1 2 0 2 1 Tafel. Hierbei beschreibt der Scheitel G1 in der Grundrißebene einen Kreisbogen G1G1° um G2, der auf der Achse endigt, und es ist 1 = G2G°G'. Analog findet man den Winkel 71⁄2 = ≤ G1G2G1′′ 72 durch Umlegen in die erste Tafel als G, G2°G," (Fig. 60). Unter allen Winkeln, die eine Gerade mit den Geraden einer Ebene einschließt, ist ihr Neigungswinkel gegen dieselbe am kleinsten. Für jede Lage von g ist daher 12 ≤ LG, G2 G ; da andererseits L GGG G1°G,GR-7, ist, so folgt für die Summe der Tafelneigungen einer Geraden die Relation: 7, + 1⁄2 ≤ R. 2 = 76. Durch einen Punkt P eine Gerade g mit den Neigungswinkeln 7, und 1⁄2 gegen die Tafeln zu legen. 72 P" Px P' Fig. 61. K man winkel gegen die Grundrißebene. Ist L, ihr erster Spurx punkt, so ist also ▲ P'L1"P=71 und P'L1 || x (Fig. 61). Dreht nun um die Vertikale PP', so behält sie ihren Neigungswinkel, gegen П, bei, während ihr Spurpunkt L1 einen Kreisbogen c in П1 um P' beschreibt. Insbesondere kann durch eine solche Drehung in die Lage der gesuchten Geraden g übergeführt werden, deren Spurpunkt G, muß also auf dem genannten Kreise liegen. Hierbei ist er SO zu bestimmen, daß der Aufriß von PG1 die Länge P'G," = PG1.cos 72 = PL1. cos 72 = P"L". cos 7, erhält. Man zeichne demgemäß über P"L" als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete P"Q mit 7" den Winkel 7, einschließt, und schlage um P" mit dem Radius P"Q einen Kreisbogen, so schneidet dieser die Achse in G"; denn dann ist P"G," P"Q=P"L". cos 72 wie verlangt. Der Spurpunkt G1 liegt auf c senkrecht unter G". Es giebt offenbar vier Lösungen unserer Aufgabe, nämlich die Geraden g, h, i und k, deren Spurpunkte G1, H1, J, und K, auf dem Kreise e liegen und die Endpunkte zweier in Bezug auf l' symmetrischer Durchmesser bilden. Eine andere Lösung ist in 78 enthalten. 1 = 1 77. Die Neigungswinkel &, und & einer Ebene E gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Ebene gegen eine der Tafeln wird der Neigungswinkel von irgend einer gleichnamigen Falllinie der Ebene verstanden. Er wird bestimmt, indem man ihn entweder (wie in 75) in die ungleichnamige Tafel, oder um den einen Schenkel in die gleich 1 2 0 = 1 2 Ꮖ zweiten Falllinie mit den Spurpunkten G1 und G2 und legen das Dreieck G,G,G," um seine Kathete G2G," in die Aufriẞebene als Dreieck GGG," um, wodurch & G1°GG1" erhalten wird (G1"G1 = G1′′G1°, G1′′G1° ± G1′′G2). Daß unter allen Geraden einer Ebene die Falllinien gegen die zugehörige Tafel den größten Neigungswinkel haben, ist schon oben (68) erwähnt worden. Erwägt man, daß der Neigungswinkel einer Ebene durch den gleichnamigen Neigungswinkel der Ebenennormale zu einem Rechten ergänzt wird, so folgt aus 75 für die Summe der Tafelneigungen einer Ebene die Beziehung: &1 + &2 ≥ R. 78. Eine Ebene E mit den Neigungswinkeln & und E2 durch einen gegebenen Punkt P zu legen. Durch einen Punkt A der Achse denken wir uns eine Gerade AB &1 von beliebig gewählter Länge senkrecht zu E gezogen; sie besitzt die Neigungswinkel 1 = R — ε und 72 R- &. Nun ziehen wir Ꭱ = durch A senkrecht zur Achse zwei Gerade Ρ und von denen die erste der Grundriß-, die zweite der Aufrißebene angehört (Fig. 63). Legen wir jetzt AB um p als Strecke AB in die Ebene П, um und ebenso um 9 als Strecke ABo in die Ebene П2, so schließen AB und AB mit der Achse die Winkel 7, resp. 71⁄2 ein (ABo= AB。). Beim Rückwärtsdrehen von AB, um p in die Raumlage AB beschreibt B einen Kreisbogen, sein Aufriß einen dazu kongruenten Kreisbogen und sein Grundriß eine Parallele zur Achse. Beim Rückwärtsdrehen von AB° um q in die Raumlage