Strahlen eines Strahlbüschels, dessen Ebene einen beiden Kegelflächen gemeinsamen Kegelschnitt enthält.

507. Eigenschaften der Raumkurven 3. Ordnung. 20) Zwei Kegelflächen 1 und Ʌ, mit einer gemeinsamen Erzeugenden s durchdringen sich noch in einer Raumkurve 3. Ordnung u. Denn jede Ebene schneidet die ganze Durchdringungskurve, die sich aus s und u zusammensetzt, in vier Punkten. Sind S1 und S, die auf s liegenden Scheitel der Kegel und schneiden sich in den Punkten A, B, C, D ... von u respektive die Erzeugenden a1, a2; b1, b2; c1, c2; d1, d2 so ist das Ebenenbüschel s (b1, c1, d1,.......)

= 8 (b2, C2, d2, . . .) projektiv zu den Büscheln a, (b1, c1, d1, . . .) und az (b2, C2, dg,...). Die letzteren Büschel, deren Achsen sich in d schneiden, sind projektiv aber nicht perspektiv und erzeugen eine Kegelfläche mit dem Scheitel 4, die ebenfalls durch u hindurchgeht. Jeder Punkt der Raumkurve 3. Ordnung kann als Scheitel eines Kegels 2. Ordnung dienen, der sie ganz enthält. Mit andern Worten: Die Projektion einer Raumkurve 3. Ordnung aus einem ihrer Punkte auf irgend eine Ebene ist immer ein Kegelschnitt.

Eine Raumkurve 3. Ordnung ist durch sechs von ihren Punkten bestimmt. Denn jeder dieser Punkte kann als Scheitel eines Kegels angesehen werden, der die Strahlen nach den fünf übrigen zu Erzeugenden hat, und je zwei dieser Kegel haben eine Erzeugende gemein, durchdringen sich also außerdem in der Raumkurve 3. Ordnung.

Jede Ebene hat mit der Raumkurve 3. Ordnung einen oder drei reelle Punkte gemein. Wenden wir dieses Resultat auf die unendlich ferne Ebene an, so erkennen wir, daß eine Raumkurve 3. Ordnung in einer oder in drei Richtungen ins Unendliche verläuft (in jeder Richtung zwei Äste) und daß demnach ein oder drei Cylinder durch sie hindurchgelegt werden können.

508. Die Raumkurve 3. Ordnung u als Schnitt zweier Kegel Д und Ʌ, mit einer gemeinsamen Mantellinie m zu konstruieren (Fig. 319). Wir denken uns die Spurkurven beider Kegel in einer Ebene П bestimmt; es seien die Kegelschnitte und ↳ respektive, deren einer Schnittpunkt der Spurpunkt M von m ist; ihre andern Schnittpunkte seien A, B, C; ferner seien S und S die Projektionen der Scheitel S und S, auf ПT. Kennen wir noch den Abstand des Scheitels S, von П, so ist die räumliche Lage beider Kegel gegeben, da S1S': S2S2 = S'M: S'M ist. Da wir hier bloß die Projektion u' von u auf П zeichnen wollen, kommt es auf den

2

Abstand SS nicht an, der denn auch in Fig. 319 weggelassen ist. Jede Ebene durch m schneidet П in einer Geraden durch M, und diese trifft 4 und 1, je in einem Punkte P, und P2; SP1 und SP2 liefern einen Punkt P von u und ihre Projektionen einen Punkt P' von u'. Die Tangente t von u im Punkte P liegt in den Tangentialebenen der Kegel längs der Erzeugenden SP resp. SP, deren Spurlinien die Tangenten PT von ↳ und PT von 1, sind; ihr Schnittpunkt ist der Spurpunkt von t, liegt also auch auf t.

Fig. 319.

