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108. Ein Dreieck, dessen zweite Projektion A“ B“C“ gegeben ist, soll so bestimmt werden, dass es einem gegebenen Dreieck A, B, C, ähnlich wird. Auch diese Aufgabe ist in derselben Weise wie die vorige unbestimmt, indem eine Parallelverschiebung des Dreiecks in der zu TT, senkrechten Richtung ohne Belang ist. Wir denken uns zunächst, daß ein unserer Aufgabe genügendes Dreieck A BC gefunden und durch Umlegung um die zweite Spur e, seiner Ebene in seiner wahren Gestalt als

Fig. 85.

A B°C" dargestellt sei (Fig. 85). Dann kann man durch C eine Haupt- und eine Falllinie ziehen, welche die Dreiecksseite A B in zwei Punkten Y und X schneiden werden. Im Aufriß und in der Umlegung ergeben sich so zwei rechtwinklige Dreiecke XC“ Y“ und X"C" Y", deren Katheten C“ Y“ und C" Y" gleich lang und parallel sind und deren Katheten XC und X"C" auf der nämlichen Geraden liegen. Zugleich besteht die Relation: X"A": A" B": B" Y" = X“A“: A“ B“: B“ Y“. Schneidet man also die Seiten C"X", C"A", B", C" Y" mit einer Parallelen zu A"B" bezüglich in den Punkten X, A, B, Y und richtet es dabei so ein, daß A B = A“ B“ wird, so wird zugleich X A = X“A und B, Y = B“Y“. Jetzt kann man das Dreieck X C" Y samt den Punkten A und B auf seiner Hypotenuse so verschieben, daß die Pnnkte X A, B, K sich mit den Punkten X“ A“ B“ Y“ der Reihe nach decken. Dabei mag C" nach C gelangt sein. Das Dreieck A“C B“ läßt sich aber unmittelbar aus den Daten unserer Aufgabe zeichnen, indem es die Seite A“ B“ besitzt und dem Dreieck A, C, B, ähnlich ist. Die Punkte X“ und Y“ findet man dann dadurch, daß z X“C“ Y“ = z. X“C Y= R ist; ein Kreis durch C“ und C, dessen Centrum auf A“ B“ liegt, schneidet sie aus. Nun ist X“C Y“ die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten auf einer Haupt- und einer Falllinie liegen und dessen Umlegung zu A X“C Y“ ähnlich ist. Dabei ist zu beachten, daß die Kathete X“C“ dieser Falllinie angehört, wenn X“C“< X“C ist. Man bringe demnach das letztgenannte Dreieck in eine solche Lage XC"Y, daß seine Kathete XC" auf der Verlängerung von X"C“ liegt, wobei seine Kathete C"K zu C“Y" parallel wird. Jetzt trage man C"Y" = C“Y“ auf C"Y auf und ziehe Y"X" YX, so ist A X"C"Y" die Umlegung und A XC“Y“ die Projektion eines rechtwinkligen Dreiecks XCY. Ist E die Ebene dieses Dreiecks, so ist ihre Spur e, parallel zu C“ Y“ und geht durch den Punkt Y= X"Y" × X"Y". Ist U = e, × C°C“, so ist die Tafelneigung von E so zu bemessen, daß C“U die orthogonale Projektion von CU = C"U wird; bildet man also aus C"U und C“U als Hypotenuse und Kathete ein rechtwinkliges Dreieck, so schließen sie den Winkel der Tafelneigung ein. Bestimmt man noch A und B auf XK, indem man XA = X"A“ und YB = Y“B“ macht, und schneidet die Geraden C"A und O"B, mit X"Y" in A" und B", so sind A" und B" die Umlegungen der Punkte A und B, deren Aufrisse A“ und B“ sind. Denn nach der Konstruktion gilt die Relation: X"A“: A“ B“: B“ Y“ = X"A", A"B": B"Y", damit werden aber A“A" und B“ B" zu e, senkrecht, w. z. b. w. Somit ist die Umlegung A"B"C" des gesuchten Dreiecks gefunden; in der Figur ist dann noch eine r-Achse angenommen und der Grundriß, sowie die Spur e. aus Aufriß und Umlegung konstruiert. 109. Die schiefe Parallelprojektion eines gegebenen Kreises vom Radius r auf eine Ebene TT soll so bestimmt werden, daß sein Bild eine Ellipse von gegebenen Halbachsen a und b wird. Der Kreis k werde um die Spur e seiner Ebene in TT, niedergelegt. Seine Umlegung ko (Fig. 86b) und sein

