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Punkt zu B, S, der affine Punkt zu S (BM LAM, SS, BB, SS, BM, SS, BM). Sind J, K die Berührungspunkte der Tangenten von S, an c, und J, K die affinen Punkte auf c, so sind SJ und S'K die Umrißlinien des Kegels. Um nun einzelne Punkte der Durchdringungslinie u bezw. ihrer Projektion u zu finden, ziehe man durch S Sehnen des Kreises c, z. B. CD, suche die affine Sehne CD der Ellipse c und bestimme die Durchstoßpunkte

Fig. 318.

der Mantellinien SC und SD mit der Kugel. Die Ebene SCD ( LTT) schneidet auf der Kugel einen Kreis m mit dem Durchmesser EF aus; diese Ebene drehen wir samt dem Kreise m und den Geraden SC und SD um die Achse SS, bis sie zu TT, parallel wird. Im Aufriß erhält man dann den Kreismo und die Linien S“C und S“Do und ihre Schnittpunkte P und Q% (S“D, und mo schneiden sich in der Figur nicht), die durch die Drehung aus den in der Ebene SCD liegenden Punkten P und Q von u hervorgegangen sein müssen; es finden sich also P'S' und Q'S' gleich den Abständen der Punkte P. resp. Q% von S"S'. Verfährt man in der geschilderten Weise mit der Umrißlinie SJ des Kegels, so erhält man auf ihr die Berührungspunkte mit u“. Die Berührungspunkte von u“ und k“ liegen offenbar auf den Projektionen der Mantellinien, die k treffen; diese Mantellinien liegen also noch auf einem zweiten Kegel, dessen Scheitel S und dessen Basiskurve k ist. Der letztgenannte Kegel besitzt als erste Spurkurve einen Kreis n mit dem Mittelpunkt N – dem Spurpunkt von SO – und einem Radius, der sich zum Kugelradius verhält, wie S“N“: S“O“. Die Spurkurven c und n beider Kegel schneiden sich in Punkten, die mit S verbunden auf dem Kreise k seine Berührungspunkte mit u ergeben. Über die Sichtbarkeit von u entscheidet man wie in den früheren Beispielen. Der Aufriß ist in der Figur weggelassen, würde indessen leicht hinzuzufügen sein. Die Tangente im Punkte P von u ist die Schnittlinie der Tangentialebene im Punkte P der Kugel mit der Tangentialebene an den Kegel längs der Erzeugenden SC. Die Tangente CG im Punkte C von c ist die Spur der letzteren Ebene, die Spur LG der ersteren Ebene ist senkrecht zu O'P und enthält den Spurpunkt L der Tangente des Kreises m im Punkte P (P„Lo Tangente von mo, LS = (Lo – S"S)); dann ist PG die Tangente von u im Punkte P'. 503. Die Bestimmung der Doppelpunkte 1 und 2 von u“ geschieht analog zu den früheren Beispielen. Alle zu TT, normalen Kugelsehnen werden durch die Ebene des Umrisses k halbiert, ebenso alle zu TT, normalen Kegelsehnen durch die Ebene der Umrißlinien SJ und SK. Denn Endpunkte, Mittelpunkt und unendlich ferner Punkt einer solchen Sehne liegen harmonisch, also auch die Spurpunkte der von S durch sie gelegten Strahlen, die auf einer Geraden durch So liegen; zwei derselben fallen auf c, einer nach S, der vierte also auf die Polare JK des Punktes S' in Bezug auf c. Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden h (h JK ST, H = k“ × RT), deren Projektion h' die Doppelpunkte von u“ trägt. Die projizierende Ebene durch h schneidet die Kugel in einem Kreise i, und den Kegel in einer Ellipse j,; h ist zugleich Durchmesser von i, und Achse von j,, so daß ihre vier Schnittpunkte paarweise auf zwei Senkrechten von TT liegen und bei der Projektion in die Doppelpunkte 1 und 2 von u zusammenfallen. Für die Konstruktion der Schnittpunkte von i, und j, gilt das in den vorangehenden Beispielen Gesagte und soll hier nicht wiederholt werden, nur sei hinzugefügt, daß die eine Achse von j, durch den Umriß SJ und SK begrenzt wird, die andere also im Mittelpunkt darauf senk

