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108. Ein Dreieck, dessen zweite Projektion d′′В"C" gegeben ist, soll so bestimmt werden, dass es einem gegebenen Dreieck A, B, C, ähnlich wird. Auch diese Aufgabe ist in derselben Weise wie die vorige unbestimmt, indem eine Parallelverschiebung des Dreiecks in der zu П, senkrechten Richtung ohne Belang ist. Wir denken uns zunächst, daß ein unserer Aufgabe genügendes Dreieck ABC gefunden und durch Umlegung um die zweite Spur e seiner Ebene in seiner wahren Gestalt als

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▲ A B°C dargestellt sei (Fig. 85). Dann kann man durch C eine Haupt- und eine Falllinie ziehen, welche die Dreiecksseite AB in zwei Punkten Y und X schneiden werden. Im Aufriß und in der Umlegung ergeben sich so zwei rechtwinklige Dreiecke X"C" Y" und X°C Yo, deren Katheten C"Y" und C° Y° gleich lang und parallel sind und deren Katheten X"C" und X°C° auf der nämlichen Geraden liegen. Zugleich besteht die Relation: X°A° : 4oBo: Bo Yo = X"A": "B": B"Y". Schneidet man also die Seiten CoXo, Co Ao, C° B, C° Yo mit einer Parallelen zu 4°B° bezüglich in den Punkten

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= A"B" wird,

X1, А1, В1, Y1 und richtet es dabei so ein, daß ¿1⁄2Â1⁄2 so wird zugleich X1 41 X"A" und B11 B"Y". Jetzt kann man das Dreieck X, CoY, samt den Punkten 4, und B1 auf seiner Hypotenuse so verschieben, daß die Punkte X11 B11 sich mit den Punkten X"A" B" Y" der Reihe nach decken. Dabei mag C° nach C1 gelangt sein.

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Das Dreieck A′′ C1B" läßt sich aber unmittelbar aus den Daten unserer Aufgabe zeichnen, indem es die Seite A"B" besitzt und dem Dreieck 4, CB, ähnlich ist. Die Punkte X" und Y" findet man dann dadurch, daß X"C"Y" = ▲ X" C1Y" = R ist; ein Kreis durch C" und C,, dessen Centrum auf A" B" liegt, schneidet sie aus. Nun ist X"C"Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten auf einer Haupt- und einer Falllinie liegen und dessen Umlegung zu ▲ X"CY" ähnlich ist. Dabei ist zu beachten, daß die Kathete "C" dieser Falllinie angehört, wenn X"C" < X" C1 ist. Man bringe demnach das letztgenannte Dreieck in eine solche Lage ICY, daß seine Kathete XC auf der Verlängerung von X"C" liegt, wobei seine Kathete CoY, zu C"Y" parallel wird. Jetzt trage man CYC"Y" auf C°Y, auf und ziehe YX YX, so ist AX°C°Y° die Umlegung und AX"C"Y" die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks XCY. Ist E die Ebene dieses Dreiecks, so ist ihre Spur e parallel zu C"Y" und geht durch den Punkt V = X°Y° × X"Y". Ist U e X C°C", so ist die Tafelneigung von E so zu bemessen, daß C"U die orthogonale Projektion von CU CU wird; bildet man also aus CU und C"U als Hypotenuse und Kathete ein rechtwinkliges Dreieck, so schließen sie den Winkel der Tafelneigung ein. Bestimmt man noch 4, und B1 auf X11, indem man X11 = X"A" und Y,B1 Y"B" macht, und schneidet die Geraden CoA1 und CoB1 mit X°Yo in 4o und Bo, so sind 4o und Bo die Umlegungen der Punkte A und B, deren Aufrisse A′′ und B" sind. Denn nach der Konstruktion gilt die Relation: X"A": A"B" : B"Y" = X°A°, AoB°: B°Y°, damit werden aber A" A° und B"B0 zu e, senkrecht, w. z. b. w. Somit ist die Umlegung A°B°C0 des gesuchten Dreiecks gefunden; in der Figur ist dann noch eine x-Achse angenommen und der Grundriß, sowie die Spur e1 aus Aufriß und Umlegung konstruiert.

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109. Die schiefe Parallel projektion eines gegebenen Kreises vom Radius r auf eine Ebene П, soll so bestimmt werden, daß sein Bild eine Ellipse von gegebenen Halbachsen a und b wird. Der Kreis k werde um die Spur e, seiner Ebene in П1 niedergelegt. Seine Umlegung k。 (Fig. 86 b) und sein

Bild, die Ellipse k1, müssen sich in Bezug auf e, als Achse in affiner Lage befinden; mithin muß dem zu e, parallelen Kreisdurchmesser CD ein ihm gleicher und paralleler Ellipsendurchmesser CD1 entsprechen. Damit aber eine Ellipse mit den Halbachsen a und einen Durchmesser von der Länge 2r habe, muß arb sein. Diese Bedingung entschei

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det über die Lösbarkeit unseres Problems; ist sie erfüllt, so giebt es im allgemeinen zwei Ellipsendurchmesser der geforderten Art symmetrisch zu den Achsen.

