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und eg der Verbindungsebene E = gh dar. Auf dieselbe Weise

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kommt man zum Ziele, wenn E. unendlich fern liegt, also g und h

beide zur Achse parallel laufen. 56. Wird die Verbindungsebene E eines Punktes P und einer Geraden k gesucht, so wähle man auf keinen Hilfspunkt (9 nach Willkür, ziehe die Gerade i = PQ in beiden Projektionen und bestimme wie oben E = ik. * Insbesondere kann man die Hilfsgerade i durch P zu "k parallel annehmen. – Ist k eine unendlich ferne Gerade, d. h. die Stellung einer Ebene K, so ist die Aufgabe: Durch einen Punkt P eine Parallelebene E zu K zu legen. Die Spuren und also auch die Hauptlinien von E sind parallel zu den Spuren von K. Zieht man also l parallel zu k durch P und l“ parallel zu r durch P“, so ist l eine erste Hauptlinie von E (Fig. 44). Durch ihren zweiten Spurpunkt L2 geht dann e, parallel zu k, und durch E = e, × r geht e parallel k. 57. Ist die Verbindungsebene E dreier Punkte A, B, C durch ihre Projektionen A, B, C, A“, B“, C" gegeben (Fig. 45), so sind zugleich die Projektionen der drei auf E liegenden Geraden a = BC, b = CA, c = A B bekannt. Man kann ihre Spurpunkte aufsuchen und erhält die Spuren e und e, der gesuchten Ebene wiederum als deren Verbindungslinien (e, = A, B, C, e2 = A2B2C). Die Parallelebene E zu einer Geraden g durch eine

Fig. 44.

Fig. 45.

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Gerade h zu legen erscheint als ein spezieller Fall der voranstehenden Aufgabe, indem einer der drei Punkte ins Unendliche rückt. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt P auf h eine Parallele i zu g, wobei man der Einfachheit halber i mit g' zusammenfallen lassen kann (g' × h = P, P“ auf h“, “g“ durch P“). Die Spuren der Ebene E verbinden alsdann die gleichnamigen Spurpunkte der Geraden h und i; man hat also e = J H. und e2 = J„H, (Fig. 46).

Einen weiteren Spezialfall bildet die Aufgabe: Durch einen Punkt P eine Ebene E parallel zu zwei gegebenen Geraden g und h zu legen. Zieht man durch P die Parallelen i und k’ resp. zu g' und h', ebenso durch P“ die Parallelen i“ und k“

Fig. 46.

Fig. 47.

resp. zu g“ und h, so sind i und k zwei Gerade durch P und resp. zu g und h parallel, welche die gesuchte Ebene E bestimmen. Ihre Spuren sind e = J K und e, = J„K, (Fig, 47). 58. Die Schnittlinie g zweier Ebenen A und B. Man findet die Spurpunkte von g als Schnittpunkte der gleichnamigen Spurlinien der gegebenen Ebenen (Fig. 48a), nämlich G = a × b, G, = a, × b, weiter durch Lote auf die Achse G“ und G„, schließlich die Projektionen der Schnittlinie g' = G G„ und g“ = G “G, – Sind zwei gleichnamige Spuren der Ebenen, etwa a und b, parallel, so ist auch die Schnittlinie g zu ihnen parallel (Fig. 48b); daher ist g“ parallel zur Achse durch G2 = a, × b, und g parallel

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zu a, durch G„ zu ziehen. – Sind beide Ebenen, also auch ihre

