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affiner Lage. In der That sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte parallel, nämlich senkrecht zur Achse; sie bilden die Affinitätsstrahlen; andererseits fallen Grund- und Aufriß der Geraden, in welcher die Ebene E der betrachteten Figur von der zweiten Halbierungsebene H, geschnitten wird, in eine Gerade a (Fig. 66) zusammen; dies ist die Affinitätsachse. Die Gerade a geht durch den Achsenschnittpunkt E. von E; einen zweiten Punkt auf ihr liefert der Durchschnitt D der beiden Projektionen von irgend einer in E gezogenen Geraden (vergl. 64). – Hiernach kann die Affinität benutzt werden, um von einer in gegebener Ebene liegenden Figur aus einer Projektion die andere abzuleiten (wie dies in unserer Figur für das Dreieck ABC ausgeführt ist). 82. Der Winkel cz zweier durch ihre Projektionen gegebenen Geraden g und h. Man kann annehmen, daß beide Gerade sich in einem Punkte S schneiden (indem man nötigenfalls die eine durch eine Parallele ersetzt). Den Scheitel S lege man um die Verbindungslinie der Spurpunkte der Schenkel in eine Tafel um, z. B. durch Drehung um GH, (Fig. 67). Der niedergelegte Punkt S. findet sich auf der aus S" zur Drehachse gezogenen Normalen ST und seine Entfernung ST von dieser ist nach früherem gleich S"T wo S"ST das um die Kathete ST in den Grundriß umgelegte Dreieck SST bedeutet (S"S=(S“–x)). Dann ist cz = Z (S. H. Die Halbierung des Winkelscz kann nur nach seiner Darstellung in wahrer Größe gefunden werden. Die umgelegte Halbierungslinie i, schneidet auf der Drehachse den ersten Spurpunkt J 2 aus, woraus sich dann i“ und i“ ergeben. 83. Um den Winkel 8 zweier durch ihre Spuren gegebenen Ebenen A und B zu finden, zeichnen wir zunächst ihre Schnittlinie g mit ihren Spurpunkten G = a × b und G2 = a, × b, (Fig. 68). Eine

Fig. 68.

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Normalebene N zu g schneidet A und B in den Schenkeln und g in dem Scheitel S des gesuchten Winkels s. Die zweite Spur n2 von N ist senkrecht zu g" und wir ziehen sie etwa durch G“; dann sind R = n2 x a2 und T = n2 × b, die Spurpunkte der Schenkel. Legen wir jetzt den Winkel s = Z IST um n, in die Aufrißebene nieder, so gelangt sein Scheitel S in eine bestimmte Lage S auf g, denn S„S“ muß senkrecht zur Drehachsen, sein. Dabei ist GS das von G“ auf g gefällte Lot und G“S ist seine wahre Länge. Diese finden wir, indem wir g um g“ in die Aufrißebene als g" umlegen und von G“ das Lot G"S" auf g" fällen (G"G" = GG, G" auf n, L g“). Schließlich ist Z - RST der gesuchte Winkel oder dessen Nebenwinkel. Um die zu A und B gehörigen Winkelhalbierungsebenen T und A zu bestimmen, schneide man n, mit den beiden Geraden, die den umgelegten Winkel s und seinen Nebenwinkel halbieren, in den Punkten U und Y; es sind dies die zweiten Spurpunkte der Winkelhalbierenden von 8 und seinem Nebenwinkel. Da die gesuchten Ebenen je eine dieser Geraden enthalten müssen, so ist c, = G2 U und d, = G„Y, während c und d aus G nach ihren Schnittpunkten mit der Achse zu ziehen sind. Der Winkel zweier Ebenen ist dem von ihren Normalen eingeschlossenen gleich. Man kann daher von einem beliebigen Punkte die Lote auf diese Ebene fällen und deren Winkel nach 82 bestimmen. S4. Der Neigungswinkel Cz einer Geraden g gegen eine Ebene E ergänzt den Winkel zwischen g und der Ebenennormale zu einem Rechten. Man fälle daher aus irgend einem Punkte S von g auf E ein Lot n und bestimme die Fig. 69. wahre Größe des Winkels 3 = Z. gn nach dem in 82 dargelegten Verfahren (Fig. 69). Zu diesem Zweck lege man etwa S um die Verbindungslinie G„M, der zweiten Spurpunkte von g und n in die zweite Tafel um. Mit 3 ist auch der Winkel cz = /? – 3 bekannt. 85. Die Bestimmung der wahren Gestalt eines in beiden Projektionen gegebenen Dreiecks A BC durch Paralleldrehung seiner Ebene zu einer Tafel. Man schneide die Dreiecksebene mit einer zur Aufrißtafel parallelen Hilfsebene TT in der Hauptlinie a = DE, die als Achse der Drehung dienen soll. Die Paralleldrehung zu TT, kann man dann als Umlegung um a in die Ebene TT auffassen. Der Aufriß des gedrehten Dreiecks AA BACA. wird seine wahre Gestalt zeigen, der Grundriß in die Gerade a fallen (Fig. 70). Der Eckpunkt A beschreibt einen Kreisbogen, dessen Ebene auf a normal steht und dessen Aufriß folglich in die zu a senkrechte Gerade AG fällt. Der Radius dieses Bogens ist das von A auf a gefällte Lot AG und bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten AF = (A – TT) und FG = (F – a); erstere erscheint mit ihrer wahren Länge im Grundriß AF", letztere im Aufriß FG“ (AF" La, FG“ La“, F“ = A“). Dieses rechtwinklige Dreieck AFG sowie die Bahnkurve AAA des Punktes A zeichnen wir, um FG in die Hilfsebene TT umgelegt, im Aufriß als Dreieck A,"F"G“ und Kreisbogen A„AA“. Da man nun AA“ kennt, kann die weitere Konstruktion mit Benutzung der Affinität erfolgen; a“ ist die Affinitätsachse und AA“ und A“ sind ein Paar entsprechender affiner Punkte (A“ B“ × AA“ BA“ auf a“, B“ BA“ La“). Nach dem auseinandergesetzten Verfahren kann die wahre Gestalt jeder durch ihre Projektionen gegebenen ebenen Figur ermittelt werden. 86. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g. P und g seien durch ihre Projektionen gegeben. Ein erster Weg zur Ermittelung des Abstandes PQ = (P– g) ist folgender. Man bestimme mittels zweier Hauptlinien h, und h2

