85. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch

Paralleldrehung zu einer Tafel .

86. Abstand eines Punktes von einer Geraden

87. Errichtung einer Normalen von gegebener Länge in einem

Punkte eines Dreiecks.

63

88. Drehung eines Punktes um eine Tafelparallele durch einen

gegebenen Winkel

63

64

89-91. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch Pro-

jektionsmethoden.

69

92-94. Rotationskegel. Zwei Kegel mit gemeinsamer Spitze. Polarkegel 67

95. Rotationscylinder

96. Neigungskreis in einer Ebene für Gerade und Ebenen durch

einen Punkt

69

97. Gerade von gegebener Tafelneigung in einer Ebene .

98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine Gerade

99. Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze

100. Gemeinsame Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit ge-

69

70

71

71

meinsamer Spitze

101. 102. Anwendung auf Gerade und Ebenen mit gegebenen Tafel-

neigungen

73

74

103. Gerade, die zwei windschiefe Gerade unter gegebenen Winkeln

schneiden

75

104. Ebenen durch einen Punkt, die mit zwei Geraden gegebene

Winkel einschließen

105. Gerade in einer Ebene, die von zwei festen Punkten außer-

halb gegebene Abstände haben

106. Gerade durch einen Pnnkt, die von zwei Geraden vorgeschrie-

bene Abstände haben

107. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form der andern

gegeben ist.

108. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form gegeben ist
109. Schiefe Parallelprojektion eines Kreises in eine gegebene Ellipse

Seiten- und Winkelsumme des konkaven n-Kants, Polar-n-Kant 82

Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben

Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln

121. Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck .

84

85

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

123. Das Vielflach oder Polyëder. Satz von Euler

124. Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs

125.

126. Folgerungen aus dem Euler'schen Satze

127. Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyëders

128. Reguläre Polyëder. Konstruktion des Achtflachs

129. 130.

Konstruktion des Zwölfflachs

131. 132. Konstruktion des Zwanzigflachs

Seite

98

99

100

101

105

107

134. Tetraëder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind 108

135. Konstruktion des Würfels aus Kantenlänge und den Rich-

tungen der ersten Kantenprojektionen

109

136.

Konstruktion des Würfels aus den Längen der ersten Kanten-

projektionen

110

137.

Die einem Vierflach umschriebene Kugel

111

112

Die einem Vierflach eingeschriebene Kugel.

Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen

und Pyramíden.

139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche.

Netz des Vielflachs.

114

140. Prismen und Pyramiden .

115

141.

142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma

143. Schnitt und Netz einer Pyramide

115

118

144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basis-

und Schnittfläche und deren Neigungswinkel

153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte

Pyramide und Achtflach).

Seite

IV. Kapitel. Perspektivität ebener Figuren. Harmonische

Gebilde.

Centralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

157. Centralprojektion einer ebenen Figur

158. Spezialfälle: Affine, ähnliche, kongruente Figuren

159. Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und

Verschwindungslinie einer Ebene .

135

136

136

160. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung

der Ebene

137

161. Bestimmung der Centralprojektion bei gegebener Original-

und Bildebene

137

162. Drei paarweise perspektive Figuren.

138

163. Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Achse 139

164. Vereinigung von Original- und Bildebene durch Drehung

165. Perspektive Beziehungen zwischen Grund- und Schnittpolygon

einer Pyramide

Perspektive in der Ebene.

166. Eigenschaften perspektiver oder centrisch-kollinearer Figuren

einer Ebene

167. Übergang von der ebenen zur räumlichen Perspektive

168-171. Bestimmungsstücke der Perspektive, Gegenachsen (Flucht- und

Verschwindungslinie) und Gegenpunkte (Flucht- und Ver-

schwindungspunkt)

.

Perspektive Grundgebilde.

172. 173. Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel,
Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde

174. Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte

175-180. Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Graden

zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller Punkte der

beiden Reihen ist hierbei stets das gleiche. Folgerungen hieraus 145

181. 182. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines

Büschels mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt

183. Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen

184. Folgerungen

185. Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln

186. Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonal-

projektion des andern angesehen werden

187. 188. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines

Büschels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare

rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen

189. Projektivität von einförmigen Grundgebilden

190. ABCD, BADC, CDAB und DCBA sind projektiv.

148

149

149

149

150

151

152

152

191-193. Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage 153

Seite

Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereck.

