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vier gemeinsame Erzeugende liefern. Diese vier Geraden können paarweise in je eine Berührungslinie der Kegel zusammenrücken, bezw. in Wegfall kommen. 94. Denkt man sich durch die Spitze S eines Rotationskegels K zu jeder Berührungsebene T eine Normale g gezogen, so erzeugen diese einen zweiten um dieselbe Achse a beschriebenen (koaxialen) Rotationskegel K., den sogenannten Polarkegel. Legt man umgekehrt in der Mantellinie g, an den Polarkegel die Tangentialebene T und zieht durch die Spitze S eine Normale g zu ihr, so ist g eine Mantellinie des ursprünglichen Kegels und T die zugehörige Tangentialebene. Ist nämlich g die Berührungslinie von T, so ist die Ebene ga normal zu T, folglich enthält die Ebene ga auch die Gerade g (als Normale von T) und zwar sind g und g rechtwinklig. Die Ebene T steht aber auf der Ebene gag, senkrecht und die auf ihr errichtete Normale fällt demnach mit g zusammen. Die Beziehung zwischen einem Kegel und seinem Polarkegel ist umkehrbar, die Erzeugenden eines jeden sind die Normalen zu den Tangentialebenen des anderen. Den gemeinsamen Erzeugenden zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze entsprechen die gemeinsamen Tangentialebenen ihrer Polarkegel. Hieraus folgt: zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier gemeinsame Berührungsebenen. Im besonderen kann ihre Zahl sich vermindern, indem sie paarweise zusammenfallen oder ganz fortfallen. 95. Dreht sich eine Gerade g um eine zu ihr parallele feste Achse a, so beschreibt sie einen Rotations cylinder, oder geraden Kreiscylinder, den man auch als Rotationskegel mit unendlich ferner Spitze auffassen kann. Die auf ihm liegenden Geraden heißen wieder Erzeugende oder Mantellinien und a die Achse des Cylinders. Alle Ebenen normal zur Achse schneiden den Cylinder in gleich großen Kreisen. Eine Parallelebene zur Achse des Cylinders schneidet ihn entweder in zwei Mantellinien, oder berührt ihn längs einer Mantellinie, oder hat keine mit ihm gemein. Eine gegen die Achse geneigte Ebene schneidet den Cylinder in einer Kurve, die zu dem Kreise des Normalschnittes affin ist, also in einer Ellipse. Zwei Rotationscylinder mit parallelen Achsen haben entweder zwei getrennte, oder zwei vereinte, oder keine Erzeugende gemein. 96. Es mag daran erinnert werden, daß, ebenso wie die Punkte einer Kugel, auch ihre Tangenten und Tangentialebenen, da sie normal zu den Radien nach ihren Berührungspunkten stehen, einerlei Abstand vom Centrum haben. Analog haben die Punkte, Tangenten und Tangentialebenen eines Rotationscylinders einerlei senkrechten Abstand von seiner Achse. Denn jede Tangentialebene steht senkrecht auf der Ebene, die durch ihre Berührungslinie und die Achse gelegt wird; ihr Abstand von der Achse ist also gleich dem der Mantellinien von der Achse. Jede Tangente des Cylinders liegt in einer Tangentialebene, ihr Berührungspunkt auf deren Berührungslinie; der kürzeste Abstand einer Tangente von der Achse ist also gleich dem der sie enthaltenden Tangentialebene von der Achse, sein Endpunkt auf der Tangente ist ihr Berührungspunkt. Der geometrische Ort aller Geraden, die man durch einen Punkt S unter gegebenem Neigungswinkel y gegen eine Ebene E, mithin unter dem Winkel (R – 7) gegen das von S auf E gefällte Lot a ziehen kann, ist der durch Rotation des Winkels (R – y) um seinen Schenkel a erzeugte Kegel mit seiner Spitze S. Der vom Kegel auf E ausgeschnittene Kreis mag als der zur Spitze S und zum Winkel y gehörige Neigungskreis jener Ebene bezeichnet werden; sein Centrum ist der Fußpunkt des von S auf E gefällten Lotes, er enthält die Spurpunkte der oben definierten Geraden. – Den in Rede stehenden Kegel müssen andererseits alle durch S unter dem Neigungswinkel y gegen E (oder dem Winkel (R – y) gegen a) gelegten Ebenen berühren, weil der Neigungswinkel einer Tangentialebene des Kegels gegen seine Achse mit dem ihrer Berührungslinie identisch ist. Die Spurlinien der fraglichen Ebenen in E berühren sonach den Neigungskreis. 97. Gerade von gegebener Tafeln eigung in gegebener Ebene. Es sollen die Geraden durch einen Punkt P in der Ebene E dargestellt werden, welche mit TT, den Winkel y bilden. Damit die Aufgabe Lösungen habe, darf y nicht größer als die erste Tafelneigung von E sein; ist dies der Fall, so genügen ihr zwei Gerade g und h. Sie erscheinen als Schnittlinien der Ebene E mit einem Rotationskegel, dessen Spitze P, dessen Achse PP ist und dessen Mantellinien mit ihr den Winkel (R – y) einschließen (Fig. 79). Wir zeichnen zunächst die zu TT, parallele Mantellinie PQ des Kegels, deren Aufriß P"Q“ die Achse r unter dem Winkel y, in Q“ schneidet. Dann geht sein in TT liegender Spurkreis k durch Q und hat den Punkt P zum Centrum; er schneidet e in den Spurpunkten G und H der gesuchten Geraden. – Berührt er den Neigungskreis k, so fallen g und h in eine Falllinie von E zusammen. 98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine gegebene Gerade. Durch eine Gerade g mögen die Ebenen gelegt werden, welche mit TT, den Winkel e einschließen, was nur möglich ist, wenn so nicht kleiner als die erste Tafelneigung von g ist. Man wähle auf g irgend einen Punkt (Fig. 80), etwa den zweiten Spurpunkt G2, als Spitze eines Kegels und das von ihm auf TT, gefällte Lot G2 G2 als seine Achse. Seine in der Aufrißebene liegendeMantellinie schneidet r unter dem Winkel s. Dann geht der Spurkreis ke, des Kegels durch den (auf a liegenden) Spurpunkt der verzeichneten Mantellinie und G„ ist sein Centrum. (Ist der auf g gewählte Punkt beliebig, so zeichne man die zu TT, parallele Mantellinie, deren Aufriß mit r den Winkels, bildet). Die von G an k gelegten Tangenten d und e sind die ersten Spurlinien der gesuchten Ebenen, deren zweite Spuren durch G2 gehen. In der That berühren diese Ebenen den genannten Kegel, besitzen also die gleiche Tafelneigung é, gegen TT wie seine Mantellinien.

