Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

Tafel. Hierbei beschreibt der Scheitel G, in der Grundrißebene einen Kreisbogen G G" um G„, der auf der Achse endigt, und es ist y = z. G„G"G. Analog findet man den Winkel y2 = zGG„G“ durch Umlegen in die erste Tafel als Z_G G„"G" (Fig. 60). – Unter allen Winkeln, die eine Gerade mit den Geraden einer Ebene einschließt, ist ihr Neigungswinkel gegen dieselbe am kleinsten. Für jede Lage von g ist daher 72 = Z_G G2G,; da andererseits z- G, G„G, = z . G"G„G, = R –y ist, so folgt für die Summe der Tafelneigungen einer Geraden die Relation: y + 72 = /. 76. Durch einen Punkt P eine Gerade g mit den Neigungswinkeln y und y, gegen die Tafeln zu legen. - Man ziehe zunächst durch P eine Gerade l parallel zur Aufrißebene mit dem Neigungswinkel y gegen die Grundrißebene. Ist L ihr erster Spurx punkt, so ist also Z PL“P =71 und PL | r (Fig. 61). Dreht man nun l um die Vertikale PP, so behält sie ihren Neigungswinkel y gegen TT bei, während ihr Spurpunkt L einen Kreisbogen c in TT um P' beschreibt. Insbesondere kann l durch eine solche Drehung in die Lage der gesuchten Geraden g übergeführt werden, deren SpurpunktG, muß also auf dem genannten Kreise c liegen. Hierbei ist er so zu bestimmen, daß der Aufriß von P6 die Länge PG“ = PG . cosy, = PL . cosy2 = PL“. cos;, erhält. Man zeichne demgemäß über PL“ als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete PQ mit l“ den Winkel y, einschließt, und schlage um P“ mit dem Radius PQ einen Kreisbogen, so schneidet dieser die Achse in G“; denn dann ist PG“ = P'Q = PL“. cosy, wie verlangt. Der Spurpunkt 6 liegt auf c senkrecht unter G“. Es giebt offenbar vier Lösungen unserer Aufgabe, nämlich die Geraden g, h, und k, deren Spurpunkte G, Il, J und K auf dem Kreise c liegen und die Endpunkte zweier in Bezug auf l' symmetrischer Durchmesser bilden. Eine andere Lösung ist in 78 enthalten. 77. Die Neigungswinkel so und so einer Ebene E gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Ebene gegen eine der Tafeln wird der Neigungswinkel von irgend einer gleichnamigen Falllinie der Ebene verstanden. Er wird bestimmt, indem man ihn entweder (wie in 75) in die ungleichnamige Tafel, oder um den einen Schenkel in die gleichnamige Tafel umlegt. Um s, zu finden, ziehen wir (Fig. 62) FF, normal zu e, als Grundriß einer ersten Falllinie mit den Spurpunkten F und F und zeichnen nach dem früheren Verfahren so = Z - F, FF = Z F„F"F. Um so zu bestimmen, ziehen wir G„G“ normal zu e, als Aufriß einer zweiten Falllinie mit den Spurpunkten G. und G. und legen das Dreieck G G„G“ um seine Kathete G„G“ in die Aufrißebene als Dreieck G"G„G“ um, wodurch s, = Z G"G„G“ erhalten wird (GG = GG", GG" LG“G2). – Daß unter allen Geraden einer Ebene die Falllinien gegen die zugehörige Tafel den größten Neigungswinkel haben, ist schon oben (68) erwähnt worden. Erwägt man, daß der Neigungswinkel einer Ebene durch den gleichnamigen Neigungswinkel der Ebenennormale zu einem Rechten ergänzt wird, so folgt aus 75 für die Summe der Tafelneigungen einer Ebene die Beziehung: E + 8, = R. 78. Eine Ebene E mit den Neigungswinkeln s, und so durch einen gegebenen Punkt P zu legen. Durch einen Punkt A der Achse denken wir uns eine Gerade AB von beliebig gewählter Länge senkrecht zu E gezogen; sie besitzt die Neigungswinkel y = R – é, und 72 = R – eg. Nun ziehen wir durch A senkrecht zur Achse zwei Gerade p und q, von denen die erste der Grundriß-, die zweite der Aufrißebene angehört (Fig. 63).

[graphic]
[ocr errors]

Fig. 63.

