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man etwa zur Aufrißtafel parallel nehmen mag, lege man eine vertikale Hilfsebene TT und durch P eine Ebene N normal zu a, welche die Bahnlinie dieses Punktes

4- enthält. N schneidet in TT die HilfsP / spur n aus (n“-La“, n= a) (Fig. 74). --- \ Eine Seitenansicht, die man durch Um<< g" -- * ------ z- legen von N in TT gewinnt, zeigt die

/ Bahnlinie in ihrer wahren Gestalt, > < nämlich als den um Q= m × a durch die Seitenansicht P" von P beschrie

benen Kreisbogen. Trägt man daher an

- - - - -?-------- (9"P" in vorgeschriebenem Drehungssinne den Winkel so = Z | P%9“PA" an,

so ist PA" die Seitenansicht des gedreh

/ ten Punktes. Hieraus ergiebt sich der

p Aufriß PA“, wenn PA" PA“ normal zu n“

Fig. 74. gezogen, und der Grundriß PA, wenn

sein Abstand von a derselben Strecke gleichgemacht wird. Diese letzten Operationen entsprechen dem Wiederaufrichten der umgelegten Ebene N. 89. Der kürzeste Abstand zweier wieder schiefen Geraden ist diejenige Strecke, die auf beiden senkrecht steht. Es werde durch die eine Gerade g eine Parallelebene E zur anderen h gelegt, dann h auf E senkrecht projiziert und g mit dieser Projektion im Punkte P geschnitten. Errichtetman schließlich in P die Normale Fig. 75. auf E, so trifft sie h in einem Punkte Q und PQ ist der gesuchte Abstand. In der That, alle Punkte von h haben von E einerlei senkrechten Abstand d = PQ, folglich kann kein Punkt von h um weniger als die Strecke d von g entfernt sein. Aus dieser Überlegung ergiebt sich folgende Konstruktion (Fig. 75). Man ziehe durch einen Punkt von g die Gerade i parallel zu h etwa so, daß i mit h' zusammenfällt, und zeichne die Spurlinien e, und e, der Ebene E = gi. Aus einem auf h beliebig angenommenen Punkte – in der Figur ist der Spurpunkt H, benutzt – fälle man sodann das Lot auf E nach dem in 79 gegebenen Verfahren. Man lege nämlich durch H, eine Ebene senkrecht zu e, welche E in einer Falllinie schneidet; diese lege man um die zweite Spur der letztgenannten Ebene um und fälle von H, das Lot H„K" auf sie, was von der Länge des kürzesten Abstandes d ist. Hieraus folgt dann auch der Aufriß H, K“ und damit der Aufriß P“Q“ des gesuchten gemeinsamen Lotes, das mit jenem parallel und gleich lang ist (K“P“ h“, P“ auf g“, P“Q“ Le2). Aus P“ und Q“ ergeben sich die Grundrisse P und Q auf g' und h' und man hat zu beachten, daß PQ zur ersten Spur ei normal sein muß. 90. Die gemeinsame Normale zweier zu einer Tafel, etwa zu TT, parallelen Geraden liegt zu dieser senkrecht; ihr Aufriß reduziert sich demgemäß auf den Schnittpunkt der zweiten Projektionen, während ihr Grundriß direkt den kürzesten Abstand angiebt. Wir erhalten daher eine zweite Lösung unserer Aufgabe, wenn wir durch Drehung den Parallelismus der Geraden g und h zur Aufrißtafel herbeiführen. – Man ziehe, wie oben, durch den Punkt G von g die Parallele i zu h (Fig. 76) und hierauf eine in der Ebene gi liegende, zur Aufrißtafel parallele Drehachse a. Um diese sind die gegebenen Geraden zu drehen, bis g und i, und folglich auch h zu ROHN u. Parreirrz I. 2. Aufl. 5

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Fig. 76.

