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63, Für die Schnittpunkte S und T einer Geraden g mit den beiden Halbierungsebenen H1 und H2 mag beiläufig eine einfache Konstruktion

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EX

64. Durch einen Punkt P die gemeinsame Sekante s zweier Geraden g und h zu ziehen. Man konstruiere die Ebene E Pg, schneide sie mit h in R, dann ist PR die gesuchte Sekante, die auch g in einem Punkte Q schneidet, da sie mit g in der gemeinsamen Ebene E liegt. Bei Ausführung der Konstruktion (Fig.55)zeichne man zuerst in beiden Projektionen die Parallele i zu g durch P und betrachte E als durch die parallelen Geraden 9 und i gegeben, so daß nach 61 konstruiert werden kann. ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

Fig. 53.

Fig. 54.

e

der Schnittpunkt R = h × gi

Ist P ein unendlich ferner

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Punkt, d. h. ist die Richtung der gemeinsamen Sekante von g und h gegeben, so ziehe man in dieser Richtung durch

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irgend einen Punkt von g eine Gerade i und schneide wiederum die Ebene E = gi mit h in R. Die durch R gezogene Parallele zu i ist die fragliche gemeinsame Sekante.

65. Auf Grund der vorangehenden Entwickelungen kann leicht entschieden werden, ob drei Punkte in einer Geraden oder vier Punkte in einer Ebene liegen, ob drei Ebenen durch eine Gerade oder vier Ebenen durch einen Punkt gehen, ob eine Gerade zu einer Ebene parallel liegt und dergleichen mehr.

Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. Abstände und Winkel, Die Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die Parallele zu einer Tafel.

66. Die Grundlage unserer nächsten Entwickelungen bildet. folgender Satz:

Ist ein Schenkel eines rechten Winkels zu einer Tafel parallel, so ist auch seine orthogonale Projektion auf dieselbe ein rechter Winkel. Sind nämlich g und h die Schenkel, und ist gП1 und 7 das Lot aus dem Scheitel auf П1, so ist g 1 7; da zugleich gh, so ist auch ghl und ebenso g' hl, da g'g ist. Wenn aber g' auf der Ebene hl senkrecht steht, ist sie zu jeder in der Ebene liegenden Geraden rechtwinklig, also auch zu der Geraden h = hl × π1• Offenbar kann der Satz in der allgemeineren Form ausgesprochen werden. Zwei normal zu einander gerichtete (windschiefe oder sich schneidende) Gerade g und h haben zu einander rechtwinklige Projektionen, wenn eine von ihnen zu der betreffenden Projektionsebene parallel ist.

67. Hieraus folgt weiter: Steht eine Gerade g auf einer Ebene E senkrecht, so sind ihre Projektionen zu den gleichnamigen Spuren der Ebene rechtwinklig. Es ist

nämlich 9, wie zu allen Geraden der Ebene E, so insbesondere zu ihren Spuren e1 und e, normal, also nach dem vorigen Satze g' e1 und g" 2.

68. Die in einer Ebene E rechtwinklig zu ihren ersten (zweiten) Hauptlinien gezogenen Geraden werden als erste (zweite) Falllinien bezeichnet, insofern sie unter allen Geraden von E die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die bezügliche Tafel haben. Die eine Projektion einer Falllinie steht senkrecht auf der gleichnamigen Ebenenspur, was unmittelbar aus dem Satze in 66 folgt.

Dies vorausgeschickt, können wir zur Besprechung der in der Überschrift dieses Abschnittes bezeichneten Fundamentalaufgaben und der zu ihrer Lösung erforderlichen besonderen Methoden übergehen.

69. Das aus einem Punkte P auf eine Ebene E gefällte Lot 7 wird nach 67 gefunden, indem man seine Projektionen l' und "

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und e, zieht. Sein FußE nach dem früher (61)

resp. durch P' und P" und senkrecht zu e, punkt ergiebt sich als Schnittpunkt 7 × entwickelten Verfahren (Fig. 56). Ein anderer Weg zur Darstellung, auf dem man zugleich die Länge des Lotes oder Abstandes (PE) erhält, findet sich in 75.

70. Die Normalebene N zu einer Geraden g durch einen Punkt P. Die Spurlinien n, und n, der gesuchten Ebene müssen rechtwinklig zu g' und g" liegen. Legt man also durch P eine erste Hauptlinie h unserer Ebene, so ist h' durch P' senkrecht zu g' und h" durch P" parallel zur Achse zu ziehen. Durch den Spurpunkt H2 von h geht dann die Spur n, und durch n2 × die Spur n1 (n2g", n1 1 g') (Fig. 57).

