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Im besonderen können sich zwei gleichnamige Projektionen paralleler Geraden auf Punkte reduzieren.

Fig. 36. - Fig. 37.

Liegen zwei Gerade g und h in einer Ebene E, so sind ihre Spuren e und e, die Verbindungslinien GH und G2 II, der gleichnamigen Spurpunkte der Geraden, und

folglich müssen diese sich in ( einem Punkte E. der Achse schneiden (Fig. 36 und 37), oder ihr beide parallel sein „T"

(Fig. 38). Aus der Umkehrung der letzten Sätze folgt: 48. Liegen die Schnittpunkte der gleichnamigen Projektionen zweier Geraden auf einer Senkrechten zur Fig. 38. Achse, so schneiden sich die Geraden; sind die gleichnamigen Projektionen parallel, so sind es auch die Geraden selbst. Zwei Gerade, deren

e

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Projektionen keine dieser beiden Voraussetzungen erfüllen, sind windschief (haben keinen Punkt gemein). Schneiden sich die Verbindungslinien der gleichnamigen Spurpunkte zweier Geraden in einem Punkte der Achse, oder sind sie beide zur Achse parallel, so liegen die Geraden in einer Ebene. Zwei Gerade, deren Spurpunkte keiner dieser beiden Bedingungen genügen, sind windschief (haben keine Verbindungsebene). Die beiden letzten Kriterien sind einander äquivalent, insofern je zwei sich schneidende oder parallele Gerade eine Ebene bestimmen, resp. je zwei in einer Ebene liegende Gerade einen erreichbaren oder unendlich fernen Punkt gemein haben. 49. Es giebt einige besondere Lagen der beiden betrachteten Geraden gegen das Tafelsystem, bei denen die Voraussetzungen des einen oder anderen der Sätze in 48 für die ersten und zweiten Projektionen oder Spurpunkte an sich erfüllt sind, ohne daß daraus die Existenz eines Schnittpunktes und einer Verbindungsebene geschlossen, bezw. diese selbst nach einem der vorausgehenden Sätze direkt gezeichnet werden könnten. Hierzu kommt, daß gegebenen Falles die Schnitt- und Spurpunkte zum Teil außerhalb der Zeichnungsfläche fallen können, so daß keines der beiden Kriterien in 48 direkt anwendbar ist. In allen diesen Fällen bedarf es geeigneter Hilfskonstruktionen. 50. Liegt eine der Geraden, etwa g, in einer Normalebene N zur Achse, so wird sie von der anderen h getroffen, wenn der Schnittpunkt S = h × N auf g, also S“ aufg“ liegt (Fig. 39);

oder – falls ihre Spurpunkte gegeben sind – wenn sich

G H und G„H, auf der Achse r schneiden; andernfalls sind g und h windschief. Ist der Schnittpunkt auf der Achse r nicht erreichbar, wie in der Figur, so wird man den Seitenriß zu Hilfe nehmen. – Liegen beide Gerade in derselben Normalebene zur Achse, so schneiden sie sich oder sind parallel, je nachdem dies bei ihren dritten Projektionen g“ und h“ der Fall ist. – Schneidet g die Achse in G, so verbinde man einen beliebigen Punkt P auf g mit einem Punkte Q auf h durch eine Gerade i und suche ihre Spurpunkte, sowie die Spurlinien der Ebene E = hi. Fällt der Achsenschnittpunkt E=e, ×e, der letzteren mit G zusammen, so geht sie zugleich durch g (Fig. 40); andernfalls giebt es keine gemeinsame Ebene durch g und h. – Eine die beiden gegebenen Geraden g und h schneidende Hilfsgerade i wird auch in dem Falle benutzt, wenn g und h die Achse in getrennten Punkten schneiden. Sollen beide in einer Ebene E liegen, so muß auch i die Achse treffen; ihre Seitenspur e, deckt sich dann mit den zusammenfallenden Seitenrissen g” und h“. Im Interesse der Genauigkeit der Zeichnung werden die hier besprochenen Konstruktionen auch öfters verwendet, wo es theoretisch nicht nötig wäre. Ist z. B. die Gerade h beliebig, liegen aber die Spurpunkte von g nahe bei der Achse, so können die beiden Geraden windschief sein und gleichwohl können die Geraden G H und G„H, die Achse in so benachbarten Punkten schneiden, daß man sie in der Zeichnung nicht mit Sicherheit als getrennt bestimmen kann. 51. Parallele Ebenen haben in jeder Tafel parallele Spurlinien. Umgekehrt folgt aus dem Parallelismus der gleichnamigen Spuren zweier Ebenen, daß diese selbst parallel sind. Hierbei genügt es im allgemeinen die ersten und zweiten Spuren zu betrachten; nur wenn diese sämtlich zur Achse parallel laufen, sind noch die Spuren in irgend einer Hilfsebene, z. B. der Seitenrißebene, als unter sich parallel festzustellen.