194. Das vollständige Vierseit

156

195-198.

Definition der harmonischen Lage von vier Punkten. Har-

monische Beziehungen am Vierseit

156

199. Acht verschiedene projektive Anordnungen von vier harmo-

nischen Punkten. . . .

159

202. 203. Das vollständige Viereck; harmonische Beziehungen an ihm.

Konstruktion des vierten harmonischen Sirahles

160

204. Spezielle harmonische Punkte und Strahlen . . .

161

205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat 162

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden.

206. 207. Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen und affinen Strecken 162

208. 209. Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) . . . 163

210. 211. Bestimmung jedes Elementes in einer Punktreihe, einem Strahl-

oder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis. . . . 164

212. 213. Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen 165

214-217. Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grund-

gebilden. Umkehrung. .

218. Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten .

Involutorische Grundgebilde.

166

168

219-221. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen.

Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich 169

222. 223. Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen.

Letztere besitzen Doppelpunkte; ihre harmonische Lage zu

den Punktepaaren

227.

230.

224. Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion

der Paare mittels eines vollständigen Vierecks

225. Herstellung der involutorischen Lage

226. Metrische Beziehungen

. 170

172

172

173

228. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder

Ebenenbüscheln

229. Zwei Strahlenpaare bestimmen eine Involution. Konstruktion

der Paare mittels eines Vierseits

231. Das Rechtwinkelpaar. Die Involution rechtwinkliger Strahlen-

paare..

232. Doppelstrahlen; ihre harmonische Lage zu den Strahlenpaaren 176

233. Metrische Beziehungen

V. Kapitel. Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Perspektivität zweier Kreise. Pol und Polare beim Kreise. In-

volutorische Centralprojektion in der Ebene. Perspektivität zweier

Kreise im Raume.

234-236. Perspektive Lagen zweier Kreise einer Ebene. Die Ähnlich-

keitspunkte als Centren, die Chordale als Achse .

177

178

237-239. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Centrum
der Perspektive ist dabei beliebig. Definition und Eigen-
schaften von Pol und Polare

240-243. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Kreisbüschel,

die in sich übergehen

.

244-246. Involutionen bei Kreisbüscheln; Konstruktion der Doppel-

punkte

247-251. Schiefer Kreiskegel. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise
einer Kugel sind perspektiv und umgekehrt.

252. Symmetrieebenen des schiefen Kreiskegels
253-256. Centralprojektionen eines Kreises in einen andern, wobei eine
nicht schneidende Gerade in die unendlich ferne, oder ein
innerer Punkt in den Mittelpunkt, oder drei Punkte des
Originals in drei Punkte des Bildes übergehen.

Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des
Kreises. Um- und eingeschriebene Polygone.

257-259. Definition der Kegelschnitte als perspektive Bilder eines

Kreises; sie sind stetige geschlossene Kurven und teilen

die Ebene in ein inneres und ein äußeres Gebiet. Zwei

Schnittpunkte mit einer Geraden und zwei Tangenten aus

einem Punkte.

260–262. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel
263. Projektive Punktreihen oder Strahlbüschel gehen bei jeder

266.

Seite

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196

198

Centralprojektion wieder in solche Reihen oder Büschel über 200

264. Die Punkte eines Kreises oder Kegelschnittes projizieren sich aus

zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel 200

265. Die Tangenten eines Kreises oder Kegelschnittes schneiden
zwei feste Tangenten an ihn in projektiven Punktreihen
267. Zwei Vierecke, die einem Kreise oder Kegelschnitt in den
nämlichen Punkten ein- und umgeschrieben sind
Pascal'sches Sechseck und Brianchon'sches Sechsseit
270-274. Spezialfälle der Sätze von Pascal und Brianchon

268. 269.

Pol und Polare eines Kegelschnittes. Mittelpunkt, Durchmesser

und Achsen.

275. Die Eigenschaften von Pol und Polare, abgeleitet aus dem

Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen

Viereck

276. Polardreieck

277-281. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Be-

schreibt der Pol eine Punktreihe, so beschreibt seine har-

monische Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel

282-284. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der

harmonischen Polaren durch einen Punkt. .

285-287. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes

288-291. Konjugierte Durchmesser und Achsen .

201

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