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affiner Lage. In der That sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte parallel, nämlich senkrecht zur Achse; sie bilden die Affinitätsstrahlen; andererseits fallen Grund- und Aufriß der Geraden, in welcher die Ebene E der betrachteten Figur von der zweiten Halbierungsebene H, geschnitten wird, in eine Gerade a (Fig. 66) zusammen; dies ist die Affinitätsachse. Die Gerade a geht durch den Achsenschnittpunkt E von E; einen zweiten Punkt auf ihr liefert der Durchschnitt D der beiden Projektionen von irgend einer in E gezogenen Geraden (vergl. 64). Hiernach kann die Affinität benutzt werden, um von einer in gegebener Ebene liegenden Figur aus einer Projektion die andere abzuleiten (wie dies in unserer Figur für das Dreieck ABC ausgeführt ist).

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82. Der Winkel a zweier durch ihre Projektionen gegebenen Geraden g und h. Man kann annehmen, daß beide Gerade sich in einem Punkte S schneiden (indem man nötigenfalls die eine durch eine Parallele ersetzt). Den Scheitel S lege man um die Verbindungslinie der Spurpunkte der Schenkel in eine Tafel um, z. B. durch Drehung um G1H1 (Fig. 67). Der niedergelegte Punkt S findet sich auf der aus S' zur Drehachse gezogenen Normalen ST, und seine Entfernung S7 von dieser ist nach früherem gleich ST, wo S°S'T das um die Kathete S'T in den Grundriß umgelegte Dreieck SS'T bedeutet

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und B zu finden, zeichnen wir zunächst ihre Schnittlinie

9 mit

ihren Spurpunkten G1 = a1 × b1 und G2 = a, × b2 (Fig. 68). Eine

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Normalebene N zu g schneidet A und B in den Schenkeln und g in dem Scheitel S des gesuchten Winkels ε. Die zweite Spur n2 von N ist senkrecht zu g" und wir ziehen sie etwa durch G1"; dann sind RnX ag und Tn X b2 die Spurpunkte der Schenkel. Legen wir jetzt den Winkel & RST um n2 in die Aufrißebene nieder, so gelangt sein Scheitel S in eine bestimmte Lage S auf g′′, denn SS" muß senkrecht zur Drehachse n, sein. Dabei ist G1"S das von G," auf g gefällte Lot und G," So ist seine wahre Länge. Diese finden wir, indem wir g um g" in die Aufrißebene als go umlegen und von G," das Lot G1"S0 auf go fällen (G1"G1°· G1" G1, G1o auf në ± g′′). Schließlich ist RST der gesuchte Winkel oder dessen Nebenwinkel.

1

0

1

0

=

Um die zu A und B gehörigen Winkelhalbierungsebenen und ▲ zu bestimmen, schneide man n, mit den beiden Geraden, die den umgelegten Winkel & und seinen Nebenwinkel halbieren, in den Punkten U und V; es sind dies die zweiten Spurpunkte der Winkelhalbierenden von ɛ und seinem Nebenwinkel. Da die gesuchten Ebenen je eine dieser Geraden enthalten müssen, so ist c2 = G2U und d2 G1V, während c, und d1 aus G, nach ihren Schnittpunkten mit der Achse zu ziehen sind.

=

C1

1

2

Der Winkel zweier Ebenen ist dem von ihren Normalen ein

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N2

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n'

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geschlossenen gleich. Man kann daher von einem beliebigen Punkte die Lote auf diese Ebene fällen und deren Winkel nach 82 bestimmen.

84. Der Neigungswinkel a einer Gera

den 9 gegen einc Ebene E ergänzt den Winkel zwischen g und der Ebenennormale zu einem Rechten. Man fälle daher aus irgend einem Punkte S von g auf E ein Lot n und bestimme die wahre Größe des Winkels B = gn nach dem in 82 dargelegten Verfahren (Fig. 69). Zu diesem Zweck lege man etwa S um die Verbindungslinie G2N2 der zweiten Spurpunkte

Fig. 69.

von g und n in die zweite Tafel um. Mit ist auch der Winkel α = R - ß bekannt.

A

-a"

G"

85. Die Bestimmung der wahren Gestalt eines in beiden Projektionen gegebenen Dreiecks ABC durch Paralleldrehung seiner Ebene zu einer Tafel. Man schneide die Dreiecksebene mit einer zur Aufrißtafel parallelen Hilfsebene П in der Hauptlinie a = DE, die als Achse der Drehung dienen soll. Die Paralleldrehung zu T2 kann man dann als Umlegung um a in die Ebene П auffassen. Der Aufriß des gedrehten Dreiecks ABCA wird seine wahre wahre Gestalt zeigen, der Grundriß in die Gerade a fallen (Fig. 70). Der Eckpunkt beschreibt einen Kreisbogen, dessen Ebene auf a normal steht und dessen Aufriß folglich in die zu a" senkrechte Gerade "G" fällt. Der Radius dieses Bogens ist das von A B' auf a gefällte Lot AG und bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit