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RoHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 25

recht steht; ihre Länge ergiebt sich durch Umlegen der bezüglichen projizierenden Ebene. Von den Involutionen, denen das Punktepaar 1, 2 angehört, wird hier eine bestimmt durch die Punktepaare h × k’ und h' × SJ, h' × SK, eine zweite wird definiert durch Lotung der Punktepaare U (doppelt) und Y, Y, auf h'. 504. Eigenschaften der Durchdringungskurve u zweier Kegelflächen A1 und A2, die eine beliebige Lage zu einander haben.”) Die Cylinderflächen erscheinen als spezielle Fälle der Kegelflächen und brauchen nicht besonders behandelt zu werden. Zunächst ist zu erkennen, daß jede Ebene die Kurve u in vier Punkten schneidet; es sind dies die vier gemeinsamen Punkte der beiden Kegelschnitte, die die Ebene aus den beiden Flächen ausschneidet. Die vier Punkte können alle reell sein, oder es ist ein Paar konjugiert imaginär, oder es sind zwei Paare konjugiert imaginär (vergl. 401). Die Durchdringungskurve u zweier Kegelflächen wird deshalb als Raumkurve 4. Ordnung bezeichnet, man nennt nämlich Ordnung einer Raumkurve die Zahl ihrer Schnittpunkte mit einer beliebigen Ebene. Seien nun S und S, die Scheitel unserer Kegelflächen und s ihre Verbindungslinie, so giebt es zu s eine Polarebene X, in Bezug auf den Kegel A und eine Polarebene X, in Bezug auf A2 (vergl. 478); beide mögen sich in t schneiden. Eine beliebige Ebene E durch s enthält zwei Erzeugende a, b, von A und zwei Erzeugende a, b, von A2 und die vier Punkte E = a × a, E, = a × b2, E = a, × b1, E = b, × b, von u. Der Punkt E E x E„E = J liegt auf t; denn J liegt auf X, und auf X, da G = s × EE, und J die Strecke EE, harmonisch trennen, diese aber eine gemeinsame Sehne beider Kegel bildet. Die Ebene tG schneidet A resp. N, in den Kegelschnitten , resp. l, die sich – abgesehen von E und E. – noch in zwei weiteren Punkten FF, treffen, deren Verbindungslinie wiederum durch G geht. Denn t ist die Polare von G in Bezug auf die beiden Kegelschnitte l, l. – t liegt ja in X und X2 –, nach 401 liegen also die Punkte FE x F, E, = T und FE x F, E = T auf t, während E, E. × FF = G der Pol von t für l und l, ist. Zugleich ist T der Pol von GT und T der Pol von GT für beide Kegelschnitte l, l, d. h. die Ebene sT ist die Polarebene von ST in Bezug auf A, und von S„T, in Bezug auf A2, und ebenso ist sT, die Polarebene von ST in Bezug auf A und von S,7, in Bezug auf Az. Auf jeder Geraden durch T werden mithin beide Kegelsehnen durch T und die Ebene sT, harmonisch getrennt; haben beide Sehnen also einen Endpunkt gemein, so haben sie auch den zweiten Endpunkt gemein. Jede Gerade durch T, die nach einem Punkte von u gezogen ist, trifft u noch zum zweiten Male; Gleiches gilt für die Geraden durch T. Demnach bilden T resp. T. die Scheitel zweier Kegel K. resp. K., deren Erzeugende die Kurve u je zweimal treffen; also ganz so wie es sich mit den Erzeugenden der Kegel A1 und A2 verhält. Jede Ebene durch T schneidet den Kegel K. in zwei reellen oder konjugiert imaginären Erzeugenden, auf denen paarweise die vier Schnittpunkte der Ebene mit u liegen; jede Ebene schneidet somit den Kegel K. in einer Kurve 2. Ordnung – die von jeder Geraden der Ebene in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten getroffen wird. Die früher von uns untersuchten Kegelschnitte sind solche Kurven 2. Ordnung und umgekehrt ist jede Kurve 2. Ordnung ein solcher Kegelschnitt. Die Durchdringungskurve u liegt auf vier Kegelflächen 2. Ordnung. 