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Indessen entbehrte bis dahin das Darstellungsverfahren noch einer einheitlichen theoretischen Grundlage, die ihm erst von G. Monge gegeben wurde (Géometrie descriptive, Paris 1798; 6. Aufl. v. M. Brisson mit Zusätzen: théorie des ombres et de la perspective, Paris 1838; deutsch v. R. Haussner, Leipzig 1900). Monge gab den beiden Projektionstafeln eine bestimmte Verbindung untereinander, indem er ihre Schnittlinie (oder Achse) fixierte und um sie die eine Tafel in die andere umlegte; er bestimmte die Punkte, Gerade, Ebenen eindeutig durch ihre Projektionen, bezw. Spuren, stellte ebenso krumme Linien und Flächen dar (letztere mit Hilfe ihrer Erzeugenden) und löste zahlreiche Aufgaben, die zuvor nur analytisch behandelt worden waren, durch die Konstruktion. Insofern Monge nicht nur die Ziele und Aufgaben der darstellenden Geometrie klar zu definieren vermochte, sondern auch ihre Hauptmethode systematisch und vollständig entwickelte, gilt er mit Recht als ihr wissenschaftlicher Begründer.

Die Lehren der deskriptiven Geometrie verbreiteten sich rasch, wozu ihre vielseitige Anwendbarkeit in den technischen Wissenschaften nicht wenig beitrug, und wurden durch die Untersuchungen zahlreicher neuerer Autoren erweitert und vertieft. Es mögen hier nur einige umfassendere Werke genannt werden:

C. F. A. Leroy, Traité de géom. descr., Paris 1842; Traité de stéréo-
tomie, Paris 1844; deutsch v. Kauffmann, Stuttgart.
G. Bellavitis, Lezioni di geometria descrittiva, Padua 1851, 2. Aufl. 1868.
J. de la Gournerie, Traité de géom. descr., Paris 1860, 2. Aufl. 1873.
K. Pohlke, Darstell. Geom., I. Berlin 1860, 4. Aufl. 1876; II. 1876.
W. Fiedler, Die darstell. Geom., Leipzig 1871; 3. Aufl. u. d. T. Die dar-
stell. Geom. in organ. Verbindung mit d. Geom. d. Lage, 3 Tle, Leipzig
1883–88.
A. Mannheim, Cours de géom. descr., Paris 1880.
G. A. v. Peschka, Darstell. u. proj. Geom., 4 Tle., Wien 1883–85.
Chr. Wiener, Lehrb. d. darstell. Geom, Leipzig, I. 1884, II. isst.

Die neue Disziplin übte alsbald nach ihrem Auftauchen einen befruchtenden Einfluß in anderen Zweigen der geometrischen Wissenschaft aus; so namentlich in der neueren synthetischen Geometrie. Indem diese das gesetzmäßige Aneinanderreihen der Elemente, das Projizieren und Schneiden als Erzeugungs- und Transformationsprinzip aufnahm, erstand in der (reinen) Geometrie der Lage und in der (die Mittel der Analysis nicht ausschließenden) projektiven Geometrie die synthetische Raumlehre der Mathematiker des Altertums in vollkommenerer Form zu frischem Leben. Wir nennen einige Hauptwerke dieser Richtung:

L. N. M. Carnot, Géom. de position, Paris 1801; deutsch v. Schuh-
macher, Altona 1808–10.
Ch. J. Brianchon, Mém. sur les lignes du 2ème ordre, Paris 1817.
J. V. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822.
A. F. Möbius, Der barycentr. Calcul, Leipzig 1827.

! Die älteren Schriften von S. F. Lacroix, M. Hachette, G. Schreiber, B. Gugler, Th. Olivier u. a. sind hier nicht mit aufgeführt. Ebenso wurde von Monographien abgesehen, die zum Teil weiterhin noch zu citieren sein werden.

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J. Steiner, Systemat. Entwickelung d. Abhängigkeit geometrischer Gestalten, Berlin 1832; Die geom. Konstruktionen ausgeführt mittels der geraden Linie u. eines festen Kreises, Berlin 1833; Ges. Werke, herausg. v. Weierstraß, Berlin 1882.

M. Chasles, Mém. de géom. sur deux principes généraux, la dualité et l'homographie, Paris 1837; Traité de géom. supérieure, Paris 1852.

G. K. Chr. v. Staudt, Geom. d. Lage, Nürnberg 1847; Beiträge z. Geom. d. Lage, Nürnberg 1856.

Th. Reye, Die Geom. d. Lage, Leipzig 1866–67; 3. Aufl. 1886–92.

