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bestimmt, wo a die Größe der Verschiebung der Punkte von E. bezeichnet. Geht nämlich (Fig. 2) A, das Bild eines beliebigen Punktes A, bei der im Raume vollführten Parallelverschiebung von E in A, über, so schneidet die Gerade A2A die durch O gezogene Parallele zu A, A, in einem Punkte O, welcher durch die obigen Angaben bestimmt ist; dies gilt für jedes Paar entsprechender Punkte. – Insbesondere bleibt der Charakter unserer Abbildung erhalten, wenn E, durch eine geeignete Parallelverschiebung mit E selbst zur Deckung gebracht wird. Diese Operation, bei der ein bestimmter Punkt von E in einen beliebigen Punkt von E verschoben werden kann, liefert ähnliche und ähnlich liegende Gebilde in einer Ebene. In die Ebene E fällt auch das Centrum O' und die projizierenden Strahlen. Die drei oben genannten Eigenschaften bleiben für die so erhaltene ähnliche Beziehung in der Ebene unverändert bestehen. Sie ist eindeutig bestimmt durch Angabe des Centrums und zweier einander entsprechender Punkte, oder durch ein Paar paralleler entsprechender Strecken. 3. Der vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden: Sind im Raume zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen, so sind sie es auch zu einander. Das neue Ähn- Fig. 3. lichkeitscentrum liegt mit den beiden gegebenen in gerader Linie. Sind nämlich A, B und A, B (Fig. 3) entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlich gelegener Figuren, sowie 0 das zugehörige Ähnlichkeitscentrum, gilt ferner dasselbe von A, B, A, B, und O, so liegen 442 und B, B, in einer Ebene, weil A, B, AB A, B, ist. Weiter liegt der Strahl A, A, in der Ebene 400 und schneidet 00 in einem Punkte 0“. In demselben Punkte wird OO von B, B, geschnitten; denn B, B, und 00 müssen sich in einem Punkte schneiden, da sie in einer Ebene liegen; das muß aber der Schnittpunkt von O0 mit der Ebene A, BA, B, also O“ sein. 0" ist das neue Ähnlichkeitscentrum. Der Satz gilt auch für Figuren in einerlei Ebene. 4. Von den Folgerungen, die man unmittelbar aus diesen Betrachtungen ziehen kann, mag als beachtenswert diese hervorgehoben werden, daß jede zu einem Kreise ähnliche Figur wiederum ein Kreis ist, und daß je zwei Kreise einer Ebene in doppelter Weise als in ähnlicher Lage befindlich angesehen werden können. Da nämlich die Mittelpunkte M und M, einander entsprechen (Fig. 4) und entsprechende Radien parallel und gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind, so ergeben sich auf MM, zwei Ähnlichkeitscentren O und O' (ein äußeres und ein inneres), für welche die Verhältnisgleichung OM: OM = r: r = O'M: O'M besteht. Die Verbindungslinien der Endpunkte von parallelen, gleichgerichteten Radien gehen durch O, von entgegengesetzt gerichteten Radien aber durch O'. Durch O und O' gehen auch die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise, deren es im allgemeinen vier giebt.

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Fig. 4.

Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene.

