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zu betrachten, wenn sie zurückgeführt ist auf solche Elementaroperationen, die man ohne weiteres mit bekannten Hilfsmitteln durchführen kann. Unter jenen Elementaroperationen aber sind lediglich die folgenden, welche sich sämtlich auf eine ebene Zeichnungsfläche beziehen, zu verstehen: das Ziehen gerader Linien durch gegebene Punkte; insbesondere das Ziehen gerader Linien, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, oder auf ihr rechtwinklig stehen; das Schlagen von Kreisen um ein gegebenes Centrum und mit gegebenem Radius. Bezüglich des Entwickelungsganges mag Folgendes im Voraus bemerkt werden. Mit dem Einfachsten wird begonnen; so geht bei der Darstellung räumlicher Objekte die orthogonale der schiefen Parallel- und der Centralprojektion voraus. Zuerst werden durch diese Projektionen ebene Figuren abgebildet. Vereinigt man dann Bild- und Originalebene in geeigneter Weise, so ergeben sich mittelbar geometrische Abhängigkeiten, die zwischen Figuren ein und derselben Ebene stattfinden; sie werden Kollinear verwandtschaften oder Kollineationen genannt; weil dabei geraden Linien stets wieder Geraden entsprechen. Die einfachste Art der Centralprojektion, bei welcher Bild- und Originalebene parallel angenommen werden, liefert die Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage. Aus der schiefen Parallelprojektion aber entsteht eine Verwandtschaft ebener Figuren, die als Affinität bei affiner Lage bezeichnet wird. Auf der anderen Seite ergiebt die allgemeine Centralprojektion die centrische Kollineation ebener Systeme oder die Perspektivität. Gerade deshalb, weil die genannten Verwandtschaften ebener Gebilde aus Projektionen im Raume entstanden gedacht werden können, haben sie für die darstellende Geometrie eine prinzipielle Wichtigkeit; die bei der Darstellung räumlicher Objekte auftretenden Probleme führen immer wieder auf sie zurück. Es erschien daher zweckmäßig, sie an geeigneter Stelle ausführlich zu behandeln. Wir beginnen also die Darlegung der Methoden der Parallelprojektion mit einem Kapitel über Ähnlichkeit und Affinität bei ebenen Figuren. Dementsprechend würde ein Kapitel über Perspektivitätebener Figuren vor der Behandlung der Perspektive räumlicher Figuren seinen natürlichen Platz finden. Wir ziehen es aber vor, ein solches bereits an einer früheren Stelle einzuschalten und später darauf zurück zu verweisen, weil für gewisse Gebilde schon an und für sich die Gesetze der Perspektivität in Betracht kommen, namentlich für Pyramiden und Kegel und ihre ebenen Schnitte.

Bei der Entwickelung der Projektionsmethoden für beliebige (nicht ebene) Objekte wird jedesmal mit der Darstellung der einfachen Grund gebilde: Punkt, Gerade, Ebene und der Lösung der aus ihren möglichen Beziehungen sich ergebenden Fundamentalaufgaben begonnen, um daran die Darstellung und Untersuchung der komplizierteren Gebilde in angemessener Ordnung anzuschliessen. Schliesslich mögen noch einige Bemerkungen über die hauptsächlichsten, zum Teil am gehörigen Orte noch näher zu erläuternden, Bezeichnungen und Abkürzungen Platz greifen. Wir werden durchgängig: Punkte mit großen lateinischen Buchstaben: A, B . . . P . . ., Gerade mit kleinen lateinischen Buchstaben: a, b, . . . g, . . ., Ebenen mit großen griechischen Buchstaben: A, B, . . . E, . . ., Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben: ce, 3, . . . q, . . ., bezeichnen, und zwar verwenden wir meist die ersten Buchstaben des betreffenden Alphabets für gegebene oder bekannte Elemente, für variable oder unbekannte aber die später folgenden Buchstaben. Als Zeichen der Verbindung mehrerer Elemente durch ein neues Grundgebilde, welches sie zusammengenommen bestimmen, dient die bloße Nebeneinanderstellung der sie bezeichnenden Buchstaben. Es bedeutet also: g = A B die gerade Verbindungslinie der Punkte A und B, E = ABC die Verbindungsebene der drei Punkte A, B, C, A = Ab die Verbindungsebene des Punktes A und der Geraden b, T = ab die Verbindungsebene der sich schneidenden Geraden a und b. Zur Bezeichnung der Schnittelemente wählen wir das zwischen die betreffenden Buchstaben einzufügende Symbol × . Hiernach bedeutet: P=g × h den Schnittpunkt der in einer Ebene liegenden Geraden g und h. Q = g × E den Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene E, g = E × A die Schnittlinie der Ebenen E und A. Wie gebräuchlich, legen wir parallelen Geraden einen unendlich fernen Schnittpunkt (Richtungspunkt, Richtung), parallelen Ebenen eine unendlich ferne Schnittlinie (Stellungsgerade, Stellung) bei. Diese Bezeichnungen werden miteinander nach Bedürfnis kombiniert; z. B. würde AB × PQI den Schnittpunkt der Verbindungslinie der Punkte A, B mit der Verbindungsebene der Punkte P, Q, / darstellen, u. s. f.