L. Cremona, Elementi di geometria projettiva, Turin 1873; deutsch v.
Trautvetter, Stuttgart 1882.

Die von den neueren Autoren hergestellte enge Verbindung zwischen der darstellenden und projektiven Geometrie brachte es naturgemäß mit sich, daß die Centralprojektion als allgemeinstes Verfahren zum Ausgangspunkt für

die Entwickelung der deskriptiven Methoden erhoben wurde. Dies betont

namentlich W. Fiedler (Darst. Geom. 3. Aufl. I, p. 357). Wenn wir im vorliegenden Lehrbuche uns mehr dem ursprünglichen Gedankengange Monge's angeschlossen und die Parallelprojektion (speziell das Grund- und Aufrißverfahren) in den Vordergrund gestellt haben, so erklärt sich dies aus den damit verbundenen didaktischen Vorteilen und aus der überwiegenden Bedeutung, welche die Methode Monge's vor anderen in den technischen Anwendungen erlangt hat.

III. Kapitel.

*) Die Aufgaben über die körperliche Ecke wurden von Monge nur gestreift (Géom. descr. 1798, p. 28); ihre konstruktive Lösung findet sich aber vollständig – und zwar auch unter Verwendung des supplementären oder Polardreikantes – bei M. Hachette (Traité de géom. descr., Paris 1822, p. 122 ff.). G. Bellavitis verband mit der Konstruktion die Ableitung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie (Lez. d. geom. descr. Padua 1851, p. 43 ff.). Man vergl. über diesen Gegenstand: F. Hemming (Zeitschr. f. Math. u. Phys. XVII. 1872, p. 159).

Die Relation zwischen den Anzahlen der Ecken, Flächen und Kanten eines (einfach zusammenhängenden) Polyéders wurde von L. Euler 1752 (Nov. Comm. Petrop. IV, p. 109 u. 156) gegeben.

*) L. Poinsot (Mém. sur les polygones et les polyèdres, Journ. de l'école polyt. 1810, cah. X, p. 16) untersuchte eingehend die Polyéder zweiter Art. Vergl. V. Eberhard (Zur Morphologie der Polyêder, Leipzig 1891).

IV. Kapitel.

*) Die im Altertum nur zu einem kleinen Teile bekannten Regeln der Centralprojektion (Perspektive) wurden im Zeitalter der Renaissance Gegenstand lebhaften Interesses. Mathematisch wurden sie zuerst von G. Ubaldo (Perspectivae libri sex, Pisauri 1600) und S. Stevin (Oeuvres math., 1605–1608, V, 1. Ausg. v. Girard, Leyden 1634, p. 521 ff.) behandelt.

Die „perspektive“ Raumauffassung, nach der man einer Geraden nur einen unendlich fernen Punkt, einer Ebene eine unendlich ferne Gerade zuschreibt, hat schon G. Desargues (Oeuvres p. Poudra, I, p. 103 ff.). Der Satz

R der perspektiven Lage zweier Dreiecke, deren homologe Seiten sich auf einer Geraden schneiden (woraus der Satz in 162 folgt) rührt ebenfalls von Desargues her (a. a. O. p. 413). Weitere Fortschritte in der Darstellung durch Centralprojektion verdankt man W. J. van s' Gravesande (Essai de perspective, Haag 1711), Brook Taylor (New principles of linear perspective, London 1719), F. H. Lambert (Freie Persp., Zürich I. 1759, II. 1774) und später B. E. Cousinery (Géom. persp. ou principes de proj. polaire etc., Paris 1828). Die Untersuchungen dieser Autoren richteten sich auf die Enwickelung der graphischen Methoden, beschränkten sich indessen nicht auf die Abbildung der ebenen Figuren, sondern behandelten auch körperliche Gebilde. Aber auch von den Gesichtspunkten der reinen synthetischen und der analytischen Geometrie aus betrachtet gewannen die aus der Centralprojektion entspringenden Beziehungeu zwischen den Raumformen ein allgemeineres Interesse und forderten zu ihrer Untersuchung heraus. Wir erwähnen J. V. Poncelet, der auf sie die Ausdrücke: „figures homologiques, centre, axe d'homologie“ anwandte (Propr. proj. 297, p. 159). A. F. Möbius definiert seine „kollinearverwandten“ Figuren durch die Bedingung, daß den Punkten einer geraden Linie in der ersten stets die Punkte einer geraden Linie in der andern Figur entsprechen (Baryc. Calcnl, VII, p. 301); er hebt hervor, daß die Projektionen ebener Figuren auf eine zweite Ebene zur Kollinearverwandtschaft führen (p. 321, Anm.), und beweist, daß sich je zwei kollineare ebene Figuren auf unendlich viele Arten in centrale Lage bringen lassen, wenn man zwei entsprechende Vierecke derselben kennt (p. 327). Von L. J. Magnus (Aufg. u. Lehrsätze a. d. analyt. Geom., Berlin 1833) rühren die heute gebräuchlichen Namen: „Kollineation, kollinear, Kollineationsachse, etc.“ her (a. a. O. p. 31, 43, 44). Bei M. Chasles tritt die Kollineation in dem „principe d'homographie“ (Aperçu histor., p. 261) als wichtigstes Mittel zur Generalisierung der Eigenschaften der Raumformen auf Die Abschnitte: Perspektive Grund gebilde (p. 144 ff), Harmonische Grund gebilde, Vier seit und Viereck (p. 156 ff) behandeln in der für unsere Zwecke geeigneten Form die Grundbegriffe der Geometrie der Lage. Näheres hierüber findet man in den obengenannten Werken von Steiner, von Staudt u. a. *) Präzise Festsetzungen, nach denen die Messung von Strecken und Winkeln eindeutig ausgeführt werden kann, verdankt man im Wesentlichen Möbius, ebenso die Einführung des Begriffes: Doppelverhältnis („Doppelschnittsverhältnis“, Baryc. Calcul., p. 244 ff.). Vergl. Chasles (Ap. hist., Note IX, p. 302). – Der Begriff der harmonischen Teilung ist alt; vergl. Pappus (Collect. Math. VII, 145). Harmonische Strahlen kommen als „harmonicales“ bei Ph. de La Hire (Sect. con., Paris 1685), als „faisceau harmonique“ bei Brianchon (Mém. s. l. lignes du 2“ ordre, Paris 1817) vor. ") Der Name „Involution“ führt auf Desargues zurück (Traité des coniques, Oeuvres p. Poudra, I, p. 171). Vergl. Chasles (Ap. hist., Note X, p. 308, v. Staudt (Geom. d. Lage, p. 118).