Die angegebene Konstruktion ist nur möglich, wenn die Kegelschnitte und gezeichnet vorliegen; ist dieses nicht der Fall, oder will man genauere Resultate erzielen, so muß man die projektiven Strahlbüschel benutzen, die die Kurven 4 und 1 erzeugen. Soll z. B. die Raumkurve 3. Ordnung durch die sechs Punkte S, Sa, A, B, C, D konstruiert werden, so wählen wir ABC als Projektionsebene П, bestimmen in ihr die Spurpunkte D, von SD, D2 von SD und M von SS2, dann gehen die Spurkurven 4 und der beiden Kegel durch die gemeinsamen vier Punkte A, B, C, M

4

2

und je einen der Punkte D, resp. D. Hiernach betrachte man als Erzeugnis der projektiven Strahlbüschel: D1 (A, B, C, ...) und M (A, B, C,...). Schneiden wir den ersteren mit CB, den letzteren mit CA, so erhalten wir perspektive Punktreihen und J = D14 × MB ist das Centrum der Perspektivität. Jede Gerade durch J schneidet CB und CA in entsprechenden Punkten der perspektiven Reihen, z. B. P1 und P ̧, die mit D1 resp. M verbunden einen Punkt von 1 liefern, z. B. P1D1 × P ̧M= P1. Ebenso ist das Erzeugnis der projektiven Strahlbüschel D, (A, B, C, ...) und M (A, B, C, . . .), die auf CB resp. CA perspektive Punktreihen mit K = D2A × MB ᎠᎪ als Centrum der Perspektivität ausschneiden. Jede Gerade durch K liefert zwei entsprechende Punkte der perspektiven Reihen, z. B. P und P, die mit D, resp. M verbunden einen Punkt von 2 ergeben, PD x P2M = P2. J und K werden auf MB durch AD1 resp. AD2 ausgeschnitten, man hat dann, um einen Punkt von u zu zeichnen, folgende Linien zu ziehen. Irgend einen Punkt P, von AC verbinde man mit J, K und M, den Punkt P1 = PJ × BC mit D, und den Punkt P PK × BC mit D2, dann schneiden PD1 und PD2 die Gerade PM in P1 resp. P2 und S1P1 × S2P2 = P ist ein Punkt von u.

1

5 2

×

2

=

1

Unsere Kurve u verläuft nur einmal durchs Unendliche und es soll ihre Asymptote (d. h. die Tangente im unendlich fernen Punkt) gefunden werden. Die unendlich fernen Punkte von u liegen auf parallelen Erzeugenden der Kegel A, und A,; verschiebt man Ʌ, parallel mit sich selbst im Raume bis sein Scheitel 8, mit S2 zusammenfällt und er die Lage A,° annimmt, so kommen die parallelen Erzeugenden zur Deckung, bilden also die gemeinsamen Erzeugenden der Kegel A, und A,°, abgesehen von der gemeinsamen Erzeugenden m. Die Spurellipse 1o des Kegels Ao ist zu ↳ ähnlich und ähnlich gelegen, M ist das Ähnlichkeitscentrum, Sund S sind entsprechende Punkte der ähnlichen Figuren, wonach 4° gezeichnet werden kann. 1 und 4° schneiden sich außer M nur noch in dem reellen Punkte Q2 (4o ist nicht verzeichnet); es sind nun SQ2 und S11 parallele Erzeugende (Q1 = MQ2 × 4) und die Tangenten von 4 in Q, und 1 in Q, schneiden sich in einem Punkte der Asymptote y (y || S11|| S2 Q2)•

2

2

0

2

509. Die Kurve u besitzt einen Doppelpunkt, den eine einfache Betrachtung liefert. Die zu П normalen Sehnen des Kegels A1 werden halbiert durch die Ebene seiner Umrißlinien, ihre Spur ist die Polare v von S1 in Bezug auf ↳ (vergl. 503), und sie enthält die Gerade VS, (V = v × D1D). Ebenso halbiert die Ebene durch.

S2 und die Polare w von S' in Bezug auf 1, die zu П normalen Sehnen des Kegels A2; diese Ebene enthält noch die Gerade WS2 (W = w × D2D). Die Schnittlinier beider Ebenen hat den Punkt R = v w zur Spur und enthält außerdem den Punkt X = VS1 × WS2. Die zu П senkrechte Ebene durch r schneidet die beiden Kegel in zwei Kegelschnitten und i respektive; r ist für beide gemeinsamer Durchmesser und halbiert die zu П normalen Sehnen beider; die vier Schnittpunkte von und liegen also auf zwei Normalen zu П. Die Kegelschnitte, und das soeben genannte Normalenpaar bilden drei Kurven eines Büschels (mit vier gemeinsamen Grundpunkten), sie schneiden also r in drei Punktepaaren einer Involution. Das Punktepaar r × į liegt auf den Umrißlinien von Ʌ1, das Punktepaar rx i, auf den Umriẞlinien von A, (in der Figur sind diese nicht reell); ein Punkt des dritten Paares liegt auf der Normalen zu П, die den auf m liegenden gemeinsamen Punkt von und enthält. In der Projektion bildet hiernach der Doppelpunkt F von umit Gr' x m' ein Punktepaar der Involution auf r', von der ein Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des Kegels A, und ein zweites Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des Kegels A, ausgeschnitten wird; es läßt sich somit F nach 224 oder 318 konstruieren.

