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und e2 der Verbindungsebene Egh dar. Auf dieselbe Weise kommt man zum Ziele, wenn E unendlich fern liegt, also g und h beide zur Achse parallel laufen.

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56. Wird die Verbindungsebene E eines Punktes P und einer Geraden k gesucht, so wähle man auf k einen Hilfspunkt Q nach Willkür, ziehe

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Gerade h zu legen erscheint als ein spezieller Fall der voranstehenden Aufgabe, indem einer der drei Punkte ins Unendliche rückt. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt P auf h eine Parallele i zu g, wobei man der Einfachheit halber mit g' zusammenfallen lassen

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einen Punkt P eine Ebene E parallel zu zwei gegebenen Geraden g und h zu legen. Zieht man durch P' die Parallelen i' und k' resp. zu g' und h', ebenso durch P" die Parallelen " und k"

ի

Fig. 47.

resp. zu g" und h", so sind i und k zwei Gerade durch P und resp. zu g und h parallel, welche die gesuchte Ebene E bestimmen. Ihre Spuren sind e1 = JK, und e2 = J2K2 (Fig. 47).

58. Die Schnittlinie g zweier Ebenen A und B. Man findet die Spurpunkte von g als Schnittpunkte der gleichnamigen

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1

=

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Spurlinien der gegebenen Ebenen (Fig. 48a), nämlich G1 = a, × b1, Gab2, weiter durch Lote auf die Achse G," und G, schließlich die Projektionen der Schnittlinie g' G, G, und g" G," G2 Sind zwei gleichnamige Spuren der Ebenen, etwa a, und b1, parallel, so ist auch die Schnittlinie g zu ihnen parallel (Fig. 48 b); daher ist g" parallel zur Achse durch G, a × b, und g' parallel zu a, durch G2 zu ziehen. Sind beide Ebenen, also auch ihre

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G2

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Fig. 48.

-b2

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a

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Spuren, sowie die Schnittlinie g zur Achse parallel, so schneide man sie mit einer beliebigen Hilfsebene E, die man etwa senkrecht zum Grundriß annehmen kann. Von den Schnittlinien h = A × E und i BXE fallen die ersten Projektionen mit e, zusammen (Fig. 48c); aus den zweiten Projektionen ergiebt sich der Aufriß ihres Schnittpunktes Shi und aus ihm der Grundriß auf e,. Die Projektionen g' und g' der gesuchten Schnittgeraden sind nun durch S' resp. S" parallel zur Achse zu ziehen.

59. Liegen die Spurpunkte G1 = a1 × b1 und G2 = a2 × b2 der Schnittlinie g = A X B außerhalb der Zeichnungsfläche (Fig. 49), so lege man eine Hilfsebene parallel zu einer der gegebenen, etwa zu B, so daß ihre Spuren c, und c, die von A in erreichbaren Punkten H1 und H2 schneiden. Dann zeichne man die Schnittlinie h - AX in Grund- und Aufriß und suche auf der Achse die Punkte G, und G", durch welche die Projektionen g′ und g′′

=

C2

resp. zu hund h" parallel zu ziehen sind. Zur Konstruktion von G, und G1" dient aber die Bemerkung, daß A, C, H1, H1", H2, H, und A, B, G1, G1′′, G2, G2' entsprechende

Punkte

zweier ähnlicher und ähnlich liegender Figuren sind, folglich ihr Ähnlichkeitscentrum ist. Zieht man daher durch A einen beliebigen Strahl r. welcher b2 und c2 in B' und C' schneiden mag, so sind BG," und B' G2' resp. zu CH," und C'H parallel und demgemäß G2 und G1" bestimmbar.

60. Schneiden sich die gegebenen Ebenen A und B in einem Punkte A der Achse (Fig. 50), so benutzt man am einfachsten eine senkrecht zum Grundriß (oder Aufriß) gestellte Hilfsebener. Zuerst sucht man ihre Schnittlinien h

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G2

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stimmen, lege man eine beliebige Hilfsebene K durch k, zeichne die Schnittlinie i KX E, dann ist Pk xi. Insbesondere kann man

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wiederum durch keine vertikale Hilfsebene gelegt, welche die Dreiecksebene in einer Geraden i schneidet, diese trifft dann die Gerade k in dem gesuchten Punkte Pkxi (Fig. 52). Die Gerade i, deren Grundriß sich mit k' deckt, mag die Seiten a und b in Q und R schneiden, also Q = a × ï

ск

Fig. 52.

d

=

=

und R'b'xi, ferner Q" auf a"
und R" auf b". Hiermit ist "Q"R"
und auch Pixk' gefunden,
der zugehörige Grundriß P' liegt
senkrecht darunter auf k.
Die gleiche Konstruktion führt
auch zum Ziel, wenn die Ebene E
durch zwei parallele Gerade be-
stimmt ist.

62. Auf Grund des soeben erklärten Verfahrens wird auch die Schnittlinie ༡ der Ebenen zweier gegebener Dreiecke ABC und DEF gefunden. Man suche nämlich ganz wie vorher die Schnittpunkte P und Q der Seiten EF und e= DF des zweiten Dreiecks mit der Fläche des ersten Dreiecks, dann ist g′′ = P′′ Q" und g' P'Q' (Fig. 53). Zur Darstellung des Schnittpunktes dreier Ebenen, PAX BX г, konstruiere man zuerst die Schnittlinien g = A X B und h = BX zweier Ebenenpaare und aus diesen den gemeinsamen Punkt P=gh nach einer der angeführten Methoden.

=

=

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