= 1 = um die Achse SO in die Lage KQ, bringen (Q'Q 1 OS). Demnach ist Bog KQ Bog FQ°, und da BK = BF1, ist auch Bog DK = Bog DF, wenn OB die Kugel in D schneidet; hieraus folgt aber durch Subtraktion Bog DQ, Bog DQo. Dies ergiebt eine einfache Konstruktion der Punkte des sphärischen Kegelschnittes. Schneidet man von D aus auf dem Kugelkreise in П, gleiche Bogen ab, z. B. DQ。 = DQ°, und zieht durch die Endpunkte Senkrechte zu OF, und OF, respektive, so ist ihr Schnittpunkt die Projektion eines Punktes des sphärischen Kegelschnittes, z. B. Q'. 2 2 Da Bog F2Q = Bog FQ und Bog QL = Bog QK ist, so folgt: Bog FQ+ Bog QF1 = Bog F2K; der letztgenannte Bogen ist aber von der Lage des Punktes P unabhängig. Der sphärische Kegelschnitt erscheint also als Ort der Punkte, für die die Summe der sphärischen Abstände von zwei festen Punkten konstant ist. Unter dem sphärischen Abstand zweier Kugelpunkte ist hierbei das von ihnen begrenzte Stück eines größten Kreises zu verstehen. Die Punkte F, und F, spielen für den sphärischen Kegelschnitt ganz die gleiche Rolle wie die Brennpunkte bei einer Ellipse und werden als seine Brennpunkte bezeichnet. Aus unserem Satze folgt, daß Bog F,C Bog FD sein muß, es ergiebt sich dies auch aus den Relationen: Bog FJ Bog FK, Bog CJ = Bog CF und Bog DF1 = Bog DK; die Summe der sphärischen Abstände eines Kurvenpunktes von den beiden Brennpunkten Fund F2 ist demBog CD, d. h. gleich dem sphärischen Abstand der Scheitel nach = C und D. = = = 1 2 Es ist (wenn man den Kugelradius als Längeneinheit nimmt): Bog QF2 =π- Bog QF3; durch Einsetzen dieses Wertes in die Relation: Bog QF1 + Bog QF2 = Bog CD kommt: Bog QF, - Bog QF1 Bog DG. Wir sehen hieraus, daß auch F1 und F, die gleiche Rolle spielen, deshalb nennt man F1, F2, F3, F4 die vier Brennpunkte unserer Kurve. Je nach der Auswahl zweier Brennpunkte ist die Summe oder die Differenz ihrer sphärischen Abstände von den Kurvenpunkten konstant; die bezüglichen Relationen sind: Bog QF + Bog QF2 Bog QF - Bog QF =π Bog CD, Bog QF + Bog QF = 27 - Вog CD, Bog QF - Bog QF2 =π- Bog CD. Legt man durch zwei benachbarte Punkte unserer Kurve zwei Ebenen senkrecht zu OF, und ebenso zwei Ebenen senkrecht zu OF2, so ist nach dem vorausgehenden Satze der sphärische Abstand der beiden benachbarten, zu OF, senkrechten Kreise gleich dem sphärischen Abstand der beiden zu OF, senkrechten Kreise. Die = Bog CD, 3 1 zwei Paar Kugelkreise durch die benachbarten Kurvenpunkte bilden demnach einen unendlich kleinen Rhombus, dessen Diagonale die Kurventangente in dem betreffenden Punkte ist und den Winkel der genannten Kugelkreise halbiert. Die Kugelkreise, die den Kurvenpunkt mit den Brennpunkten verbinden, stehen aber auf jenen Kreisen senkrecht und wir erhalten den Satz: Die Tangente in einem Punkte eines sphärischen Kegelschnittes halbiert den Winkel (oder Nebenwinkel) der beiden Kreisbogen, die den Punkt mit zwei Brennpunkten verbinden. 512. Die erzielten Resultate lassen sich unmittelbar auf den Kegel mit dem Scheitel O und der Leitkurve u übertragen, der unsere sphärische Kurve aus dem Kugelcentrum projiziert. Die Strahlen OF und OF, heißen die Brennstrahlen des Kegels. Die Ebene OAB oder П, ist eine Hauptebene des Kegels; die beiden Geraden, die den AOB und seinen Nebenwinkel halbieren, bilden zwei Achsen des Kegels, dessen dritte Achse auf П, senkrecht steht (vergl. 