AB beschreiben Bo und sein Grundriß kongruente Kreisbogen und sein Aufriß eine Parallele zur Achse. So ergeben sich B' und B" als Schnittpunkte von je einem Kreisbogen und einer Parallelen zur Achse. (Es giebt wieder vier Lösungen wie in 76, die zu der in der Figur gezeichneten Lösung symmetrisch in Bezug auf die Tafelebenen sind.) Die Spuren e und e2 der gesuchten Ebene sind senkrecht zu AB' und AB". Zeichnet man eine in E liegende erste Hauptlinie h durch P und ihren Spurpunkt H2 (h" durch P", AB' durch P'), so ist nur noch e, durch H2 normal zu AB" und eXx normal zu AB' zu ziehen. 2 2 e1 durch 79. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Ebene E kann nach 69 in Verbindung mit 71 bestimmt = werden. Ebenso einfach ist Lage FF und P in die Lage Po (NF,° 1 n, und = NF1, P°P" n2 = 1 2 und PP). Jetzt ziehe man die Gerade 7° FF, welche auf der letzteren den Punkt Qo und auf n2 den Spurpunkt Z, aus 2 schneidet. Aus der Umlegung Qo des Fußpunktes Q findet man rückwärts Q" auf l" durch eine zu n normale Gerade Q°Q" und hieraus Q. PQ0 ist die wahre Länge des Abstandes. 80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine der Tafeln. Eine ebene Figur und ihre Projektion auf eine Tafel sind affin und in affiner Lage und bleiben es auch, wenn die erstere um die bezügliche Spur ihrer Ebene (d. i. um ihre Affinitätsachse) in die Tafel umgelegt wird (vergl. 10). Durch Benutzung dieses Umstandes werden die zur Umlegung nötigen Operationen vereinfacht. Es sei beispielsweise ein Dreieck ABC durch die Spuren e1 und e2 seiner Ebene E und seinen Aufriß A"B"C" gegeben, woraus sich der Grundriß in bekannter Weise ergiebt (Fig. 65). Zur Ermittelung seiner wahren Gestalt lege man das Dreieck um e in die Aufrißebene um. Man denke sich in E 2 = 21 0 et 1 durch den Punkt A eine Falllinie f gezogen (ƒ 1 €, ƒ" 1 e). Diese lege man, um zunächst ihre Länge zwischen den Spurpunkten F und F2 zu finden, wie in voriger Nummer um f" seitwärts in die Aufrißebene nieder als fo= FF10; sodann lege man sie um e, in П2 П1⁄2 um als fo FF. Hieraus ergiebt sich die Umlegung e1 = EF1° von e. Die Umlegung A°B°C des Dreiecks ABC aber kann als die affine Figur zu "B"C" gezeichnet werden, da man außer der Affinitätsachse e2 zwei einander entsprechende Punkte F und F" kennt (vergl. 11); die Affinitätsstrahlen sind normal zu e. So ist BoB" 1 e2 und die Parallelen durch B′′ und Bo resp. zu x und e1o treffen sich in einem Punkte von e; denn bei unserer Affinität 1 0 0 ey und Man kann entsprechen sich der Aufriß der Spur e,, d. h. die Achse x und ihre Umlegung e. Ferner schneiden sich B'C" und B°C auf treffen a resp. e° in entsprechenden Punkten u. s. f. die Umlegung eines jeden Punktes auch mittels seines Abstandes von der Drehachse e konstruieren, indem man den Umstand benutzt, daß sich dieser Abstand zu seiner Projektion jedesmal wie F10F2 zu F"F2 verhält. So schneidet eine Parallele zu e, durch B” auf f die wahre Länge des Abstandes (Be2) ab. 2 Die oben ausgeführte Umlegung der Falllinie f und ihres Spurpunktes F um e, nach fo und F° in die Aufrißebene läßt sich durch folgende Überlegung noch einfacher gestalten. Der Abstand des Punktes F von E erscheint sowohl im Grundriß als auch in der Umlegung in wahrer Länge, also FEFE Deshalb liegt F° sowohl auf einem Kreis mit dem Centrum E und dem Radius EF, als auch auf einer durch F" senkrecht zu e, gezogenen Geraden. 0 81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Die beiden Projektionen einer ebenen Figur sind affin und befinden sich nach der Umlegung der einen Tafel in die andere in |