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63. Für die Schnittpunkte S und T einer Geraden g

mit den beiden Halbierungsebenen H. und H., mag beiläufig

eine einfache Konstruktion
angegeben werden, die sich
aus den besonderen Eigen-
schaften der letzteren er-
giebt (vergl. 41). Der Grund-
riß S und Aufriß S“ liegen
auf g' bezw. g“ symmetrisch
zur Achse (Fig. 54); hieraus
folgt, daß sie der durch
J/ = G G2 × r gezogenen
Normalen zur Achse an-
gehören, was zu ihrer Kon-
struktion dient. In der
That hat man: SM: G„G,
= GM: GG = GS: G. G,
= MS: G„G2, d. h.S"M=MS.
Die beiden Projektionen T''
und 7" von T liegen im
Schnittpunkt g“ ver-
einigt.
64. Durch einen
Punkt P die gemein-
same Sekante s zweier
Geraden g und h zu
ziehen. Man konstruiere
die Ebene E = Py, schneide
sie mit h in /', dann ist
P/? die gesuchte Sekante,
die auch g in einem Punkte
Q schneidet, da sie mit g
in der gemeinsamen Ebene E
liegt. Bei Ausführung der
Konstruktion(Fig,55)zeichne
man zuerst in beiden Pro-
jektionen die Parallele i
zug durch P und betrachte
E als durch die parallelen
Geraden g und i gegeben,

Fig. 53.

Fig. 54.

so daß der Schnittpunkt R = h × gi

nach 61 konstruiert werden kann. – Ist P ein unendlich ferner

ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl.

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Punkt, d. h. ist die Richtung der gemeinsamen Sekante s von g und h gegeben, so ziehe man in dieser Richtung durch - irgend einen Punkt von g eine Gerade i und schneide wiederum die Ebene E = gi mit h in R. Die durch R gezogene Parallele zu i ist die fragliche gemeinsame Sekante. 65. Auf Grund der vorangehenden Entwickelungen kann leicht entschieden werden, ob drei Punkte in einer Geraden oder vier Punkte in einer Ebene liegen, ob drei Ebenen durch eine Gerade oder vier Ebenen durch einen Punkt gehen, ob eine Gerade v. zu einer Ebene parallel liegt Fig. 55. und dergleichen mehr.

Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. Abstände und Winkel. Die Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die Parallele zu einer Tafel.

66. Die Grundlage unserer nächsten Entwickelungen bildet folgender Satz:

Ist ein Schenkel eines rechten Winkels zu einer Tafel parallel, so ist auch seine orthogonale Projektion auf dieselbe ein rechter Winkel. Sind nämlich g und h die Schenkel, und ist gTT und l das Lot aus dem Scheitel auf TT, so ist g Ll; da zugleich g Lh, so ist auch g Lhl und ebenso g_L hl, da g | g ist. Wenn aber g auf der Ebene hl senkrecht steht, ist sie zu jeder in der Ebene liegenden Geraden rechtwinklig, also auch zu der Geraden h = hl × TT. – Offenbar kann der Satz in der allgemeineren Form ausgesprochen werden. Zwei normal zu einander gerichtete (windschiefe oder sich schneidende) Gerade g und h haben zu einander rechtwinklige Projektionen, wenn eine von ihnen zu der betreffenden Projektionsebene parallel ist.

67. Hieraus folgt weiter: Steht eine Gerade g auf einer Ebene E senkrecht, so sind ihre Projektionen zu den gleichnamigen Spuren der Ebene rechtwinklig. Es ist nämlich g, wie zu allen Geraden der Ebene E, so insbesondere zu ihren Spuren e und e, normal, also nach dem vorigen Satze g Le und g_1. e2. 68. Die in einer Ebene E rechtwinklig zu ihren ersten (zweiten) Hauptlinien gezogenen Geraden werden als erste (zweite) Falllinien bezeichnet, insofern sie unter allen Geraden von E die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die bezügliche Tafel haben. Die eine Projektion einer Falllinie steht senkrecht auf der gleichnamigen Ebenen spur, was unmittelbar aus dem Satze in 66 folgt. Dies vorausgeschickt, können wir zur Besprechung der in der Überschrift dieses Abschnittes bezeichneten Fundamentalaufgaben und der zu ihrer Lösung erforderlichen besonderen Methoden übergehen. 69. Das aus einem Punkte P auf eine Ebene E gefällte Lot l wird nach 67 gefunden, indem man seine Projektionen l“ und “

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Fig. 56. - Fig. 57.

resp. durch P und P" und senkrecht zu e, und e, zieht. Sein Fußpunkt Q ergiebt sich als Schnittpunkt l × E nach dem früher (61) entwickelten Verfahren (Fig. 56). Ein anderer Weg zur Darstellung, auf dem man zugleich die Länge des Lotes oder Abstandes (P – E) erhält, findet sich in 75.