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Bild, die Ellipse k , müssen sich in Bezug auf e als Achse in affiner Lage befinden; mithin muß dem zu e, parallelen Kreisdurchmesser C„Do ein ihm gleicher und paralleler Ellipsendurchmesser CD, entsprechen. Damit aber eine Ellipse mit den Halbachsen a und b einen Durchmesser von der Länge 2r habe, muß a = r = b sein. Diese Bedingung entscheidet über die Lösbarkeit unseres Problems; ist sie erfüllt, so giebt es im allgemeinen zwei Ellipsendurchmesser der geforderten Art symmetrisch zu den Achsen. Sind MA, und M, B, die Halbachsen der Ellipse k und schneiden sie die Spur e in X und Y, so entsprechen ihnen beim affinen Kreis ko zwei rechtwinklige Halbmesser MA und MB, welche die Spur e ebenfalls in X und Y schneiden (vergl. 19). In dieser affinen Beziehung zwischen k und ko entspricht dem A A MB das A A / B„. Nun bleiben zwei Figuren Fo und F in affiner Lage, wenn man die eine in der Richtung der Affinitätsstrahlen gegen die andere verschiebt. Sind nämlich ho und h zwei zur Affinitätsachse e parallele, sich entsprechende Gerade, so sind je zwei auf ihnen liegende, entsprechende Strecken einander gleich. Führt man also die gemeinte Verschiebung von F aus, so daß ho und h sich decken, so fallen auf h je zwei entsprechende Punkte zusammen, d. h. diese Gerade bildet nach der Verschiebung die Affinitätsachse, während die Affinitätsrichtung ersichtlich die frühere bleibt. Insbesondere bleiben die Dreiecke A, M B und AMB in affiner Lage, wenn man das letztere um die Strecke / / verschiebt; dann deckt sich CD mit C ZD, und diese Gerade wird für die neue Lage der Dreiecke zur Affinitätsachse. Es gilt hiernach zwei der Größe nach bekannte rechtwinklige

HoHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 6

Fig. 86.

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Dreiecke A MB (mit den Katheten a und b) und AMB (mit den Katheten r) in eine solche affine Lage zu bringen, daß M, und M sich decken (Fig. 86a). Dazu ist nur nötig, daß B„B | A„A, wird, die Affinitätsachse verbindet dann / mit dem Punkt A, B × A, B. Lassen wir also A M. B„B, eine Drehung von 90° um M ausführen, so gelangt B nach A und B nach B auf MA, zugleich ist Z BA A = R. Das liefert folgende Konstruktion. Man trage MB = M, B an M, A an, beschreibe über BA, einen Halbkreis und schlage um M mit dem Radius r einen Kreis. Beide Kreise schneiden sich in dem gesuchten Punkt Ag, während M. B. =r senkrecht zu MA% zu ziehen ist. Nun zeichne man noch die Affinitätsachse CD ein, die M mit A, B, × A, B, verbindet. Wie aber in Figur 86a MB, und M, B mit MC die Winkel po resp. p. einschließen, so müssen in Figur 86b MB, und M. B. mit e, die nämlichen Winkel po und p, bilden. Man ziehe also M X unter dem Winkel po gegen e und MY senkrecht dazu, ziehe ferner M X unter dem Winkel p gegen e und M, Y dazu senkrecht; so erhält man den Mittelpunkt M der gesuchten Ellipse und auf M X und M Y ihre Scheitel A und B (M, M, I A„A, B„B). Damit ist unsere Aufgabe gelöst. – Wird der Kreis ko in seine ursprüngliche Lage aufgedreht, so bleibt er durch Parallelprojektion auf die Ellipse bezogen.

