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100.

101. 102.

103.

104.

105.

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107.

108.

109.

110.

111.

112.

113 – 120.

121.

122.

123.

124.

III. Kapitel. Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

Das n-Kant und seine Bestimmungsstücke . . . . . . .

Seiten- und Winkelsumme des konkaven n-Kants, Polar-n-Kant

Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben .

Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln

Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck .

Konstruktion eines Dreikants aus andern Bestimmungsstücken

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

Das Vielflach oder Polyêder. Satz von Euler

Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs

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125. 126. Folgerungen aus dem Euler'schen Satze 98

127. Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyêders . 99

128. Reguläre Polyêder. Konstruktion des Achtfachs . 100

129. 130. Konstruktion des Zwölfflachs . - - - 101

131. 132. Konstruktion des Zwanzigfachs . 105

133. Reguläre Sternpolyéder . . . . . . . . . . . . . . 107

134. Tetraëder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind 108

135. Konstruktion des Würfels aus Kantenlänge und den Rich-

tungen der ersten Kantenprojektionen . . . . . . . . 109

136. Konstruktion des Würfels aus den Längen der ersten Kanten-

projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

137. Die einem Vierflach umschriebene Kugel 111

138. Die einem Vierfach eingeschriebene Kugel . 112

Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen

und Pyramiden.

139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche.

Netz des Vielflachs . 114

140. Prismen und Pyramiden . - - - - - - - - 115

141. 142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma 115

143. Schnitt und Netz einer Pyramide . . . . . . . . . . 118

144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basis-

und Schnittfläche und deren Neigungswinkel 119

Durchdringung zweier Vielflache.

145. Allgemeines über die Durchdringungsfigur . 121

146. Durchdringung von Würfel und Tetraëder . . . . 122

147. Durchdringung von Prisma und Pyramide in spezieller

Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

148–150. Durchdringung von Prismen und Pyramiden in allgemeiner

Lage . - - 125

Schlagschatten und Eigenschatten bei Wielflachen.

151. Schlag- und Eigenschattenbegrenzung bei parallelen Licht-

strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

152. Eigenschatten eines Zwölfflachs und Schlagschatten auf die

Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte

Pyramide und Achtfach). • • • • • • • • 130

Beispiele für angewandte Schattenkonstruktion.

154. Freitreppe . 131

155. Fenster . • • • • • 1ZZ

156. Dachfläche mit Schornstein . 135

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172. 173.

174.

175– 180.

181. 182.

183.

184.

185.

186.

187. 188.

189.

190.

191 – 193.

Perspektive Grundgebilde.

Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel,

Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde

Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte - - - - -

Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Graden
zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller Punkte der
beiden Reihen ist hierbeistets das gleiche. Folgerungen hieraus

Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines

Büschels mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt . . . .

Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen

Folgerungen . . . . . . . . . . . . .

Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln a - -

Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonal-
projektion des andern angesehen werden . . . . . . .

Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines

Büschels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare

rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen - - -

Projektivität von einförmigen Grundgebilden - - -

ABCD, BADC, CDAB und DCBA sind projektiv . . . . .

Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage

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237–239. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Centrum
der Perspektive ist dabei beliebig. Definition und Eigen-
schaften von Pol und Polare . . . . . . . . 182

240–243. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel,

die in sich übergehen . . . . . . . . . . . . . . 184

244–246. Involutionen bei Kreisbüscheln; Konstruktion der Doppel-

punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

247–251. Schiefer Kreiskegel. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise

einer Kugel sind perspektiv und umgekehrt . . . 189

252. Symmetrieebenen des schiefen Kreiskegels . . . . . . . 193

253–256. Centralprojektionen eines Kreises in einen andern, wobei eine

nicht schneidende Gerade in die unendlich ferne, oder ein

innerer Punkt in den Mittelpunkt, oder drei Punkte des

Originals in drei Punkte des Bildes übergehen. . 194

Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des

Kreises. Um- und eingeschriebene Polygone.

257–259. Definition der Kegelschnitte als perspektive Bilder eines

Kreises; sie sind stetige geschlossene Kurven und teilen

die Ebene in ein inneres und ein äußeres Gebiet. Zwei

Schnittpunkte mit einer Geraden und zwei Tangenten aus

einem Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

260–262. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel 198

263. Projektive Punktreihen oder Strahlbüschel gehen bei jeder

Centralprojektion wieder in solche Reihen oder Büschel über 200

264. Die Punkte eines Kreises oder Kegelschnittes projizieren sich aus

zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel 200

265. Die Tangenten eines Kreises oder Kegelschnittes schneiden

zwei feste Tangenten an ihn in projektiven Punktreihen 201

266. 267. Zwei Vierecke, die einem Kreise oder Kegelschnitt in den

nämlichen Punkten ein- und umgeschrieben sind . 202

268. 269. Pascal'sches Sechseck und Brian chon'sches Sechsseit . 204

270–274. Spezialfälle der Sätze von Pascal und Brianchon 205

Pol und Polare eines Kegelschnittes. Mittelpunkt, Durchmesser

und Achsen.

275. Die Eigenschaften von Pol und Polare, abgeleitet aus dem

Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen

Viereck . 208

276. Polardreieck . . . . . . . . . . . . . . . 209

277–281. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Be-

schreibt der Pol eine Punktreihe, so beschreibt seine har-

monische Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel 210

282–284. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der

harmonischen Polaren durch einen Punkt. 212

285–287. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes 214

288–291. Konjugierte Durchmesser und Achsen . . . . . . . . . 216

292. Um- und eingeschriebene Parallelogramme bei einem Kegel-

schnitt 218

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