70. Die Normalebene N zu einer Geraden g durch einen Punkt P. Die Spurlinien m, und n, der gesuchten Ebene müssen rechtwinklig zu g und g“ liegen. Legt man also durch P eine erste Hauptlinie h unserer Ebene, so ist h' durch P senkrecht zu g und h“ durch P" parallel zur Achse zu ziehen. Durch den Spurpunkt H. von h geht dann die Spur m, und durch n, > r die Spur n (n2 L g“, n1 L g) (Fig. 57).

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71. Die wahre Länge einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke. Eine Strecke A B bildet mit ihrer ersten Projektion AB und den projizierenden Geraden ihrer Endpunkte ein ebenes, bei A und B rechtwinkliges Viereck A ABB. Dieses Trapez kann in der Grundrißebene verzeichnet werden, indem man (Fig. 58) in den Endpunkten von AB die Normalen AA und B B, errichtet und resp. gleich den ersten Tafelabständen der Punkte A und B, also gleich AA, resp. BB macht. Die vierte Seite A, B, giebt die wahre Länge der Strecke A B an. – Das Trapez 1 A, B, B stellt eine der beiden Lagen dar, die das Trapez AABB annehmen kann, wenn es durch Drehung um die

// Grundlinie A' B in die erste Tafel umgelegt wird. Das geschilderte Verfahren bezeichnet man daher als Umlegung der Strecke in eine Tafel um ihre bezügliche Pro

-– jektion. j N. 5a -c' 72. Wird von einem Endpunkte A

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D / der vorgelegten Strecke ein Lot AC z. auf BB gefällt, so entsteht das recht> winklige Dreieck ABC, dessen Hypote" nuse die zu bestimmende Strecke ist

> Q und dessen Katheten resp. parallel und

normal zum Grundriß sind (Fig. 58) (C“ = B, AC“ r). Die Kathete AC erscheint im Grundriß A'C' und die Kathete BC im Aufriß BC“ in wahrer Größe. Trägt man daher an den Grundriß AC die Strecke CBA = C"B“ unter rechtem Winkel an, so giebt A BA die Streckenlänge an. Das Dreieck A BAC stellt den Grundriß des durch Drehung um seine horizontale Kathete AC in horizontale Lage gebrachten Dreiecks ABC dar. Unser Verfahren ist also anzusehen als eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel und zwar um eine Gerade, die durch einen Endpunkt der Strecke zu ihrer bezw. Projektion parallel läuft.

73. Endlich kann man auch noch folgende dritte Methode in Anwendung bringen. Man trage (Fig. 59) an die Strecke BC“ im Aufriß als andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Strecke CAA = BA horizontal an und ziehe die Hypotenuse AA“ B“, welche die gesuchte Strecke darstellt. Das Dreieck AA“ BC kann als Aufriß des um seine vertikale Kathete BC zur Aufrißebene

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parallel gedrehten Dreiecks ABC angesehen werden. Bei dieser Drehung behalten die Punkte B und C ihre Lagen bei, während der Punkt A einen Kreisbogen AAA in horizontaler Ebene beschreibt. Der Grundriß AAA dieses Bogens ist also ein kongruenter Bogen und sein Aufriß AAA“ eine Parallele zur Achse. Nach der Drehung muß die Strecke zu TT, parallel sein, also BAA a. Dieses dritte Verfahren führt also eine Drehung der Strecke bis zum Parallelismus mit einer Tafel aus und zwar um das aus einem Endpunkt auf die andere Tafel gefällte Lot. – Bei jedem der drei Verfahren zur Strecken- v. bestimmung hat man die Wahl, ob man vom Grund- oder Aufriß, vom einen -/ Fig. 59. oder anderen Endpunkt ausgehen, sowie auch ob man die Drehung im einen oder anderen Sinne vornehmen will. 74. Die Teilung einer durch ihre Projektion gegebenen Strecke A B nach vorgeschriebenem Verhältnis erfolgt auf Grund des Satzes, daß sich parallele Strecken, also insbesondere die Teilstrecken einer Geraden, wie ihre Projektionen verhalten (vergl. 6 Ö). Man teilt demnach die Projektionen AB und A“ B“ in dem verlangten Verhältnis. Handelt es sich darum, auf A B eine Teilstrecke AC von gegebener Länge aufzutragen, so müssen nach einer der in 71–73 gegebenen Methoden die wahre Größe von AB gezeichnet, auf ihr die Strecke AC aufgetragen und durch Zurückdrehung die Projektionen gefunden werden. 75. Die Neigungswinkel y und 7, einer Geraden g gegen die Tafeln. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den spitzen Winkel, den sie mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene einschließt. Man erhält den Winkel y = Z G2G G, durch Umlegung der Winkelebene um ihre zweite Spur G„G, in die zweite

Fig. 60.

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