[graphic]
[graphic]

Legen wir jetzt AB um p als Strecke A B, in die Ebene TT, um und ebenso um q als Strecke A B" in die Ebene TT, so schließen AB und AB" mit der Achse die Winkel y resp. y ein (AB"=AB). Beim Rückwärtsdrehen von A B, um p in die Raumlage A B beschreibt B, einen Kreisbogen, sein Aufriß einen dazu kongruenten Kreisbogen und sein Grundriß eine Parallele zur Achse. Beim Rückwärtsdrehen von A B" um q in die Raumlage AB beschreiben B" und sein Grundriß kongruente Kreisbogen und sein Aufriß eine Parallele zur Achse. So ergeben sich B und B“ als Schnittpunkte von je einem Kreisbogen und einer Parallelen zur Achse. (Es giebt wieder vier Lösungen wie in 76, die zu der in der Figur gezeichneten Lösung symmetrisch in Bezug auf die Tafelebenen sind.) Die Spuren e und e, der gesuchten Ebene sind senkrecht zu AB und A B. Zeichnet man eine in E liegende erste Hauptlinie h durch P und ihren Spurpunkt H. (h“ r durch P, l. L AB durch P“), so ist nur noch e2 durch H, normal zu AB“ und e, durch e, × r normal zu AB zu ziehen. 79. Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Ebene E kann nach 69 in Verbindung mit 71 bestimmt werden. Ebenso einfach ist - folgender Weg. Ist l = PQ Oss das gesuchte Lot, so lege man durch dasselbe eine Ebene N senkrecht zu TT, (Fig. 64). Dann ist ihre Spur n2 = l“ normal zu e2 und ihre Spur n normal zur Achse (n, durch P“, n > n = M auf r). Diese Ebene N steht auf e, senkrecht und schneidet E in einer Falllinie FF (F, = n2 × eg und F = m × ei), die ebenfalls zu dem gesuchten Lot rechtwinklig ist. Legt man also N um die Spur 2 in TT, um, so gelangt die Falllinie in die Lage F"F, und P in die Lage P" (NF" Ln, und = MP, P"P“ Ln, und = PP). Jetzt ziehe man die Gerade l" L F"P, welche auf der letzteren den Punkt (9" und auf n2 den Spurpunkt L2 ausschneidet. Aus der Umlegung (9" des Fußpunktes Q findet man rückwärts (9“ auf l“ durch eine zu n, normale Gerade Q"Q“ und hieraus Q. P"Q" ist die wahre Länge des Abstandes. 80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine der Tafeln. Eine ebene Figur und ihre Projektion auf eine Tafel sind affin und in affiner Lage und bleiben es auch, wenn die erstere um die bezügliche Spur ihrer Ebene (d, i. um ihre Affinitätsachse) in die Tafel umgelegt wird (vergl. 10). Durch Benutzung dieses Umstandes werden die zur Umlegung nötigen Operationen vereinfacht. Es sei beispielsweise ein Dreieck A BC durch die Spuren e. und e, seiner Ebene E und seinen Aufriß ABC“ gegeben, woraus sich der Grundriß in bekannter Weise ergiebt (Fig. 65). Zur Ermittelung seiner wahren Gestalt lege man das Dreieck um e, in die Aufrißebene um. Man A Fig. 65. denke sich in E durch den Punkt A eine Falllinie f gezogen (f Leg, f“ Leg). Diese lege man, um zunächst ihre Länge zwischen den Spurpunkten F und F, zu finden, wie in voriger Nummer um f seitwärts in die Aufrißebene nieder als fj = P„Fo; sodann lege man sie um e2 in TT, um als f" = F„F". Hieraus ergiebt sich die Umlegung ei" = EF" von e. Die Umlegung A"B"C" des Dreiecks ABC aber kann als die affine Figur zu ABC“ gezeichnet werden, da man außer der Affinitätsachse e, zwei einander entsprechende Punkte F" und F“ kennt (vergl. 11); die Affinitätsstrahlen sind normal zu e2: So ist B"B“ Le, und die Parallelen durch B“ und B" resp. zu r und e" treffen sich in einem Punkte von e2; denn bei unserer Affinität entsprechen sich der Aufriß der Spur e , d. h. die Achse r und ihre Umlegung e". Ferner schneiden sich BC“ und B"C" auf e, und treffen r resp. e" in entsprechenden Punkten u. s. f. – Man kann die Umlegung eines jeden Punktes auch mittels seines Abstandes von der Drehachse e2 konstruieren, indem man den Umstand benutzt, daß sich dieser Abstand zu seiner Projektion jedesmal wie FoF, zu FF, verhält. So schneidet eine Parallele zu e, durch B“ auff, die wahre Länge des Abstandes (B eg) ab. Die oben ausgeführte Umlegung der Falllinie f und ihres Spurpunktes F um e, nach f" und F" in die Aufrißebene läßt sich durch folgende Uberlegung noch einfacher gestalten. Der Abstand des Punktes F von E. erscheint sowohl im Grundriß als auch in der Umlegung in wahrer Länge, also F E = F"E. Deshalb liegt F" sowohl auf einem Kreis mit dem Centrum E. und dem Radius E„F, als auch auf einer durch F“ senkrecht zu e, gezogenen Geraden.

[graphic]
[graphic]

Fig. 66. Fig. 67.

81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Die beiden Projektionen einer ebenen Figur sind affin und befinden sich nach der Umlegung der einen Tafel in die andere in

[graphic]
« ZurückWeiter »