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Sind MA1 und M1B1 die Halbachsen der Ellipse k1 und schneiden sie die Spur e, in X und Y, so entsprechen ihnen beim affinen Kreis ko zwei rechtwinklige Halbmesser MA, und MoBo welche die Spur e, ebenfalls in X und schneiden (vergl. 19). In dieser affinen Beziehung zwischen k1 und k。 entspricht dem AAM, B, das A AMB. Nun bleiben zwei Figuren F. und F in affiner Lage, wenn man die eine in der Richtung der Affinitätsstrahlen gegen die andere verschiebt. Sind nämlich h, und h1 zwei zur Affinitätsachse 1 parallele, sich entsprechende Gerade, so sind je zwei auf ihnen liegende, entsprechende Strecken einander gleich. Führt man also

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die gemeinte Verschiebung von F, aus, so daß h, und h, sich decken, so fallen auf je zwei entsprechende Punkte zusammen, d. h. diese Gerade bildet nach der Verschiebung die Affinitätsachse, während die Affinitätsrichtung ersichtlich die frühere bleibt. Insbesondere bleiben die Dreiecke AMB1 und MВ in affiner Lage, wenn man das letztere um die Strecke MM, verschiebt; dann deckt sich CD, mit CD1 und diese Gerade wird für die neue Lage der Dreiecke zur Affinitätsachse.

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Es gilt hiernach zwei der Größe nach bekannte rechtwinklige

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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Dreiecke AMB1 (mit den Katheten a und b) und AMB (mit den Katheten r) in eine solche affine Lage zu bringen, daß M und M1 sich decken (Fig. 86a). Dazu ist nur nötig, daß BB1 || 464, wird, die Affinitätsachse verbindet dann M, mit dem Punkt ÆВ × ¿1⁄2Â ̧. Lassen wir also AM,BB, eine Drehung von 90° um M, ausführen, so gelangt B, nach 4 und B1 nach B' auf M11, zugleich ist B'A11 R. Das liefert folgende Konstruktion. Man trage MB = MB an M4, an, beschreibe über B'A, einen Halbkreis und schlage um M1 mit dem Radius r einen Kreis. Beide Kreise schneiden sich in dem gesuchten Punkt 4, während MB =r senkrecht zu M,4, zu ziehen ist. Nun zeichne man noch die Affinitätsachse С1D1 ein, die M1 mit АВ× ÁB1 verbindet. Wie aber in Figur 86a MB ̧ und M1B1 mit M1C, die Winkel 9, resp. 91 einschließen, so müssen in Figur 86b MB, und M1B1 mit e1 die nämlichen Winkel und bilden. Man ziehe also MX unter Фо P1 dem Winkel gegen e, und MY senkrecht dazu, ziehe ferner MX unter dem Winkel, gegen e1 und M, Y dazu senkrecht; so erhält man den Mittelpunkt M, der gesuchten Ellipse und auf MX und M1Y ihre Scheitel 41 und B1 (MM1 || À ̧41 || B ̧В1). Damit ist unsere Aufgabe gelöst. Wird der Kreis ko in seine ursprüngliche Lage aufgedreht, so bleibt er durch Parallelprojektion auf die Ellipse bezogen.

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DRITTES KAPITEL.

Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. An einem ebenflächigen Gebilde 3) unterscheidet man Seitenflächen, Kanten und Ecken. Die Kanten sind in zweifacher Weise angeordnet; einerseits bilden sie ebene Vielecke, andererseits körperliche Ecken.

Eine körperliche n-kantige Ecke oder kürzer ein n-Kant wird gebildet von n Strahlen und n Ebenen, die von einem Punkte ausgehen. Dieser Punkt heißt der Scheitel, jene Strahlen die Kanten und die zwischen ihnen liegenden Winkel die Seiten (Seitenflächen) der körperlichen Ecke. Jede Seite wird von zwei

Kanten begrenzt und kann daher auch als Kantenwinkel bezeichnet werden, in jeder Kante stoßen zwei Seiten aneinander und bilden die Flächenwinkel oder kurz die Winkel des n-Kants.

Zwei n-Kante, welche alle Seiten und alle Winkel entsprechend gleich haben, sind entweder kongruent oder symmetrisch. Dies erkennt man unmittelbar, wenn man die beiden n-Kante in eine solche gegenseitige Lage bringt, daß zwei aufeinanderfolgende Kanten des einen mit den entsprechenden des anderen zusammenfallen, wobei dann beide n-Kante sich entweder ganz decken oder sich in symmetrischer Lage in Bezug auf die gemeinsame Seitenfläche als Symmetrieebene befinden. Verlängert man die Kanten eines n-Kants über den Scheitel hinaus, so erhält man ein neues n-Kant, dessen Seiten die Scheitelwinkel der Seiten des ersteren sind; beide n-Kante sind symmetrisch.

111. Ein n-Kant, bei dem jeder Flächenwinkel 2 R ist, heißt konkav.

S

Bei einem konkaven n-Kant ist die Summe der Seiten 4 R, vorausgesetzt, daß sich die Seitenflächen nicht durchkreuzen. Schneidet man nämlich das n-Kant mit einer Ebene, die alle Kanten trifft, so entsteht ein Körper, den man als n-seitige Pyramide bezeichnet; derselbe wird begrenzt von einem n-Eck, der Basisfläche, und n Dreiecken, den Seitenflächen (vergl. Fig. 87). Nennt man die Ecken der Basisfläche 1, 2, .... n und die nach ihnen laufenden Kanten k1, k,... k so kann man die Kantenwinkel durch Lkk, kg kg.... kk, die Flächenwinkel durch k1, L ką Lk bezeichnen. Bedenkt man, daß die Winkelsumme in jedem der n Seitendreiecke 2 R beträgt, so folgt:

n

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n

η

< kq kq + L kykg + ... + ≤ k k1 = 2n R -LS12-4821-823-832 L Sn 1 LS1n.

Nun ist der Punkt 2 Scheitel eines Dreikants mit den Kanten 2 1, 23, 28, und

Fig. 87.

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da in jedem Dreikant die Summe zweier Seiten größer als die dritte ist, hat man:

LS21+2 S23 > 123.

Indem man die analogen Resultate für die Ecken 3, 4, ..., n, 1 benutzt, geht die frühere Gleichung in die Ungleichung über:

< kykg + L kg kg + ... + k k1 < 2n R123234....

kq

n

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