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TT, parallel werden. Die gedrehten Elemente bezeichne der Index A, die erforderlichen Seitenrisse (vergl. 88) der obere Index ". Zunächst wird G in die Lage GA gedreht (G"G“ a“ L GA“G“, G"G" = (G – a)); man erhält so GA“, gA“ und iA“. Der Seitenriß G"G2" der Bahnlinie von G ergiebt den Drehwinkel a. Hierauf drehen wir einen Punkt von h, am einfachsten den vertikal über der Drehachse a gelegenen Punkt H, um den gleichen Winkel o und in gleichem Sinne. Im zugehörigen Seitenriß geht H“ in die Lage HA" über, wobei der beschriebene Bogen wieder zum Winkel o gehört. In der Figur ist der letztere Seitenriß durch eine Umlegung im umgekehrten Sinne hergestellt, so daß die zu den Winkeln o gehörigen Bogen entgegengesetzten Drehsinn haben; das bietet den Vorteil, daß die Schenkel der Winkel (o parallel werden. Die Strecke HA" HA“ giebt die kürzeste Entfernung d an. Ferner ergiebt sich ha“ durch HA“ und parallel zu iA“, sowie der Aufriß M = gA“ × hA“ der gemeinsamen Normalen n nach der Drehung. Beim Zurückdrehen bewegt sich der Aufriß eines jeden Punktes von n auf der durch N gelegten Senkrechten zu a“; folglich findet man auf ihr n= P“ (9“ und hier aus n = P (9. 91. Wir führen noch eine dritte Lösung desselben Problems an, um dadurch die Bedeutung verschiedener Methoden hervortreten zu lassen. Wiederum ziehen wir durch einen Punkt von g eine Parallele i zu h, etwa so, daß i=h wird, und zeichnen dann die Spur e = JG der Ebene E = ig. Hierauf wählen wir eine Ebene TT, senkrecht zu er, die wir als Seitenrißebene benutzen und um ihre Spur y in die Grundrißebene niederlegen (Fig. 77). Im Seitenriß konstruieren wir nun g" = i“ und h“ i“ und fällen von einem Punkte A von h das Lot A C auf E. Dieses Lot ist gleich der Länge des gesuchten kürzesten Abstandes d und erscheint im Seitenriß A“C“ in wahrer Größe und normal zu g“, während sein Grundriß AC zu e senkrecht ist. In der Figur fällt A mit B= g'X h' zusammen (B = g × ). Zuletzt verschieben wir AC parallel mit sich selbst in der Richtung von h, bis der eine Endpunkt auf g' gelangt, indes der andere auf h bleibt. Die so erhaltene Strecke P'Q' stellt den Grundriß des gesuchten kürzesten Abstandes von g und h dar, woraus der Aufriß unmittelbar folgt. Der hier verwendete Seitenriß läßt sich entbehren, wenn man die Figur einer gewissen Drehung unterwirft. Man drehe nämlich g und h um die vertikale Achse a, welche die Geraden in B und A resp. schneidet, deren Grundriß also A = B= g>< h ist, und zwar richte man die Drehung so ein, daß die gedrehte Ebene E = gi senkrecht zu TT., d. h. ihre Spur eA senkrecht zur Axe r wird. Dann verbindet der Aufriß gA“ der gedrehten Geraden gA den Punkt B“ mit ez. X x, und das von A auf die gedrehte Ebene E gefällte Lot hat den Aufriß ACA“ und erscheint in wahrer Länge, da ACA parallel zu TT, ist. Aus dem gleichen Grunde ist (CA – a“) = (CA – a); weil aber CA seinen Ab

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stand von a bei der Rückwärtsdrehung nicht ändert, hat man CA senkrecht zu e zu ziehen und = (CA“– a) zu machen. Jetzt verschiebt man wieder AC' wie vorher und erhält zunächst den Grundriß PQ und sodann den Aufriß P“ (9“.

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch Projektionsmethoden.

Wir wenden im Folgenden die bisher entwickelten Methoden

der Projektion auf eine Reihe einfacher stereometrischer Probleme an,

deren Lösung in späteren Untersuchungen von Nutzen sein wird. Zu

diesem Zwecke aber bedarf es der Feststellung einiger Vorbegriffe.

92. Dreht sich eine Gerade g um eine sie schneidende feste

Achse a, so beschreibt sie eine Fläche, die man als Rotationskegel oder geraden Kreiskegel bezeichnet. Der Schnittpunkt S = g × a heißt die Spitze, die Linie a die Achse des Kegels, die auf ihm liegenden Geraden seine Erzeugenden oder Mantellinien (Kanten). Die vollständige Fläche besteht aus zwei in der Spitze zusammenhängenden Teilen oder Mänteln, die man auch durch die Benennung als Kegel und Gegenkegel unterscheidet. Jede zur Achse a senkrechte Ebene schneidet den Kegel in einem Kreise. Eine durch die Spitze gelegte Ebene hat mit dem Kegel zwei Mantellinien, eine oder keine Mantellinie gemein, je nachdem ihre Spurlinie in irgend einer Normalebene zur Achse den bezüglichen Spurkreis des Kegels in zwei Punkten schneidet, in einem Punkte berührt, oder gar nicht trifft. Eine Ebene, die mit dem Kegel nur eine Erzeugende gemein hat, heißt Berührungs- oder Tangentialebene und die fragliche Erzeugende ihre Berührungslinie. Ist k der Spurkreis des Kegels in einer beliebigen Normalebene zur Achse a (siehe die schiefe Ansicht in Fig. 78), M sein Mittelpunkt und T' sein Berührungspunkt mit der Spurlinie t der Ebene T, welche den Kegel längs der Erzeugenden g = ST berührt, so ist sowohl MT als auch a = MS zu t rechtwinklig. Folglich ist die Ebene MST, welche die Achse a mit der Berührungslinie g verbindet, zu t und zur Tangentialebene T normal. Ein aus einem Achsenpunkt auf g gefälltes Lot, wie MN oder PQ, liegt in MST und steht daher auf der Tangentialebene T senkrecht. Umgekehrt liegt der Fußpunkt eines jeden aus einem Achsenpunkt auf die Tangentialebene T gefällten Lotes auf ihrer Berührungslinie g. 93. Ein vollständiger Rotationskegel wird von einer um seine Spitze beschriebenen Kugel in zwei gleich großen Kreisen geschnitten. Zwei Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze haben im allgemeinen vier Erzeugende gemein. Denn eine um die gemeinsame Spitze beschriebene Kugel schneidet aus jedem der beiden Kegel ein Paar Kreise aus und jeder Kreis des einen Paares schneidet jeden Kreis des anderen Paares in zwei Punkten (als Kreise auf der nämlichen Kugelfläche). Es entstehen so acht Schnittpunkte, die sich paarweise diametral gegenüberliegen und so

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Fig. 78.

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