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und co, indem man zu S den affinen Punkt und die Berührungspunkte Jo, Ko der von ihm an co gelegten Tangenten sucht. Die Affinität zwischen c' und co ergiebt dann auch die Punkte J und K“ auf c' und so die Mantellinien SJ und SK, die die Grenze zwischen Licht und Schatten auf dem Kegel bilden (J'K, J„Ko und J. K. gehen durch den nämlichen Punkt von e).

Auf der Kugelschale ist die Grenze zwischen Licht und Schatten ein Halbkreis i, dessen Projektionen i' und i“ und dessen Schatten i, sich wie in 468 finden. Der Schatten des halben Schalenrandes in das Innere der Schale ist nach 251 ein Halbkreis, EF ist ein Durchmesser desselben und der Schatten des Randpunktes G auf die Schale ist der Endpunkt des dazu senkrechten Durchmessers (EF" L l“). Der Rand k wirft demnach in die Schale den Schatten k“ und auf TT, den Schatten k.

Es fehlt nun noch der Schatten der Kurven i und k auf den Kegel. Die Mantellinie SP wirft den Schatten SP, dieser schneidet k, in Q. und es empfängt daher SP Schatten von dem Rande k im Punkte Q* (PP. Q“Q. l). – Wendet man das Verfahren speziell auf die Umrißlinien des Kegels an, so erhält man die Berührungspunkte der Projektion der Schlagschattenkurve mit dem scheinbaren Umriß. Die Endpunkte R und N der Schlagschattenkurve auf dem Kegel liegen auf SK, der Grenze zwischen Licht und Schatten; die Tangenten in diesen Endpunkten sind parallel zum Lichtstrahl l (also ihre Projektionen zu l“ und l“). Denn die Tangentialebene längs der Mantellinie SK ist parallel zu l, sie wird also von den Ebenen durch die Tangenten in den Punkten R von k und N von i respektive, die zum Lichtstrahle parallel laufen, in Parallelen zu l geschnitten.

Beispiele für Anwendungen.

520. Die in diesem Kapitel entwickelten Methoden zur Darstellung der Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen, ihrer ebenen Schnitte, Durchdringungen und Abwickelungen lassen zahlreiche Anwendungen zu, die hier nur kurz unter Hinweis auf wenige einfache Beispiele angedeutet werden können. Sie betreffen vorzugsweise zwei Klassen von Aufgaben, die der zeichnende Architekt zu lösen hat: Schattenund Steinschnittkonstruktion.