Als Dreieckszeichen dient A, als Winkel zeichen Z , so daß A ABC das Dreieck mit den Ecken A, B, C, a = Z_ ABC den Winkel, welchen die Schenkel BA und BC am Scheitel B einschließen, 3 = Z_ ab den Winkel der Geraden a und b, y = Z_ aE den Neigungswinkel der Geraden a gegen die Ebene E, q = z . EA den Winkel der Ebenen E und A bezeichnet. R ist das Symbol für den rechten Winkel oder 90°, 2 R für den gestreckten Winkel u. s. f. Neben den bereits üblichen Abkürzungen , ++, L, -, - für parallel, parallel und gleich, senkrecht, ähnlich und kongruent, führen wir noch ein neues Symbol für den senkrechten Abstand ein; es soll nämlich (P – g) die Entfernung des Punktes P von der Geraden g, (P – E) die des Punktes P von der Ebene E repräsentieren. Übrigens wird für die geometrischen Beziehungen keineswegs ausschließlich die symbolische Schreibweise angewendet werden. Dieselbe soll nur bei Beweisen die Übersicht erleichtern und bei der unvermeidlichen Wiederholung geläufiger Operationen die Möglichkeit der Kürzung gewähren. Im besonderen sind folgende feststehende Bezeichnungen zu IlEIlIlEIl TI, TT, für die beiden rechtwinkligen Projektionsebenen bei orthogonaler Projektion, r für ihre Schnittlinie oder Achse. P, P“ für die Projektionen eines Punktes P, g“, g' für die Projektionen einer Geraden g, G, G, für die Spurpunkte einer Geraden g, e, e, für die Spurlinien einer Ebene E. Schiefe Parallelprojektionen werden durch Anhängung des unteren Index s, centralperspektive Bilder durch die des Index c bezeichnet. Die Umlegung einer ebenen Figur in eine andere Ebene um die zu beiden gehörige Spurlinie charakterisieren wir durch den unteren oder oberen Index o, Elemente, die durch Drehung um irgend eine Gerade eine neue Lage erhalten haben, ebenso durch den Index A, endlich Schatten durch den unteren oder oberen Index x.

ER ST ES KAPITEL.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren.

Bevor wir die allgemeinen Gesetze der orthogonalen Parallelprojektion entwickeln und sie auf räumliche Gebilde anwenden, betrachten wir die ebenen Gebilde für sich. Hierbei beschränken wir uns nicht auf die orthogonale Parallelprojektion, sondern behandeln zuerst – gewissermaßen als Vorstufe – die einfachste Form der Centralprojektion, bei welcher Original- und Bildebene parallel liegen, hierauf aber sogleich die schiefe Parallelprojektion. Aus diesen beiden im Raume zu vollziehenden Projektionsarten werden die Ähnlichkeit und die Affinität zwischen Figuren einer Ebene abgeleitet; ihre Kombination ergiebt eine allgemeinere Verwandtschaft, die Affinität im weiteren Sinne, die uns jedoch hier nicht beschäftigen soll!).

Ähnlichkeit ebener Figuren.

1. Es sei eine Ebene E im Raume gegeben. Zu ihr parallel werde eine zweite Ebene E und außerhalb beider ein Punkt O nach Willkür festgelegt. Legt man durch alle Punkte einer in E gelegenen Figur von dem Centrum O ausgehende, projizierende Strahlen, ebenso durch alle Geraden dieser Figur projizierende Ebenen, so liefern diese Strahlen und Ebenen in ihrem Fig. 1. Schnitt mit der Ebene E, als Bildebene eine zweite Figur, deren Punkte und Geraden denen der gegebenen Figur eindeutig entsprechen. Beispielsweise geht (Fig. 1) aus dem Dreieck ABC in E ein Dreieck A, B, C in E, als Bild hervor. Die Beziehung, in welcher die einander entsprechen: den Figuren stehen, heißt Ahnlichkeit bei ähnlicher Lage und besitzt folgende Eigenschaften:

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«) Entsprechende Gerade sind parallel; also:

3) Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele Gerade g, und h, und einem Winkel p ein ihm gleicher Winkel p.

y) Das Verhältnis irgend zweier entsprechenden Strecken AB und A, B, ist konstant = e: e, wenn e = (0 – E), e = (0 – E) gesetzt wird.

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1 -1 »

Ist für irgend zwei ebene Figuren eine der beiden letzten Eigenschaften und folglich auch die andere erfüllt, so sind sie nur als ähnlich zu bezeichnen. Kommt aber die erste Eigenschaft hinzu, so befinden sie sich in ähnlicher Lage. In der That braucht man nur zwei einander entsprechende parallele Strecken AB und AB zu kennen, um das Ahnlichkeitscentrum O = AA X BB zu finden. Hieraus folgt weiter, daß je zwei ähnliche Figuren auf unendlich viele Arten in ähnliche Lage gebracht

werden können. 2. Die ähnlichen Figuren bleiben in ähnlicher Lage, wenn die Bildebene E sich Fig. 2. - selbst parallel verschoben wird. An Stelle von 0 tritt dabei ein neues Centrum O'. Die Strecke 00, d. i. die Verschiebung des Centrums, ist mit derjenigen der Bildebene parallel und gleichgerichtet oder ihr entgegengesetzt, je nachdem 0 und E auf derselben oder auf verschiedenen Seiten von E liegen;

der Größe nach ist sie durch die Relation:

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e1 – e

OO = a .

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