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Spuren, sowie die Schnittlinie g zur Achse parallel, so schneide man sie mit einer beliebigen Hilfsebene E, die man etwa senkrecht zum Grundriß annehmen kann. Von den Schnittlinien h = A × E und i = B × E fallen die ersten Projektionen mit e zusammen (Fig. 48c); aus den zweiten Projektionen ergiebt sich der Aufriß ihres Schnittpunktes S = h × i und aus ihm der Grundriß auf e. Die Projektionen g und g“ der gesuchten Schnittgeraden sind nun durch S' resp. S“ parallel zur Achse zu ziehen. 59. Liegen die Spurpunkte G = a × b und G, = a2 × b, der Schnittlinie g = A × B außerhalb der Zeichnungsfläche (Fig. 49), so lege man eine Hilfsebene T parallel zu einer der gegebenen, etwa zu B, so daß ihre Spuren c und c, die von A in erreichbaren Punkten H und II, schneiden. Dann zeichne man die Schnittlinie h = A × T in Grund- und Aufriß und suche auf der Achse die Punkte 6, und G“, durch welche die Projektionen g und g“ resp. zu h und h' parallel zu ziehen sind. Zur Konstruktion von G„ und G“ dient aber die Bemerkung, daß A, C, H, H“, H, H. und A, B, G, G“, G2, G„“ entsprechende Punkte zweier ähnlicher und ähnlich liegender Figuren sind, folglich A ihr Ähnlichkeitscentrum ist. Zieht man daher durch A einen beliebigen Strahl r. welcher b2 und c, in B und C“ schneiden mag, so sind BG“ und BG, resp. zu CH“ und CH, parallel und demgemäß G, und G“ bestimmbar. 60. Schneiden sich die gegebenen Ebenen A und B in einem Punkte A der Achse (Fig. 50), so benutzt man am einfachsten eine senkrecht zum Grundriß (oder Aufriß) gestellte Hilfsebene T. Zuerst sucht man ihre Schnittlinien h und i mit A und B (h= .. = c), dann ist S = h × i ein Punkt der Schnittgeraden g. Demnach verbindet g“ den Punkt A mit S“ = h“ × i“ und g' den Punkt A mit S (S auf c). Aus dem folgenden (62) ergiebt sich eine einfache Konstruktion der Schnittlinie g zweier Ebenen A und B, wenn diese je durch ein Dreieck oder – was wesentlich auf dasselbe hinauskommt – durch je zwei Gerade gegeben sind. 61. Der Schnittpunkt P einer Ebene E und einer Gera den k. Um P = E × k zu be

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stimmen, lege man eine beliebige Hilfsebene K durch k, zeichne die Schnittlinie i= K × E, dann ist P = k × i. Insbesondere kann man die Ebene K senkrecht zum Grundriß wählen, so daß ihre erste Spur mit k zusammenfällt und ihre zweite Spur senkrecht zur Achse wird (Fig. 51); dann ist P = “X k“ und P liegt senkrecht darunter auf k“ = i. Ist die Ebene E durch ein Dreieck A BC mit den / Fig. 51. Seiten A B= c, BC = CI, CA = b gegeben, so denke man sich wiederum durch k eine vertikale Hilfsebene gelegt, welche die Dreiecksebene in einer Geraden i schneidet, diese trifft dann die Gerade k in dem gesuchten Punkte P = k × i (Fig. 52). Die Gerade i, deren Grundriß i sich mit k deckt, mag die Seiten a und b in Q und R schneiden, also Q= a × und R = b’ × i, ferner (9“ auf a und R“ auf b“. Hiermit ist “= (9“R“ und auch P = “X k“ gefunden, der zugehörige Grundriß P liegt senkrecht darunter auf k. – Die gleiche Konstruktion führt auch zum Ziel, wenn die Ebene E durch zwei parallele Gerade bestimmt ist. 62. Auf Grund des soeben erklärten Verfahrens wird auch die Schnittlinie g der Ebenen zweier gegebener Dreiecke ABC und DEF gefunden. Man suche nämlich ganz wie vorher die Schnittpunkte P und Q der Seiten d = EF und e =DF des zweiten Dreiecks mit der Fläche des ersten Dreiecks, dann ist g= P“ Q“ und g= PQ (Fig. 53). – Zur Darstellung des Schnittpunktes dreier Ebenen, P = A × B × T, konstruiere man zuerst die Schnittlinien g = A × B und h = B × T zweier Ebenenpaare und aus diesen den gemeinsamen Punkt P=g × h nach einer der angeführten Methoden.

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