Dem, was in 151, 467 und 518 von der Schattenkonstruktion im allgemeinen gesagt und dann auf einfache geometrische Gebiete angewandt wurde, sollen hier nur einige, die weitere Anwenduug vorbereitende Bemerkungen angefügt werden. Eine eingehendere Behandlung der Schattenkonstruktion bei höheren Flächen, sowie in der schiefen Projektion und der Perspektive findet man im zweiten Bande unseres Werkes. Wenn an den Objekten kompliziertere krumme Flächen auftreten, so wird man stets Kurven benutzen, die auf ihnen liegen und gegeben sein müssen, um im Sinne von 459 als Erzeugende zu dienen. Zur Bestimmung des Schlagschattens auf eine Ebene geht man von den bezüglichen Schatten der Erzeugenden aus und findet als deren Hüllkurve die Schlagschattengrenze. Sucht man ferner die Berührungspunkte der Schlagschattengrenze mit den Schatten der Erzeugenden auf und zieht von ihnen aus rückwärts Lichtstrahlen bis wieder zu jenen Erzeugenden, so erhält man auf ihnen Punkte der Lichtgrenze. Ebenso liefert jeder Lichtstrahl, der von einem Kreuzungspunkte der gleichnamigen Schatten zweier Erzeugenden rückwärts gezogen wird, auf einer derselben einen Punkt der Schlagschattengrenze am Objekte selbst. – Wichtig ist ferner ein Satz über das Verhalten der Licht- und Schlagschattengrenzen in den Punkten, wo beide einander begegnen (vergl. 528). Wirft nämlich ein Teil des Objektes Schatten auf einen andern, so kann es geschehen, daß die Grenze dieses Schlagschattens die Lichtgrenze auf dem zweiten Teile überschneidet. Im Treffpunkte wird dann die Schlagschattenkurve von einem Lichtstrahl berührt; denn ihre Tangente ist die Schnittlinie der Tangentialebenen zweier Lichtstrahlencylinder, welche beiden Körperteilen längs ihrer Lichtgrenze (die beim ersteren auch eine Randkurve sein kann) umschrieben sind. 521. Die Lehre vom Steinschnitt (Stereotomie) bedient sich ebenfalls der bisher entwickelten Darstellungsmethoden. Unter ihren Aufgaben verdient besonders die Bestimmung des Schnittes der Gewölbsteine Beachtung, da für diese nicht, wie sonst meist geschieht, lauter ebene Begrenzungsflächen gewählt werden können. Ist die Form eines Gewölbes vorgeschrieben, so ist die an der Wölbung sichtbar werdende eine Seitenfläche jedes Wölbsteines ihrer Natur nach bestimmt und muß genau nach Vorschrift bearbeitet werden. Die übrigen Seitenflächen der Steine heißen Fugen und sind am fertigen Bauwerk nicht sichtbar, weil entlang derselben die Wölbsteine, die sich gegenseitig stützen und spannen, aneinander oder auf dem Widerlager anliegen. Diese Fugen müssen (aus hier nicht weiter zu erörternden mechanischen Gründen) eine regelmäßige Anordnung erhalten und nach vorher bestimmten Formen ebenfalls genau bearbeitet werden. Soweit die Fugen auf der Wölbfläche endigen, erzeugen sie auf ihr ein System von (sichtbaren) Fugenlinien. Die Statik zeigt nun, daß es zur Erreichung möglichst hoher Stabilität des Bauwerkes zweckmäßig ist, von folgenden Gesichtspunkten auszugehen. – Die Wölbsteine werden, vom Widerlager anfangend, bis zum Schlußstein am Gewölbescheitel in Schichten angeordnet und jede Schicht thunlichst symmetrisch aus mehreren Steinen gebildet, deren Anzahl sich nach dem Umfange richtet. Demgemäß ist zuerst die gegebene Wölbfläche durch eine erste Reihe Fugenlinien in Streifen und diese durch eine zweite Reihe Fugenlinien in Felder zu zerlegen. Die Fugenlinien der zweiten Art sollen nun überall zu denen der ersten Art rechtwinklig verlaufen und werden überdies in den benachbarten Streifen gegeneinander versetzt, so daß sich keine von ihnen unmittelbar in die nächste fortsetzt. Später (vergl. 802) wird gezeigt, daß es auf jeder beliebigen krummen Fläche Kurven, nämlich die beiden Systeme von Krümmungslinien giebt, die sich überall rechtwinklig schneiden. In vielen Fällen können aber diese Kurvensysteme ohne weiteres angegeben werden. Es sollen ferner die Fugen selbst zur Wölbfläche normal stehen. Man denkt sie sich deshalb am einfachsten von den Normalen der Wölbfläche entlang einer Krümmungslinie erzeugt, so daß sie (nach 802) abwickelbare Flächen werden; bei den einfachsten Gewölbeformen fallen sie eben oder konisch aus. 522. In Fig. 325 ist ein runder Eckturm mit spitzem Dach dargestellt, der seinen Schatten auf die gebrochene Dachfläche, das Gesims und die Wand eines Hauses wirft. Die Wandung des Turmes wird von einem Cylinder gebildet (Achse a = S'S); sein Dach ist aus konischen Teilen (Spitzen S und T auf a) zusammengesetzt, wird unten teils von den in der Kante BC zusammenstoßenden ebenen Flächen in Ellipsenbogen PQ, QR, . . ., teils von dem Randkreise r begrenzt und endigt oben an einer kleinen Kugel mit aufgesetzter spitzer Stange. Die erwähnten Ellipsenbogen bestimmt man leicht aus ihren Hauptachsen, die man mittels des Seitenrisses f”= D“E“ einer Falllinie f= DE des Daches gewinnt (vergl. 490). Die Schattenkonstruktion soll nun im Aufriß durchgeführt werden. Man bestimmt zuerst die Lichtgrenzen u und v auf den kegelförmigen Dachflächen als die Mantellinien, deren zugehörige Tangentialebenen die Lichtstrahlen durch S und T enthalten. Sind r, so, 7, S. die Horizontalschatten von r, s, T S, so müssen die Schatten u. und v. von u und v die Kreise s. resp. r. berühren