Im vorliegenden Falle giebt es keine reellen Umrißlinien von Ʌ,, das bezügliche Punktepaar auf r' ist imaginär. Wir projizieren das reelle und das imaginäre Punktepaar, sowie den Punkt G aus S auf w, und die so gefundenen Punkte aus einem Punkte von l (z. B. von aus) auf 2, dann entsteht auf eine Involution. Das imaginäre Punktepaar derselben liegt auf w und das reelle auf einer Geraden, die sich leicht zeichnen läßt; das dritte Paar, von dem wir einen Punkt kennen, liegt auf einer Geraden, die sich mit jenen beiden Geraden in einem Punkte schneidet. Daraus ergiebt sich der zweite Punkt des dritten Paares und somit durch die genannten Projektionen der gesuchte Doppelpunkt F.

Die sphärischen Kegelschnitte.

510. Die Durchdringungskurve einer Kugel mit einer koncentrischen Kegelfläche heißt ein sphärischer Kegelschnitt, wenn die Kegelfläche vom zweiten Grade ist, also eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel zur Leitkurve hat. Die Eigenschaften solcher sphärischer Kegelschnitte sollen hier etwas näher untersucht werden. 21) Wir gehen dabei aus von einer uns schon aus 361 be

kannten Figur, indem wir einen Rotationskegel mit einer beliebigen Ebene E schneiden und ihm eine Kugel einbeschreiben, die diese Ebene im Punkte F berührt; F ist dann der Brennpunkt der in E liegenden Schnittkurve u. Ist 8 der Scheitel des Kegels und O das Centrum der Kugel, so machen wir die Ebene SOF1 zur Projektionsebene T1; diese steht auf E senk

recht, so daß sich u als Gerade u' mit den Endpunkten A, B projiziert, wo SA und SB die in ПT, liegenden Mantellinien des Kegels sind (Fig. 320). Sind J und K die Berührungspunkte von SA und SB mit der Kugel, so bildet JK einen Durchmesser des Berührungskreises vom Kegel mit der Kugel, dessen Ebene zu П1 normal steht. Schneidet man nun den Kegel mit dem Scheitel O und der Basiskurve u mit der Kugel, so erhält man einen sphärischen Kegelschnitt, dessen Eigenschaften sich in einfachster Weise ergeben.

511. Die Tangenten aus einem Punkte P an eine Kugel sind gleich lang; durch Projektion dieser Tangenten vom Mittelpunkte O aus

Fig. 320.

auf die Kugel erhält man gleich lange Stücke größter Kreise. Ist P ein Punkt von u, so berührt PS die Kugel, ihr Berührungspunkt I liegt auf dem Kreise mit dem Durchmesser JK und fällt auf JK. Die Tangenten PF, und PL sind gleich und Bog QF1 = Bog QL, wenn OP die Kugel in Q trifft. Der Bogen QF, gehört einem größten Kreise mit dem Durchmesser FF an und der Bogen QL einem größten Kreise mit dem Durchmesser F2F, der auf OS liegt. Da der Bogen QL auf dem Kreise JLK senkrecht steht, so giebt er den sphärischen Abstand des Punktes Q von jenem Kreise an und es erscheint der sphärische Kegelschnitt als Ort der Punkte, die von einem festen Punkte F, und einem festen Kreise KLJ gleich weit abstehen, wobei diese Abstände durch Bogenstücke größter Kreise auf der Kugel zu messen sind. Dreht man den Bogen QF, um die Achse FO in П, so geht er in FQ° über (Q'Q°1 OF); ebenso läßt sich der Bogen QL durch Drehung

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