vier gemeinsame Erzeugende liefern. Diese vier Geraden können. paarweise in je eine Berührungslinie der Kegel zusammenrücken, bezw. in Wegfall kommen. 91 94. Denkt man sich durch die Spitze S eines Rotationskegels zu jeder Berührungsebene T eine Normale g1 gezogen, so erzeugen diese einen zweiten um dieselbe Achse a beschriebenen (koaxialen) Rotationskegel 1, den sogenannten Polarkegel. Legt man umgekehrt in der Mantellinie g1 an den Polarkegel die Tangentialebene T1 und zieht durch die Spitze S eine Normale g zu ihr, so ist g eine Mantellinie des ursprünglichen Kegels und F die zugehörige Tangentialebene. Ist nämlich g die Berührungslinie von T, so ist die Ebene ga normal zu T, folglich enthält die Ebene ga auch die Gerade g1 (als Normale von T) und zwar sind g und g, rechtwinklig. Die Ebene T, steht aber auf der Ebene gag1 senkrecht und die auf ihr errichtete Normale fällt demnach mit g zusammen. Die Beziehung zwischen einem Kegel und seinem Polarkegel ist umkehrbar, die Erzeugenden eines jeden sind die Normalen zu den Tangentialebenen des anderen. 1 Den gemeinsamen Erzeugenden zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze entsprechen die gemeinsamen Tangentialebenen ihrer Polarkegel. Hieraus folgt: zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier gemeinsame Berührungsebenen. Im besonderen kann ihre Zahl sich vermindern, indem sie paarweise zusammenfallen oder ganz fortfallen. 95. Dreht sich eine Gerade g um eine zu ihr parallele feste Achse a, so beschreibt sie einen Rotationscylinder, oder geraden Kreiscylinder, den man auch als Rotationskegel mit unendlich ferner Spitze auffassen kann. Die auf ihm liegenden Geraden heißen wieder Erzeugende oder Mantellinien und a die Achse des Cylinders. Alle Ebenen normal zur Achse schneiden den Cylinder in gleich großen Kreisen. Eine Parallelebene zur Achse des Cylinders schneidet ihn entweder in zwei Mantellinien, oder berührt ihn längs einer Mantellinie, oder hat keine mit ihm gemein. Eine gegen die Achse geneigte Ebene schneidet den Cylinder in einer Kurve, die zu dem Kreise des Normalschnittes affin ist, also in einer Ellipse. Zwei Rotationscylinder mit parallelen Achsen haben entweder zwei getrennte, oder zwei vereinte, oder keine Erzeugende gemein. 96. Es mag daran erinnert werden, daß, ebenso wie die Punkte einer Kugel, auch ihre Tangenten und Tangentialebenen, da sie normal zu den Radien nach ihren Berührungspunkten stehen, einerlei Abstand vom Centrum haben. Analog haben die Punkte, Tangenten und Tangentialebenen eines Rotationscylinders einerlei senkrechten Abstand von seiner Achse. Denn jede Tangentialebene steht senkrecht auf der Ebene, die durch ihre Berührungslinie und die Achse gelegt wird; ihr Abstand von der Achse ist also gleich dem der Mantellinien von der Achse. Jede Tangente des Cylinders liegt in einer Tangentialebene, ihr Berührungspunkt auf deren Berührungslinie; der kürzeste Abstand einer Tangente von der Achse ist also gleich dem der sie enthaltenden Tangentialebene von der Achse, sein Endpunkt auf der Tangente ist ihr Berührungspunkt. Der geometrische Ort aller Geraden, die man durch einen Punkt S unter gegebenem Neigungswinkel 7 gegen eine Ebene E, mithin unter dem Winkel (R7) gegen das von S auf E gefällte Lot a ziehen kann, ist der durch Rotation des Winkels (R − y) um seinen Schenkel a erzeugte Kegel mit seiner Spitze S. Der vom Kegel auf E ausgeschnittene Kreis mag als der zur Spitze S und zum Winkel gehörige Neigungskreis jener Ebene bezeichnet werden; sein Centrum ist der Fußpunkt des von S auf E gefällten Lotes, er enthält die Spurpunkte der oben definierten Geraden. Den in Rede stehenden Kegel müssen andererseits alle durch S unter dem Neigungswinkel gegen E (oder dem Winkel (R −7) gegen a) gelegten Ebenen berühren, weil der Neigungswinkel einer Tangentialebene des Kegels gegen seine Achse mit dem ihrer Berührungslinie identisch ist. Die Spurlinien der fraglichen Ebenen in E berühren sonach den Neigungskreis. 97. Gerade von gegebener Tafelneigung in gegebener Ebene. Es sollen die Geraden durch einen Punkt P in der Ebene E dargestellt werden, welche mit П, den Winkel 71 bilden. Damit die Aufgabe Lösungen habe, darf 7, nicht größer als die erste Tafelneigung von E sein; ist dies der Fall, so genügen ihr zwei Gerade g und h. Sie erscheinen als Schnittlinien der Ebene E mit einem Rotationskegel, dessen Spitze P, dessen Achse PP' ist und dessen Mantellinien mit ihr den Winkel (R7,) einschließen (Fig. 79). Wir zeichnen zunächst die zu П, parallele Mantellinie PQ des Kegels, deren Aufriß P"Q" die Achse x unter dem Winkel 7, in Q" schneidet. Dann geht sein in П, liegender Spurkreis k durch Q und hat den Punkt P zum Centrum; er schneidet e, in den Spurpunkten G1 und H, der gesuchten Geraden. Berührt e, den Neigungskreis k, so fallen g und h in eine Falllinie von E zusammen. 