478). Die beiden Brennstrahlen liegen zu den Achsen symmetrisch und es gilt für sie der Satz: Die Summe der Winkel, die jede Mantellinie des Kegels mit den beiden Brennstrahlen einschließt, ist konstant, nämlich AOB. Dabei ist natürlich auf die richtige Bildung dieser Winkel Rücksicht zu nehmen; läßt man an Stelle eines dieser Winkel den Nebenwinkel treten, so ist die Differenz der beiden Winkel konstant. Ferner ergiebt sich die Tangentialebene längs einer Mantellinie des Kegels halbiert den einen Winkel der beiden Ebenen, die die Brennstrahlen mit der Mantellinie verbinden. Jede Ebene, die auf einem Brennstrahl des Kegels senkrecht steht, schneidet ihn in einem Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt auf dem betreffenden Brennstrahl liegt. = Die Symmetrieebenen des Kegels sind auch solche für den sphärischen Kegelschnitt, der aus zwei getrennten Teilen besteht entsprechend den beiden Mantelflächen des Kegels. 513. Bei den voranstehenden Betrachtungen hatten wir zur Erzeugung des sphärischen Kegelschnittes einen Kegel benutzt, dessen Basiskurve u zu der schneidenden koncentrischen Kugel in einer besonderen Beziehung stand, indem der Berührungspunkt der Kugel zugleich Brennpunkt von u war. Wir wollen nun zeigen, wie man im allgemeinen Fall die Brennstrahlen eines Kegels konstruieren kann und dadurch wieder zu den früheren Resultaten gelangt. O sei der Scheitel des Kegels, OM die in seinem Innern liegende Kegelachse; als Basisebene des Kegels wählen wir eine zur 1 Achse senkrechte Ebene, die die Kugel im Schnittpunkte M der Achse mit ihr berührt. Die große Achse der Basisellipse v sei C1D1; dann mag П, mit der Ebene OC,D, und П, mit der Basisebene zusammenfallen (in der Fig. 321 ist nur eine Hälfte C,ED2 der umgelegten Ellipse v angegeben). Die Strahlen OC1, OD1, OE1 liefern die Punkte C, D, E des sphärischen Kegelschnittes; dabei ist OME das um OM in П, umgelegte Dreieck OME, E° der umgelegte Punkt E und E' seine Projektion (E0 OE xk, EE' OM). Schneidet der Kreis um O mit dem Radius OE' die Gerade CD in den Punkten G1 und G2, dann sind OG1 = f1 und OG2 = f2 die f2 Brennstrahlen des Kegels, ihre Schnittpunkte F1 und F2 mit der Kugel die Brennpunkte des sphärischen Kegelschnittes. = 0 = Um unsere Behauptung zu erhärten, zeigen wir zunächst, daß LFOE + FOE DOM ist. Die Sehne CD ist nämlich gleich der Sehne, die man durch E' senkrecht zu f1 ziehen kann, da OG1 = OE' ist; es sind also auch die zu den Sehnen gehörigen Bogen gleich, die halben Bogen stimmen aber mit Bog MD resp. Bog EF, überein. Nun schneiden wir den Kegel mit einer Ebene E, die in F1 auf f1 senkrecht steht; dies giebt einen Kegelschnitt u (in der Figur ist es eine Hyperbel) und die Endpunkte A, B einer seiner Achsen liegen auf den Mantellinien OC und OD. Zeigt man jetzt noch, daß man durch die Kurve u einen Rotationskegel legen kann, der 1 der Kugel umgeschrieben ist, so folgt daraus, daß F, ein Brennpunkt von u ist, und man erhält so wieder die Beziehungen, wie sie sich in Fig. 320 darbieten. Zu diesem Zwecke ziehe man von A und B die Tangenten an k, deren Berührungspunkte respektive J und K seien; ihr Schnittpunkt S ist der Scheitel eines Kegels der die Kugel längs eines Kreises mit dem Durchmesser JK berührt. Dieser Rotationskegel enthält aber die Kurve u, denn die Schnittkurve von E mit dem Rotationskegel hat