505. Projiziert man die Kurve u durch parallele Strahlen, oder durch Strahlen aus einem Centrum, so erhält man eine Kurve 4. Ordnung u“ mit zwei Doppelpunkten. Der Beweis hierfür ist dem in den vorangehenden Beispielen gegebenen völlig analog und kann deshalb übergangen werden. Die Kurve u' besitzt ferner acht Doppeltangenten, denn jeder der vier Kegel durch u zeigt bei der Projektion als wahren Umriß zwei Gerade, die von u in je zwei reellen oder imaginären Punkten geschnitten werden; die acht scheinbaren Umrißlinien sind dann die Doppeltangenten. Die Doppeltangenten können natürlich auch paarweise imaginär werden. Die Punkte von u liegen paarweise auf Erzeugenden des Kegels K (Gleiches gilt für die übrigen Kegel) und werden durch T und die Ebene SS,T, harmonisch getrennt, die Tangenten in den Punkten eines solchen Paares liegen in der bezw. Tangentialebene des Kegels K. und schneiden sich in einem Punkte der Ebene SS, T. Zu jedem Punkte von u lassen sich mit Hilfe des Tetraëders SS,TT noch sieben weitere Punkte von u ableiten. Acht derartig zusammengehörige Punkte liegen sowohl paarweise auf vier Strahlen durch S, wie auf vier Strahlen durch S, wie auf vier Strahlen durch T und auf vier Strahlen durch T; je zwei dieser acht Punkte werden entweder durch eine Ecke des Tetraëders SS, TT und seine Gegenseite oder durch ein Paar Gegenkanten harmonisch getrennt. Die Punkte von u in den Tetraëderseiten haben stationäre Schmiegungsebenen (vergl. 457). Es ist noch zu erwähnen, daß bei der obigen Betrachtung die Punkte F und F konjugiert imaginär sein können; dann werden auch die Scheitel T und T, und damit die bezw. Kegel imaginär; die Kurve u liegt nur noch auf zwei reellen Kegeln. 506. Spezielle Durchdringungskurven zweier Kegelflächen A1 und A2. Zwei Kegelflächen, die denselben Kegelschnitt a enthalten, haben noch einen weiteren Kegelschnitt b gemein. Seien S und S, die Scheitel der Kegel, ferner A die Ebene des Kegelschnittes a, endlich q die Polare des Punktes Q = A × SS, in Bezug auf die Kurve a. Legen wir nun durch SS, eine beliebige Ebene, die a in A, und A, schneidet, so gehören die Punkte SA, XS, A2 = B und S A2 × S„A = B, der Durchdringungskurve b an, die eine ebene Kurve sein muß. Die vier Erzeugenden bilden nämlich ein Vierseit und es liegen die Punkte A1, A2, Q und AA, × B, B, harmonisch und ebenso die Punkte S, S, Q und SS, × B, B, = R; d. h. die Gerade B, B, liegt in der Ebene q R. Aber sowohl q wie R sind unabhängig von der Wahl der Ebene durch SS, so daß die ganze Kurve b in der Ebene q R liegt und natürlich einen Kegelschnitt bildet. Die Kegelflächen berühren sich in den beiden Schnittpunkten von a und b; denn die Tangenten dieser Kurven in einem ihrer Schnittpunkte sind zugleich Tangenten der beiden Kegelflächen; ihre Ebene ist also für beide Flächen Tangentialebene und geht demnach auch durch ihre Scheitel. Umgekehrt zerfällt die Schnittkurve u zweier Kegel, die sich an zwei Stellen J und K berühren, in zwei Kegelschnitte. Denn eine Ebene durch J, K und einen Punkt P von u schneidet beide Kegel in Kegelschnitten, die sich in J und K berühren und durch P gehen, also zusammenfallen. Zwei Kegel mit gemeinsamem Scheitel durchschneiden sich in vier Erzeugenden. Zwei Kegelflächen, von denen jede den Scheitel der andern enthält, durchdringen sich in einem Kegelschnitt, wenn sie sich längs der Verbindungslinie der Scheitel berühren. Ist SS, = s die gemeinsame Erzeugende und X die Ebene, die beide Kegel A und A2 längs s berührt, sind ferner a , a2; b1, b2; c, c2; d., d. . . . sich schneidende Erzeugende beider Kegel und A, B, C, D, . . . ihre Schnittpunkte, so betrachten wir zwei Ebenenbüschel mit den Achsen s resp. a1, die den Kegel A erzeugen und zwei Ebenenbüschel mit den Achsen s resp. a2, die den Kegel N, erzeugen. Der Ebenenbüschels (b1, ci, d, . . . s) oder s (b2, c2, d„, . . . s) ist zu den Büscheln a (b, c, d, . . . s) und a2 (b, c, d . . . s) projektiv, da sie Kegelflächen miteinander erzeugen; die letzten beiden Büschel sind aber zugleich perspektiv, denn die Ebenen aus und ags sind identisch; ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich also in den

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