98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine gegebene Gerade. Durch eine Gerade g mögen die Ebenen gelegt werden, welche mit e П1 den Winkel Ει einschließen, was nur möglich ist, wenn & nicht kleiner als die erste Tafelneigung von 9 ist. Man wähle auf g irgend einen Punkt (Fig. 80), etwa den zweiten Spurpunkt G2, als Spitze eines Kegels und das von ihm auf П, gefällte Lot G2 G2 als seine Achse. Seine in der Aufrißebene liegende Mantellinie schneidet x unter dem Winkel ε1. Dann geht der Spurkreis k des Kegels durch den (auf r liegenden) Spurpunkt der verzeichneten Mantellinie. und G ist sein Centrum. (Ist der auf g gewählte Punkt beliebig, so zeichne man die zu П1⁄2 parallele Mantellinie, deren Aufriß mit a den Winkel & bildet). Die von G1 an k gelegten Tangenten d, und e1 sind die ersten Spurlinien der gesuchten Ebenen, deren zweite Spuren durch G2 gehen. In der That berühren diese Ebenen den genannten Kegel, besitzen also die gleiche Tafelneigung gegen П, wie seine Mantellinien. 99. Die Schnitt linien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Sind a und die Achsen der beiden Kegel, die sich in der A B -X 1 gemeinsamen Spitze S schneiden, so lege man sie mit ihrer Ebene um die zugehörige erste Spurlinie in die Grundrißebene nieder. Dann bestimme man für diese Lage der Achsen die gesuchten Schnittlinien und führe schließlich die der vorher genannten Niederlegung entgegengesetzte Bewegung aus (nach 82 u. 88). Dadurch gelangen die Achsen a und b wieder in ihre ursprüngliche Lage und zugleich nehmen die gefundenen Schnittlinien eine Lage ein, in der sie die Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe darstellen. Wir behandeln hier nur den Fall, wo die Achsen a und b in П, liegen (Fig. 81), so daß П, die Kegel K und 2 in je zwei Erzeugenden, K1K, KK und L1L, LL schneidet. Eine um den Punkt S als Centrum beschriebene Kugel, die П, in einem Kreise c schneidet, hat mit den Kegeln je zwei Kreise gemein, deren Ebenen resp. zu a und b normal sind. Diese Kreise projizieren sich deshalb als gerade Linien K1K2 und K ̧K1, resp. LL2 und LL, und die Schnittpunkte A', B', C', D' der letzteren sind die Projektionen von je zwei symmetrisch zu П1 liegenden Schnittpunkten A1, A2, B1, B2 C1, C2, D1, D2 der ersteren. Den Abstand des einzelnen Schnittpunktes von der Grundrißebene (nach oben oder unten) entnimmt man aus der Umlegung eines der D2 messer. 2 کا A = B2 2 2 4 3 beiden ihn enthaltenden Kreise um seinen in П1 liegenden DurchDaraus ergiebt sich dann sofort der Aufriß des fraglichen Punktes (44 (4,′′ x) u. s. w.), sowie die Aufrisse 4,"C2", A,"C", B1"D", B2"D" der gesuchten Schnittlinien und ihre paarweise sich deckenden Grundrisse 'C' und B'D'. Je nachdem die vier Ecken des Parallelogramms A'B'C'D' alle vier innerhalb, oder außerhalb, oder teils inner-, teils außerhalb liegen, besitzen die beiden Kegel vier, keine oder zwei gemeinsame Erzeugenden. Fallen zwei gegenüberliegende Ecken auf den Kreis c, so berühren sich die Kegel in einer in П1 gelegenen Mantellinie. 100. Die gemeinsamen Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze. Wir nehmen wiederum die Kegelachsen a und b in П, an; als Erzeugende der Kegel und 2 seien SK1, SK2 und SL1, SL2 in П, gegeben (Fig. 82). Es genügt, die Konstruktion für eine der vier im allgemeinen möglichen gemeinsamen Berührungsebenen der Kegel und 2 durchzuführen, da sich die übrigen ganz ebenso zeichnen lassen. Wir wählen auf a und b willkürlich zwei Punkte A und B, etwa die Schnittpunkte mit der Achse x, und denken uns aus ihnen auf die gesuchte Berührungsebene T die Lote AC und BD gefällt, deren Fußpunkte C und D auf den Berührungslinien liegen (vergl. 92). Die Verbindungslinie CD, die mit den parallelen Loten in einer Ebene liegt, trifft die Achse x in einem Punkte O. Durch O geht auch die um x in П1 umgelegte Gerade CD, die man in folgender Weise bestimmt. Alle von A auf die Mantellinien des Kegels gefällten Lote sind gleich, also AK1 = AC = AC, (AK, 1 SK1), und da AC CO ist, ist auch ACL CO. Ganz ebenso findet man BL, BD BD und BD, 1 OD。, so daß die Gerade OCD die beiden Kreise berührt, welche um die Punkte A resp. B mit den Radien AK1 resp. BL1 beschrieben sind. Demnach ist O ein Ähnlichkeitspunkt dieser beiden Kreise (vergl. 4) und OS =t, die erste Spurlinie der gesuchten Ebene T. Die Fußpunkte aller aus B auf die Mantellinien des Kegels 2 gefällten Lote liegen auf einem Kreise, dessen Projektion mit seinem in П1 liegenden Durchmesser LL2 zusammenfällt. Auf diesem findet man daher auch den zu D gehörigen Grundriß D'(D ̧ D'1 x, BD'¦ t1) und durch Umlegen des = 1 = |