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B

B

=

F

Fig. 70.

a'

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(Fa); erstere erscheint A'F", letztere im Aufriß

den Katheten AF = (A − πT) und FG mit ihrer wahren Länge im Grundriß F"G" (A'F" a', F"G" I a", F"A"). Dieses rechtwinklige Dreieck AFG sowie die Bahnkurve AA des Punktes A zeichnen wir, um FG in die Hilfsebene П umgelegt, im Aufriß als Dreieck "F"G" und Kreisbogen 4′′A". Da man nun A" kennt, kann die weitere Konstruktion mit Benutzung der Affinität erfolgen; a" ist die Affinitätsachse und 4" und A′′ sind ein Paar entsprechender affiner Punkte (A"B" × A "B" auf a", B"B" a′′). I Nach dem auseinandergesetzten Verfahren kann die wahre Gestalt jeder durch ihre Projektionen gegebenen ebenen Figur ermittelt werden.

86. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g. P und g seien durch ihre Projektionen gegeben. Ein erster Weg zur Ermittelung des Abstandes PQ = (P−g) ist folgender. Man bestimme mittels zweier Hauptlinien h, und h2

die Normalebene N zu g, welche den Punkt P enthält, indem man als Projektionen von h, und h durch P' resp. P" je eine Parallele

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Wir geben eine zweite Lösung der vorigen Aufgabe an, welche auf der in 85 entwickelten Methode beruht. P und g liegen in einer Ebene, die wir um eine Achse a parallel zum Aufriß drehen. Als Drehachse a diene die zweite Hauptlinie durch P(ax), welche die Gerade g im Punkte A trifft (Fig. 72). Um dieselbe werde die Gerade g und mit ihr das von P auf sie gefällte Lot PQ gedreht, bis sie zum Aufriß parallel werden. Die gedrehte Gerade und das gedrehte Lot PQ erscheinen im Aufriß zu einander rechtwinklig und letzteres in wahrer Länge. Die Drehung selbst wird an einem auf g beliebig gewählten Punkte B (genau wie in 85) vorgenommen, hierauf g"= "B" und senkrecht dazu P"Q" gezogen. Q" findet man durch Zurückdrehen in die ursprüngliche Lage, wobei der von Q beschriebene Kreisbogen sich als Senkrechte zu a" projiziert. Aus dem Aufriß ergiebt sich der Grundriß Q' und die beiden Projektionen von PQ.

87. Das in 79 angegebene Verfahren, um Lote auf eine durch ihre Spurlinien gegebene Ebene zu fällen, läßt sich umgekehrt anwenden, um auf ihr die Normale in einem ihrer Punkte zu errichten. Wir führen gegenwärtig eine Modifikation desselben an, die zur Errichtung einer Normalen von gegebener Länge auf einer Dreiecksebene in vorgeschriebenem Punkte P dient. Man denke sich durch P parallel zur Aufriẞebene eine Hilfsebene П gelegt und zeichne die Hauptlinie h, die sie aus der Dreiecksebene ABC ausschneidet (Fig. 73). denke man sich zu h eine

Normalebene N durch P,

welche ABC in einer Fall-
linie fschneidet; es wird dann
f"h" sein.
Die gesuchte
Normale liegt in N und steht
auff senkrecht. Man drehe
also die Ebene N um ihre
in П liegende Hilfsspur n, bis
sie mit П zur Deckung kommt;
dabei ist zu beachten, daß
der Grundriß n' dieser Hilfs-
spur mit h', der Aufriß n"
mit f" zusammenfällt. Man
erhält zuerst durch Drehung
eines Punktes der Falllinie,
etwa F auf AB, die Lage von
F" und von f" (F" F

=

(Fn)), sodann den Auf

Ferner

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riß der gedachten Normalen "(1f"), dem die Länge 1 = P'Q" zu erteilen ist. Beim Zurückdrehen um n beschreibt der Aufriß des Endpunktes die Strecke Q"Q"; senkrecht unter Q" und um dieselbe Strecke von n' entfernt findet man Q'. Hierbei ist zu erwägen, daß F und Q in der Ebene N auf verschiedenen Seiten von n liegen, wie man aus der gedrehten Ebene erkennt, und daß deshalb auch F" und Q' im Grundriß auf verschiedenen Seiten von n' liegen müssen. - Die zu PQ entgegengesetzt gerichtete Normale sei PR, R liegt mit F auf der nämlichen Seite von n und ebenso müssen sich ihre Grundrisse R′ und F" in Bezug auf n' verhalten.

88. Für spätere Anwendungen ist die Lösung der Aufgabe von Wichtigkeit: einen Punkt P um eine Tafelparallele a durch einen gegebenen Winkel o zu drehen. Durch die Achse a, die

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