99. Die Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Sind a und b die Achsen der beiden Kegel, die sich in der gemeinsamen Spitze S schneiden, so lege man sie mit ihrer Ebene um die zugehörige erste Spurlinie in die Grundrißebene nieder. Dann bestimme man für diese Lage der Achsen die gesuchten Schnittlinien und führe schließlich die der vorher genannten Niederlegung entgegengesetzte Bewegung aus (nach 82 u. 88). Dadurch gelangen die Achsen a und b wieder in ihre ursprüngliche Lage und zugleich nehmen die gefundenen Schnittlinien eine Lage ein, in der sie die Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe darstellen. Wir behandeln hier nur den Fall, wo die Achsen a und b in TI, liegen (Fig. 81), so daß TT, die Kegel K und L in je zwei Erzeugenden, K K., K2 K und L L2, L2 L4 schneidet. Eine um den Punkt S als Centrum beschriebene Kugel, die TT, in einem Kreise c schneidet, hat mit den Kegeln je zwei Kreise gemein, deren Ebenen resp. zu a und b normal sind. Diese Kreise projizieren sich deshalb als gerade Linien K K., und K, K., resp. Li L2 und La L4, und die Schnittpunkte A, B, C, D der letzteren sind die Projektionen von je zwei symmetrisch zu TT liegenden Schnittpunkten A, A, B, B, C, C, D1, D2 der ersteren. Den Abstand des einzelnen Schnittpunktes von der Grundrißebene (nach oben oder unten) entnimmt man aus der Umlegung eines der beiden ihn enthaltenden Kreise um seinen in TT liegenden Durchmesser. Daraus ergiebt sich dann sofort der Aufriß des fraglichen Punktes (AA= (A“– r) u. s. w.), sowie die Aufrisse A"C, A,"C"

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1 y B“D,“, B,“D,“ der gesuchten Schnittlinien und ihre paarweise sich deckenden Grundrisse A'C' und B'D'. Je nachdem die vier Ecken des Parallelogramms ABCD alle vier innerhalb, oder außerhalb, oder teils inner-, teils außerhalb liegen, besitzen die beiden Kegel vier, keine oder zwei gemeinsame Erzeugenden. Fallen zwei gegenüberliegende Ecken auf den Kreis c, so berühren sich die Kegel in einer in TI, gelegenen Mantellinie.

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100. Die gemeinsamen Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Wir nehmen wiederum die Kegelachsen a und b in TT, an; als Erzeugende der Kegel K und L seien SK, SK, und SL, SL, in TT gegeben (Fig. 82). Es genügt, die Konstruktion für eine der vier im allgemeinen möglichen

Fig. 82.

gemeinsamen Berührungsebenen der Kegel K und L durchzuführen, da sich die übrigen ganz ebenso zeichnen lassen. Wir wählen auf a und b willkürlich zwei Punkte A und B, etwa die Schnittpunkte mit der Achse r, und denken uns aus ihnen auf die gesuchte Berührungsebene T die Lote A C und B D gefällt, deren Fußpunkte C und D auf den Berührungslinien liegen (vergl. 92). Die Verbindungslinie CD, die mit den parallelen Loten in einer Ebene liegt, trifft die Achse r in einem Punkte O. Durch O geht auch die um r in TT umgelegte Gerade C, D, die man in folgender Weise bestimmt. Alle von A auf die Mantellinien des Kegels K gefällten Lote sind gleich, also A K = AC= AC (AK L SK), und da AC L CO ist, ist auch AC-LCO. Ganz ebenso findet man B L = B D = BD, und BD, LOD, so daß die Gerade OC, D, die beiden Kreise berührt, welche um die Punkte A resp. B mit den Radien AK, resp. BL beschrieben sind. Demnach ist O ein Ähnlichkeitspunkt dieser beiden Kreise (vergl. 4) und OS = t, die erste Spurlinie der gesuchten Ebene T. Die Fußpunkte aller aus B auf die Mantellinien des Kegels L gefällten Lote liegen auf einem Kreise, dessen Projektion mit seinem in TT liegenden Durchmesser / L2 zusammenfällt. Auf diesem findet man daher auch den zu D gehörigen Grundriß D'(D, D-L r, BD Lt) und durch Umlegen des

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