A'A x

x

0

Ο

71. Die wahre Länge einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke. Eine Strecke AB bildet mit ihrer ersten Projektion A'B' und den projizierenden Geraden ihrer Endpunkte ein ebenes, bei A' und B' rechtwinkliges Viereck A'ABB'. Dieses Trapez kann in der Grundrißebene verzeichnet werden, indem man (Fig. 58) in den Endpunkten von A'B' die Normalen A'A und B'B errichtet und resp. gleich den ersten Tafelabständen der Punkte A und B, also gleich "A resp. B'B macht. Die vierte Seite AB giebt die wahre Länge der Strecke B an. Das Trapez l'ABB' stellt eine der beiden Lagen dar, die das Trapez AABB' annehmen kann, wenn es durch Drehung um die Grundlinie A'B' in die erste Tafel umgelegt wird. Das geschilderte Verfahren bezeichnet man daher als Umlegung der Strecke in eine Tafel um ihre bezügliche Projektion.

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Fig. 58.

B-C'

2

72. Wird von einem Endpunkte A der vorgelegten Strecke ein Lot AC auf BB' gefällt, so entsteht das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen Hypotenuse die zu bestimmende Strecke ist und dessen Katheten resp. parallel und normal zum Grundriß sind (Fig. 58) (C'' = B', A"C" || x). Die Kathete AC erscheint im Grundriß A'C' und die Kathete BC im Aufriß B"C" in wahrer Größe. Trägt man daher an den Grundriß A'C' die Strecke C'BC"B" unter rechtem Winkel an, so giebt AB die Streckenlänge an. Das Dreieck A'B'C' stellt den Grundriß des durch. Drehung um seine horizontale Kathete AC in horizontale Lage gebrachten Dreiecks ABC dar. Unser Verfahren ist also anzusehen als eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel und zwar um eine Gerade, die durch einen Endpunkt der Strecke zu ihrer bezw. Projektion parallel läuft.

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73. Endlich kann man auch noch folgende dritte Methode in Anwendung bringen. Man trage (Fig. 59) an die Strecke B"C" im Aufriß als andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Strecke C"A"= B'A' horizontal an und ziehe die Hypotenuse

"B", welche die gesuchte Strecke darstellt. Das Dreieck A ̧"B"C" kann als Aufriß des um seine vertikale Kathete BC zur Aufrißebene

parallel gedrehten Dreiecks ABC angesehen werden. Bei dieser Drehung behalten die Punkte B und C ihre Lagen bei, während der Punkt A einen Kreisbogen AA in horizontaler Ebene beschreibt. Der Grundriß A'A' dieses Bogens ist also ein kongruenter Bogen und sein Aufriß "A" eine

Parallele zur Achse. Nach der Drehung muß die Strecke zu П, parallel sein, also B'A x. Dieses dritte Verfahren führt also eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel aus und zwar um das aus einem Endpunkt auf die andere Tafel gefällte Lot. Bei jedem der drei Verfahren zur Streckenbestimmung hat man die Wahl, ob man vom Grund- oder Aufriß, vom einen oder anderen Endpunkt ausgehen, sowie auch ob man die Drehung im einen oder anderen Sinne vornehmen will.

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Fig. 59.

74. Die Teilung einer durch ihre Projektion gegebenen Strecke AB nach vorgeschriebenem Verhältnis erfolgt auf Grund des Satzes, daß sich parallele Strecken, also insbesondere die Teilstrecken einer Geraden, wie ihre Projektionen verhalten (vergl. 6). Man teilt demnach die Projektionen A'B' und "B" in dem verlangten Verhältnis. Handelt es sich darum, auf AB eine Teilstrecke AC von gegebener Länge aufzutragen, so müssen nach einer der in 71-73 gegebenen Methoden die wahre Größe von AB gezeichnet, auf ihr die Strecke AC aufgetragen und durch Zurückdrehung die Projektionen gefunden werden.

75. Die Neigungswinkel, und einer Geraden g gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den spitzen Winkel, den sie mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene einschließt. Man erhält den Winkel = legung der Winkelebene um ihre zweite

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Fig. 60.

GGG durch UmSpur G2G, in die zweite

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