DRITTES KAPITEL.

Ebenflächige Gebilde, Körper.
Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. An einem ebenflächigen Gebilde”) unterscheidet man Seitenflächen, Kanten und Ecken. Die Kanten sind in zweifacher Weise angeordnet; einerseits bilden sie ebene Vielecke, andererseits körperliche Ecken.

Eine körperliche n-kantige Ecke oder kürzer ein n-Kant wird gebildet von n Strahlen und n Ebenen, die von einem Punkte ausgehen. Dieser Punkt heißt der Scheitel, jene Strahlen die Kanten und die zwischen ihnen liegenden Winkel die Seiten (Seitenflächen) der körperlichen Ecke. Jede Seite wird von zwei Kanten begrenzt und kann daher auch als Kantenwinkel bezeichnet werden, in jeder Kante stoßen zwei Seiten aneinander und bilden die Flächenwinkel oder kurz die Winkel des n-Kants. Zwei n-Kante, welche alle Seiten und alle Winkel entsprechend gleich haben, sind entweder kongruent oder symmetrisch. Dies erkennt man unmittelbar, wenn man die beiden n-Kante in eine solche gegenseitige Lage bringt, daß zwei aufeinanderfolgende Kanten des einen mit den entsprechenden des anderen zusammenfallen, wobei dann beide n-Kante sich entweder ganz decken oder sich in symmetrischer Lage in Bezug auf die gemeinsame Seitenfläche als Symmetrieebene befinden. Verlängert man die Kanten eines n-Kants über den Scheitel hinaus, so erhält man ein neues n-Kant, dessen Seiten die Scheitelwinkel der Seiten des ersteren sind; beide n-Kante sind symmetrisch. 111. Ein n-Kant, bei dem jeder Flächenwinkel < 2 R ist, heißt konkav. Bei einem konkaven n-Kant ist die Summe der Seiten < 4 R, vorausgesetzt, daß sich die Seitenflächen nicht durchkreuzen. Schneidet man nämlich das n-Kant mit einer Ebene, die alle Kanten trifft, so entsteht ein Körper, den man als n-seitige Pyramide bezeichnet; derselbe wird begrenzt von einem n-Eck, der Basisfläche, und n Dreiecken, den Seitenflächen (vergl. Fig. 87). Nennt man die Ecken der Basisfläche 1, 2, ... ... n und die nach ihnen laufenden Kanten k , k2, . . . k., so kann man die Kantenwinkel durch Z k kg, Z k2ks . . . . z k„k, die Flächenwinkel durch Z . k1, Z . k2 , . . . . z k„ bezeichnen. Bedenkt man, daß die Winkelsumme in jedem der n Seitendreiecke 2 R beträgt, so folgt: Z– k k2 + Z. k2ks + . . . . + Z_ k„k = 2n / – Z_ S 1 2 Z. S2 1 – Z S23 – Z_ S32 – ... Z - Sn 1 – Z - S 1 n. Nun ist der Punkt 2 Scheitel eines Dreikants mit den Kanten 21, 23, 2 S, und da in jedem Dreikant die Summe zweier Seiten größer als die dritte ist, hat man: - Z_ S2 1 + Z - S 2 3 > Z_ 1 2 3. Indem man die analogen Resultate für die Ecken 3, 4, ..., n, 1 benutzt, geht die frühere Gleichung in die Ungleichung über: z- kk, + Z k„k, + .... + kk < 2 n R Z 123 – Z 234 – ...

Fig. 87.

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