines geraden Kreiscylinders; Abwickelung Ebener Schnitt eines schiefen Kreiscylinders; Abwickelung 341 Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels Ebener Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels. 349 Durchdringung von Kugel- Cylinder- und Kegelflächen. 505. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Cy- 519. 520. Die Brennstrahlen der Kegel und ihre Konstruktion Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte Die stereographische Projektion. 522. Entstehung und Eigenschaften der stereographischen Projektion. EINLEITUNG. Alle Zweige der Geometrie haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die Geometrie der Lage und die analytische Geometrie das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die darstellende Geometrie, wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der Darstellung oder Konstruktion der Figuren, welcher für die vorgenannten beiden. Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die darstellende Geometrie ist eine angewandte mathematische Disziplin: sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen er bei der Behandlung rein geometrischer Fragen allenthalben bedarf, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln. Der Zweck der darstellenden Geometrie ist die Bestimmung der Raumgebilde nach Gestalt, Größe und Lage durch die Konstruktion. Sie bedient sich dabei der Hauptsache nach ebener Bilder derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden erstens von den die Raumgebilde bestimmenden Angaben (also von ihrer Definition) ausgehend zu diesen Bildern gelangen, zweitens wie man von letzteren auf die Eigenschaften der dargestellten Figuren zurückschließen kann. Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer Methoden auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß ROHN u. PAPPERITZ. I. 1 nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen sich sämtlich auf die Konstruktion der ebenen Bilder durch Projektion. Die Methode des Projizierens ist aus den Vorgängen beim Sehen der Gegenstände abstrahiert. Die Centralprojektion entsteht, wenn man aus einem gegebenen Projektionscentrum (Augenpunkt) durch die Punkte des Objektes projizierende Gerade (Sehstrahlen) zieht und diese mit der Bildebene schneidet. Statt des Projektionscentrums kann auch eine feste Richtung gegeben werden, welcher die projizierenden Strahlen parallel laufen sollen, so daß sie gegen die Bildebene gleiche Neigung erhalten, insbesondere rechtwinklig stehen können; hierbei ergiebt sich die schiefe oder speziell die orthogonale Parallelprojektion. Diese Methoden empfehlen sich vor anderen durch die Bildlichkeit der Darstellungen, d. h. dadurch, daß die Gesichtseindrücke, welche wir von letzteren haben, in allem wesentlichen mit denen, welche die dargestellten Objekte selbst hervorrufen würden, übereinstimmen. Sie sind vorteilhaft infolge des hiermit eng verknüpften Umstandes, daß sich die Entwickelung der geometrischen Beziehungen, welche an den Objekten selbst stattfinden, bei ihrer Zugrundelegung am durchsichtigsten gestaltet. Mit Rücksicht auf die Anwendungen sucht man die Anschaulichkeit der Darstellungen räumlicher Objekte dadurch zu erhöhen, daß man ihnen die Wiedergabe der Beleuchtungsverhältnisse für eine geeignet angenommene Lichtquelle, namentlich die Konstruktion der Eigenschatten und der Schlagschatten (auf gegebene Ebenen sowie auf das Objekt selbst) hinzufügt. Die Lichtquelle wird entweder durch einen gegebenen Punkt im Endlichen vertreten, oder man denkt sie sich nach einer gegebenen Richtung unendlich fern gelegen, so daß die Lichtstrahlen parallel werden. Die Theorie der Schattenkonstruktionen ist in der Projektionslehre enthalten; die Theorie der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Oberflächen schließt sich eng an die erstere an, bedarf aber besonderer Auseinandersetzungen. In letzter Linie kommen für die darstellende Geometrie Methoden in Betracht, welche auf die Konstruktion räumlicher Abbilder oder Modelle der Raumfiguren abzielen. Unter ihnen bedürfen die, welche die Konstruktion von Modellen bezwecken, die mit den gegebenen Objekten kongruent oder (bei verändertem Maßstabe) in allen Teilen ähnlich sind, ihrer unmittelbaren Faßlichkeit wegen, keiner näheren Erläuterung. Hiervon abgesehen kommt die sogen. |