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Fig. 40.

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52. Die in einer Ebene E parallel zur ersten oder zweiten Tafel, folglich auch parallel zu den gleichnamigen Spuren gezogenen Geraden heißen erste oder zweite Hauptlinien (Streichlinien) von E. Die eine Projektion einer Hauptlinie ist parallel zur gleichnamigen Spur (und zu ihr selbst), die andere zur Achse. Die Hauptlinien vertreten oft bei Konstruktionen die Spuren; letztere sind Hauptlinien von spezieller Lage. 53. Wie zu einer Projektion eines auf gegebener Geraden 7 gelegenen Punktes die andere Projektion, oder zu einer Spur einer durch g gehenden Ebene E die andere Spur gefunden wird, ist aus dem Vorhergehenden unmittelbar zu entnehmen. Die Aufgaben: Aus einer Projektion eines Punktes P und den beiden Spuren einer ihn «? enthalten den Ebene E die andere Projektion, sowie aus einer Spur von E und beiden Projektionen des auf ihr liegenden Punktes P die andere Spur zu finden, werden auf folgende Art gelöst. Man ziehe (Fig. 41) durch P' eine Gerade h parallel zu ei; diese stellt den Grundriß einer ersten Fig. 41. Hauptlinie von E dar, deren Aufriß h“ parallel zur Achse durch den Spurpunkt H, auf e, geht (H. =h × r, H„H, L r); P“ liegt dann auf h'. – Im anderen Falle sei neben P und P“ die Spur e gegeben. Man lege auch hier eine erste Hauptlinie h durch P, ziehe also h durch P parallel zu e und h“ durch P" parallel zu r; dann liegt H, senkrecht über hx r und die gesuchte Spur e, verbindet H. und E. – Statt der Hauptlinie h kann man in beiden Fällen auch eine beliebige in E durch P gezogene Gerade benutzen. Zieht man z. B. i durch P parallel r, so ist J = - >< er der erste Spurpunkt einer in E liegenden Geraden i. Der zu J, gehörige Aufriß liegt auf der Achse, durch diesen zieht man '' und zwar im ersten Falle parallel zu e, und im zweiten durch P, woraus sich dann entweder P oder e2 ergiebt. Auf Grund der angeführten Sätze können eine Reihe von Fundamentalaufgaben gelöst werden, welche sich darauf beziehen, Punkte, Gerade und Ebenen, durch ihre Projektionen, resp. Spuren darzustellen, wenn dieselben ursprünglich auf andere Weise definiert sind. 54. Die Verbindungslinie g zweier Punkte P und Q. Sind P und Q endliche Punkte, so hat man nur g' = PQ und g“ = P"Q“ zu ziehen. – Liegt einer der Punkte, etwa Q, unendlich fern, d. h. bildet er die Richtung einer gegebenen Geraden q, so lautet die Aufgabe: Eine Gerade g parallel zu einer Geraden q durch einen Punkt P zu legen. Hier zieht man g' parallel zu q durch P und g“ parallel q“ durch P“. 55. Die Verbindungsebene E zweier sich schneidender oder paralleler Geraden g und h. Aus den Projektionen von g

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Fig. 42. Fig. 43.

und h findet man zuerst deren Spurpunkte G, G2, H, H., hierauf die Spuren der Verbindungsebene E = gh als e = G H und e, = G„H, (Fig, 36, 37 u. 38). – Liegen die Spurpunkte teilweise oder sämtlich außerhalb der Zeichnungsfläche, so benutzt man zwei Hilfsgeraden i und k (Fig. 42), welche g und h gleichzeitig schneiden, bestimmt deren Spurpunkte J, J, K, K, und erhält hierauf die Spuren der Verbindungsebene E=gh=ik als e = K und e2= JÄg Eventuell genügt schon eine Hilfsgerade i. – Ahnlich kann man verfahren, wenn sich die gegebenen Geraden auf der Achse in E schneiden. Man zieht eine beide Gerade schneidende Hilfsgerade i in beiden Projektionen und verbindet ihre Spurpunkte J und J2 mit E. (Fig. 43). Diese Verbindungslinien stellen die Spuren e

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