V. Kapitel.

*) Die Kegelschnitte sind von den Geometern des Altertums zunächst als Schnitte des geraden Kreiskegels definiert und untersucht worden. Apollonius von Pergae (ca. 220 v. Chr.) erkannte diese Kurven als ebene Schnitte

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eines beliebigen schiefen Kreiskegels (Conicorum l. I). Die Theorie der Kegelschnitte hat eine so ausgebreitete litterarische Bearbeitung erfahren, daß wir es uns hier versagen müssen, näher darauf einzugehen. Zum Studium sind J. Steiner's Vorlesungen über synthetische Geometrie zu empfehlen (I. Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung, bearb. v. C. F. Geiser, II. Die Theorie der Kegelschnitte, gestützt auf projektivische Eigenschaften, bearb. v. H. Schröter, Leipzig 1867); ferner: M. Chasles (Traité des sections coniques, Paris 1865), u. s. f. – *) Der Satz von Bl. Pascal über das „hexagrammum mysticum“ findet sich in seinem Essai pour les coniques, 1640(Oeuvres p. Bossut, Paris 1779, 2. Aufl. 1819). Dieser Satz bildet mit seinen zahlreichen Folgerungen die Grundlage der Theorie der Pole und Polaren eines Kegelschnittes. ”) Ch. J. Brianchon (Journ. de l'école polyt. cah. XIII, 1806, p. 301). Der Satz von Brianchon steht dem Pascal'schen Satze dual gegenüber. Über die Begründung des Prinzips der Dualität sehe man Chasles (Ap. hist, Note XXXIV, p. 408). *) Die hauptsächlichen Fokaleigenschaften der Kegelschnitte waren schon im Altertum bekannt; vergl. Apollonius (Conic. l. III, 45 ff.). *) Die Konstruktion der Krümmungskreise bei den Kegelschnitten ist von W. Fiedler aus der Centralkollineation hergeleitet worden (Darst. Geom. 3. Aufl. I, p. 188 ff.). Elegante Konstruktionen gab C. Pelz an (Die Krümmungshalbmesserkonstruktionen der Kegelschnitte als Korollarien eines Steiner'schen Satzes, Sitz.-Ber. d. k. böhm. Ges. d. W., 1879). Die im Texte gegebene noch einfachere Darstellung ist neu; vergl. K. Rohn (Konstruktion des Krümmungsradius bei einem Kegelschnitt durch fünf Punkte, Ber. d. Math.-phys. Kl. d. K. S. Ges. d. W., Leipzig 1900).