und durch S. und T. gehen. Sucht man zu ihren Berührungspunkten die homologen Punkte auf s und r, so gehören sie den Lichtgrenzen u resp. v an. Demnach gehen u und v durch So und sind zu u. und v, senkrecht. Die Schatten a*, *u, v“ auf der durch die Linien b und e bestimmten Ebene zeichne man mittels

ihrer Schnittpunkte mit b und c, die sich aus den Schnittpunkten der Horizontalschatten a. u. v., b, c, unmittelbar ergeben. Die Lichtgrenze w (Mantellinie) auf der cylindrischen Wand und ihren Schatten w* auf der ebenen Wand findet man leicht mittels ihrer ersten Spurpunkte. Der Schatten r* des Randkreises r zerfällt in vier Kurvenebene, dem Dachsims und der Dachebene befinden und von denen das letzte tangential in v“ übergeht. Es genügt, von ihnen einzelne Punkte (namentlich die Endpunkte) zu bestimmen. Im Punkte r* × w“ ist die Tangente von r* zu l“ parallel und geht verlängert durch r* × w“. Die Endpunkte auf den Dachkanten b und d, resp. auf ihren Schatten b*, d* findet man durch rückwärts gezogene Lichtstrahlen aus den bezüglichen Kreuzungspunkten im Grundrißschatten. Analog ergiebt sich die kurze Schlagschattenlinie, die, von der Linie u der oberen Kegelfläche herrührend, auf der unteren entsteht. Die Lichtgrenze auf der Kugel ist ein Hauptkreis, dessen Ebene zu l normal steht (vergl. 468); sein horizontaler und der hierzu rechtwinklige Durchmesser ergeben (in der Lichtrichtung auf die Dachebene projiziert) konjugierte Durchmesser der Schlagschattenellipse. Der eine geht durch den Schnittpunkt des horizontalen Kreisdurchmessers mit der durch b und c bestimmten Ebene und durch den bezüglichen Mittelpunktschatten; der andere liegt auf a* (die Konstruktion ist in der Figur angedeutet). Endlich sind noch einige sehr kleine Schlagschattenteile an der Turmspitze und den Turmfenstern einzutragen. 523. Das nächste Beispiel bilde eine Mauernische mit halbkreisförmiger Basis, die oben durch die Hälfte eines Kuppelgewölbes geschlossen ist (Fig. 326); außer dem Schatten soll der Steinschnitt in die Darstellung einbezogen werden. Die Nischenfläche besteht aus einem Halbcylinder und einer Viertelkugel. Auf ersterem endigen die Fugen in 6 Mantellinien, die den Basishalbkreis in 7 gleiche Teile teilen und in horizontalen (gegeneinander versetzten) Kreisbögen, deren Abstand je /, der Cylinderhöhe beträgt. In der Wölbfläche liegen die Fugenlinien auf 4 horizontalen Kreisen, deren Randpunkte A, B, C, D, . . . den Fronthalbkreis AE (Schildbogen) in 7 gleiche Teile zerlegen. Die gegeneinander verschobenen Fugenlinien der zweiten Art liegen auf 13 vertikal gestellten (Meridian-)Kreisen; diese treffen sich (verlängert) im Gewölbescheitel und teilen den Halbkreis i am Widerlager in 14 gleiche Teile. Die Projektionen sind nach diesen Angaben unmittelbar zu zeichnen. Die Fugen der Wölbsteine werden teils von Ebenen, teils von Rotationskegelflächen gebildet; letztere haben ihre Spitze im Centrum O der Wölbfläche und ihre gemeinsame Achse ist vertikal. Die Richtung der parallelen Lichtstrahlen l ist wie gewöhnlich angenommen (Z_ la = Z_ l“ r = 45°). Die Lichtgrenze auf der Nischenfläche, eine Mantellinie u des

stücke, die sich der Reihe nach auf dem Wandcylinder, der Wand

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