5. Die zu projizierenden Gebilde seien in der Ebene E gelegen; als Bildebene nehmen wir irgend eine zweite Ebene E an. Werden durch die Punkte und Geraden einer in der Ebene E befindlichen Figur in einer festgewählten Richtung projizierende Strahlen resp. Ebenen gezogen und mit E geschnitten, so entsteht eine zweite Figur, die mit ihren Punkten und Geraden der vorgelegten eindeutig zugeordnet ist. Das Dreieck A, B, C in E, geht z. B. auf diese Weise aus dem Dreieck ABC in E hervor (Fig. 5). Das benutzte Verfahren wird im allgemeinen als schiefe, im besonderen, wenn die Projektionsrichtung zur Bildebene E senkrecht steht, als orthogonale Parallelprojektion bezeichnet. Die geometrische Abhängigkeit zwischen den entsprechenden Figuren heißt Affinität bei affiner Lage; die projizierenden Strahlen werden Affinitätsstrahlen, ihre Richtung Affinitätsrichtung, die Schnittlinie a=Ex E. wird Affinitätsachse genannt. 6. Aus der Definition ergeben sich die Eigenschaften affiner und affin gelegener ebener Figuren. «) Jeder Punkt der Affinitätsachse a entspricht sich selbst; entsprechende Gerade g und g, schneiden Fig. 5. sich auf a, und insbesondere ist g | a, wenn g | a angenommen wird. 3) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade g und h1. y) Einem Winkel p entspricht im allgemeinen ein von ihm verschiedener Winkel p1. Es existiert aber an je zwei affinen Punkten P und P ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen. ö) Das Verhältnis je zweier Strecken auf der nämlichen oder auf parallelen Geraden ist dem ihrer Bilder gleich. Die unter y) angeführten entsprechenden rechten Winkel erkennt man aus folgender Konstruktion. Man lege durch die Mitte der Strecke PP eine zu ihr rechtwinklige Ebene A und um deren Achsenschnittpunkt M = a × A eine Kugelfläche, welche P und also auch P enthält. Schneidet diese die Achse a in X und Y, so sind z_ XPY und Z XP Y einander entsprechende und, weil sie über dem Kugeldurchmesser stehen, zugleich rechte Winkel. Liegen die in Ö) erwähnten Strecken auf der nämlichen Geraden g, also ihre Bilder auf der affinen Geraden g, so werden die gegebenen und ihre Bildstrecken auf den Schenkeln des Z gg durch Parallelen ausgeschnitten, woraus der eine Teil des Satzes unmittelbar folgt. Der allgemeinere Fall zweier paralleler Strecken A B und CD wird

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A

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auf den vorigen zurückgeführt, in dem man (Fig. 6) AB um die Strecke BE = CD verlängert. Dem Parallelogramm BCDE entspricht nach 3) ein affines Parallelogramm BC, D, E, wo B, E = C, D, die Verlängerung von A, B, bildet. 7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affin gelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die unter co), 3) und Ö) aufgeführten Eigenschaften erfüllt sind. Aus a) und 3) folgt Ö), ebenso kann man aus ce) und Ö) die Eigenschaft 3) folgern. Denn sind A, B, C, (siehe Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, A, B, C die entsprechenden Punkte der andern Figur, so schneiden nach co) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC × A, B, C. Da ferner nach Ö): RA: AB = RA : A, B sein soll, so ist AA, BB, u. s. f.

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8. Es seien F, F und F, drei Figuren, deren Ebenen E, E und E, sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe F, aus F und F aus F., durch eine Parallelprojektion hervor. Dann ist auch F eine Parallelprojektion von F, d. h. es besteht der Satz: Sind in Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affin gelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt den Satz für irgend zwei Punkte und ihre beiderlei Bilder zu führen. Den Punkten A, B in F mögen A, B, in F, und diesen A, B in F, entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AB, A, B, A, B, schneiden sich in einem Punkte R auf a. Da aber zugleich AA, BB, und A, A, B, B, ist, so sind die Dreiecke 4A, A, und BB, B, ähnlich und ähnlich gelegen (aus dem Ahnlichkeitscentrum R), folglich ist AA, BB, u. s. f.

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9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene E als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affin gelegener Figuren F und F in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst F in F, und dann F, in F überführen. In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen F und F ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktion untersucht. Der obige Satz läßt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen AA, BB, u. s. w., die jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben.

10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben die Punkte der Figur Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affin gelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn eine von ihnen um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Insbesondere kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage eine Parallelprojektion der anderen darstellen.

Affine und affingelegene Figuren einer Ebene.

11. Zufolge der im vorigen Abschnitt enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren F und F derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften aufweisen: a) Jeder Punkt der Affinitätsachse entspricht sich selbst. 3) Den Punkten einer Geraden entsprechen wieder Punkte einer Geraden. 7) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel.

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