VI. Kapitel.

*) Die einfachen Singularitäten der ebenen Kurven wurden zuerst von Euler analytisch untersucht (Introd. in. Anal. inf, 1748, II.), synthetisch findet man sie bei von Staudt (Geom. d. Lage, 1847, p. 110 ff) behandelt. *) Diese Tangenten konstruktionen bei ebenen Kurven beruhen auf einer Idee von G. Persone gen. Roberval (1602–1673), die sich in einer nachgelassenen Abhandlung dargelegt findet (Sur la composition des mouvements etc., Anc. Mém. de l'Ac. d. Sc. VI, Paris 1730). *) Zur Theorie der Krümmung der ebenen Kurven machte Chr. Huygens in der Untersuchung: De evolutione et dimensione linearum curvarum (Horologium oscillatorium, Paris 1673, III. Kap.) den Anfang. Die beiden Begründer der Infinitesimalrechnung G. W. Leibniz (s. Acta Erudit., Leipzig 1686 u. 1692) und J. Newton (s. Principia phil. nat. math., 1687, The Method of Fluxions etc., London 1736, probl. V., VI., p. 59 ff.) fügten weitere wesentliche Sätze hinzu. *) Die Relation zwischen dem Krümmungsradius einer Kurve und dem ihres Bildes leitete für Centralprojektion zuerst L. Geisenheimer ab (Zeitschr. f. Math. u. Phys. XXV, 1880); für Orthogonalprojektion gab schon G. Bellavitis (Geom. descitt., 1851, 338, p. 188) das Verhältnis an. ") Chr. Wiener, Über die möglichst genaue Rektifikation eines verzeichneten Kurvenbogens, bestimmt auf Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Zeitschr. f. Math. u. Phys. XVI, 1871).

ROHN u. PAPPERiTz. I. 2. Aufl. 27

*) Die Entstehung der gewöhnlichen Singularitäten der Raum kurven ist von Chr. Wiener (Zeitschr. f. Math. u. Phys. XXV, 1880) besprochen und durch Modelle (1879) erläutert worden. Man vergl. von Staudt (Geom. d. Lage, 1847, p. 110 ff.).

VII. Kapitel.

*) Bezüglich der Darstellung der Durchdringungskurve zweier Kegel (oder anderer Flächen 2. Grades) vergl. man Monge (Géom. descr, 1798, III. p. 59 ff.) und Hachette (Géom. descr., 1822, IV. p. 85 ff). Wichtige allgemeine Eigenschaften dieser Raumkurven 4. Ordnung 1. Species, z. B. die Existenz der vier sie enthaltenden Kegel 2. Ordnung, gab zuerst Poncelet an (Propr. proj., 1822, p. 392 ff.). Man lese: H. Schröter (Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der Raumkurven 4. Ordnung 1. Species, Leipzig 1890). ”) Einige Eigenschaften der Raumkurven 3. Ordnung erwähnt Möbius (Bar. Calcul, 1827, p. 118 ff.). Eine eingehendere Untersuchung lieferte Chas les (Comptes rendus, XL, 1857, p. 189 ff.). – Zum Studium dieser Kurven sind zu empfehlen: von Staudt (Beiträge z. Geom. d. Lage, 1860, § 33, p. 298), Reye (Geom. d. Lage, 3. Aufl. 1892, II. Abt., p. 188 ff. Im Vorwort z. 1. Aufl. d. II. Abt. findet man die Litteratur über die Raumkurven 3. Ordnung zusammengestellt); ferner H. Schröter (Theorie der Oberflächen 2. Ordnung u. d. Raumkurven 3. Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde, Leipzig 1880). *) N. v. Fuss (Problematum quorundam sphaericorum solutio; De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae. Nov. Acta Petrop. II, III, 1788) definierte die sphärische Ellipse durch die Bedingung, daß die Summe der sphärischen Abstände jedes ihrer Punkte von zwei festen Punkten denselben Wert hat, und erkannte sie als Schnitt der Kugel mit einem koncentrischen Kegel 2. Ordnung. L. J. Magnus wurde in seiner Untersuchung (s. Ann. d. Mathém. XVI, 1826) auf den Satz geführt, daß die Hauptkreise, welche einen Kurvenpunkt mit den Brennpunkten verbinden, gleiche Winkel mit der sphärischen Tangente bilden. J. Steiner (Verwandlung und Teilung sphärischer Figuren durch Konstruktion, Crelle's Journ. II, 1827, p. 45) stellte die sphärische Ellipse als Hüllkurve dar. Dieselben Figuren behandelte Chas les (Mém. sur les propr. gen. des coniques sphériques, 1831), sowie Chr. Gudermann, Grundriß der analytischen Sphärik, Cöln 1830). * Die stereographische Projektion ist von Hipparch (ca. 160 v. Chr.) erfunden und von Ptolemaeus (ca. 140 n. Chr.) zur Abbildung der scheinbaren Himmelskugel im „Planisphaerium“ benutzt worden; ihren Namen hat sie von Fr. Aguillon (Opticorum lib. VI, Antwerpen 1613, p. 498) erhalten. Näheres über dieses Abbildungsverfahren findet man bei E. Reusch (Die stereographische Projektion, Leipzig 1881) und über seine Verwendung in der Kartographie bei H. Gretschel (Lehrbuch d. Kartenprojektion, Weimar 1873).

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