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Fig. 70.

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die Normalebene N zu g, welche den Punkt P enthält, indem man als Projektionen von h und h, durch P resp. P je eine Parallele zur Achse und eine Normale zur

- - - - - –---- z, gleichnamigen Projektion von g zieht (Fig.71). Hierauf schneide

man N mit g nach dem in 61

r» erklärten Verfahren in Q und be

/." A -- stimme die wahre Länge von

e PQ = (P – g) nach der in 73 angeführten Methode als PAQ. / Wir geben eine zweite Lö

" sung der vorigen Aufgabe an,
\ welche auf der in 85 entwickel-
* ten Methode beruht. P und g
liegen in einer Ebene, die wir
um eine Achse a parallel zum
Aufriß drehen. Als Drehachse a
diene die zweite Hauptlinie
durch P(ar), welche die Ge-
rade g im Punkte A trifft
(Fig. 72). Um dieselbe werde
die Gerade g und mit ihr das
von P auf sie gefällte Lot PQ
gedreht, bis sie zum Aufriß
parallel werden. Die gedrehte
Gerade gA und das gedrehte
Lot PQA erscheinen im Aufriß
zu einander rechtwinklig und
letzteres in wahrer Länge. Die
Drehung selbst wird an einem
aufg beliebig gewählten Punkte
B (genau wie in 85) vorgenom-
men, hierauf gA“ = A BA“ und
senkrecht dazu P QA“ gezogen.
(9“ findet man durch Zurück-
drehen in die ursprüngliche Lage,
wobei der von Q beschriebene
Kreisbogen sich als Senkrechte
zu a“ projiziert. Aus dem Aufriß
ergiebt sich der Grundriß (9 und
die beiden Projektionen von PQ.

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87. Das in 79 angegebene Verfahren, um Lote auf eine durch ihre Spurlinien gegebene Ebene zu fällen, läßt sich umgekehrt anwenden, um auf ihr die Normale in einem ihrer Punkte zu errichten. Wir führen gegenwärtig eine Modifikation desselben an, die zur Errichtung einer Normalen von gegebener Länge l auf einer Dreiecksebene in vorgeschriebenem Punkte P dient. Man denke sich durch P parallel zur Aufrißebene eine Hilfsebene TT gelegt und zeichne die Hauptlinie h, die sie aus der Dreiecksebene ABC ausschneidet (Fig. 73). Ferner denke man sich zu h eine Normalebene N durch P, welche ABC in einer Falllinie f schneidet; es wird dann f“ Lh“ sein. Die gesuchte Normale liegt in N und steht auf f senkrecht. Man drehe also die Ebene N um ihre in TT liegende Hilfsspur n, bis sie mit TT zur Deckung kommt; dabei ist zu beachten, daß der Grundriß n dieser Hilfsspur mit h, der Aufriß n“ mit f'“ zusammenfällt. Man erhält zuerst durch Drehung eines Punktes der Falllinie, etwa F auf AB, die Lage von FA“ und von fo“ (F“ F.“ = (F– n), sodann den Aufriß der gedachten Normalen A“ ( LfA“), dem die Länge l = PQA" zu erteilen ist. Beim Zurückdrehen um n beschreibt der Aufriß des Endpunktes die Strecke QA"Q“; senkrecht unter Q“ und um dieselbe Strecke von n entfernt findet man (9. Hierbei ist zu erwägen, daß F und Q in der Ebene N auf verschiedenen Seiten von n liegen, wie man aus der gedrehten Ebene erkennt, und daß deshalb auch Fund (9 im Grundriß auf verschiedenen Seiten von n' liegen müssen. – Die zu PQ entgegengesetzt gerichtete Normale sei PR, R liegt mit F auf der nämlichen Seite von n und ebenso müssen sich ihre Grundrisse R und F in Bezug auf n verhalten. 88. Für spätere Anwendungen ist die Lösung der Aufgabe von Wichtigkeit: einen Punkt P um eine Tafelparallele a durch einen gegebenen Winkel (o zu drehen. Durch die Achse a, die

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