mit u nach der Konstruktion die Achse AB und außerdem einen Punkt gemein, wie sogleich dargethan werden soll. Ist P' AB × OM, so ist SP' die Projektion einer Mantellinie SP des Rotationskegels, die die Kugel in Q berührt (Q' = SP' × JK) und es ist PF, PQ (als Kugeltangenten). OP schneidet also die Kugel in einem Punkte, dessen sphärische Abstände von F1 einerseits und dem Kugelkreise 7 über JK anderseits einander gleich sind und dessen Projektion in OM liegt. Diese Eigenschaften besitzt aber der Kugelpunkt E; der Strahl OEE geht demnach durch P hindurch, was zu beweisen war. Nach 510 muß OS mit dem Brennstrahl f, zusammenfallen; dies ergiebt sich auch direkt, denn es ist Bog CJ (L CAJ = ▲ CAF1) und Bog CF2 Bog FD Bog DK, also auch Bog FK, d. h. F, liegt auf der Halbierungslinie des Bog JF2 = 1 = = 2 = = Bog CF1 514. Die senkrechten Projektionen des sphärischen Kegelschnittes auf seine drei Symmetrieebenen sind wieder Kegelschnitte, wie im Folgenden nachgewiesen werden soll. Die Projektion auf die Ebene der Brennpunkte ist eine Ellipse c', von der zwei Stücke AB und CD im Innern des Kreises k liegen, die beiden andern AC und BD aber außerhalb sich befinden (Fig. 322). Die Punkte jener beiden Stücke bilden die Projektionen von je zwei reellen, die Punkte dieser Stücke die Projektionen von je zwei konjugiert imaginären Kurvenpunkten. Die Ellipse c' ist zu dem Kreise k affin und zwar ist AD oder BC die Affinitätsachse. In der That erhält man jeden Punkt P' dieser Kurve, wenn man auf k gleiche Bogen AP。 = APo abschneidet und P'P 1 OF1 und P'P° 1 OF, macht. Ist nun L = OA X PP', so folgt aus der erwähnten Gleichheit der Bogen, daß LP LP0 wird. Die Winkel des ▲ LP'P0 sind aber von der Wahl des Kurvenpunktes P' unabhängig, denn zwei seiner Seiten sind zu OF, resp. OF, senkrecht und ▲ P'LP° = ▲ P'LA — ▲ PLA; demnach ist auch das Verhältnis P'L: PL oder P'L: PL von der Wahl des Punktes P' auf c' unabhängig. Die Kurven c' und k sind also affin, OA ist die Affinitätsachse, P'P, (oder auch P'Po) sind ein = 1 Paar affiner Punkte; infolgedessen schneiden die Tangenten von k in P resp. Po und die Tangente von c' in P' die Gerade OA in dem nämlichen Punkte T. Fig. 322. Zu dem gleichen Resultat gelangt man auch nach 428, wenn man noch den zu P' benachbarten Punkt auf c' in Betracht zieht. 2 1 515. Seien x, y, z die Achsen des Kegels durch c, und zwar mag den FOF, und y seinen Nebenwinkel halbieren, wo OF und OF, nicht durch die Kegelflächen getrennt sind, während z auf der Ebene der Brennpunkte senkrecht steht. Dann ist die Projektion c" von c auf eine zur Ebene yz parallele Ebene eine vollständige Ellipse, deren Halbachsen gleich AB resp. EE' sind; die Projektion c"" von c auf eine zu rz parallele Ebene dagegen liefert eine Hyperbel, deren Hauptachse gleich AC ist, der reelle Teil von c ergiebt nur zwei Stücke derselben. Daß c" und c"" wirklich Kegelschnitte sind, erkennt man folgendermaßen. Ist P ein Punkt von e und sind P1, P2, P3 seine Entfernungen von den Ebenen xy, yz, xz, so ist P+P + P32 = r2 (r = Kugelradius), da P auf der Kugel Pi liegt. Für die Projektion P' auf xy, wobei P2 und P3 sich in wahrer P22 P32 Länge projizieren, haben wir: + a12 b12 achsen der Ellipse c' sind (vergl. 332). können wir eine Relation zwischen P1, P, 2 2 1, wenn a1 <b1 die Halb Aus beiden Gleichungen nämlich p12 + P ̧2 2 2 2 |