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bringen; eine von ihnen besitzt die Spur EF in TT, die andere die Spur AB in E. Ihre Schnittlinien mit einer Hilfsebene sind den bezüglichen Umrißlinien parallel; die Hilfsebene durch einen Punkt Z von e schneidet TI, in ZM, ( TR) und E in ZM ( TU, ZMTU); durch M. auf EF und durch M' auf AB zieht man die Parallelen zu den bez. Umrißlinien; sie treffen sich in einem Punkte G' von s'. Ganz analog ergiebt sich der Punkt H' von s'. Die Schnittpunkte von i und j bestimmt man nun nicht direkt, sondern projiziert beide Kurven durch Strahlen parallel zu den Mantellinien des ersten Cylinders auf TT. Bezeichnet man mit , und j, diese Projektionen von i und j, so ist ,=k und zugleich EF=s, die gleichnamige Projektion von s; die eine Achse A, B, von j, liegt auf s, die andere C, D2 steht in M, darauf senkrecht, da ja beim Kreise konjugierte Durchmesser zu einander senkrecht sind. Die Punkte A, B, M, C, D, liegen hierbei auf Parallelen zu R, T, die er in den nämlichen Punkten treffen, wie die Geraden durch A, B, M', C, D, die zu UT parallel sind (A'Y UT WA, TR, u. s. w.); denn je zwei entsprechende Punkte A, A, u. s. w. liegen in einer der parallelen Hilfsebenen. Wir haben nun die Schnittpunkte von k und j, zu bestimmen, wobei wir nach 396 u. ff. verfahren könnten, indem wir an dem unendlich fernen Punkte von C, D, die Involution gemeinsamer harmonischer Polaren und ihre Doppelstrahlen bestimmen. Die ersten Projektionen der zugehörigen Mantellinien des ersten Cylinders decken sich dann paarweise und tragen die beiden Doppelpunkte 1, 2 von u' (in der Figur ist 1 ein gewöhnlicher, 2 ein isolierter Doppelpunkt). Die vier Schnittpunkte von k und j, liegen paarweise auf zwei zu s, normalen Geraden g und g2; k, j, und das Geradenpaar gig, bilden also drei Kegelschnitte eines Büschels mit den nämlichen vier Grundpunkten und werden deshalb von jeder Geraden in drei Punktepaaren einer Involution geschnitten. Loten wir alle diese Involutionen auf s, so haben dieselben alle ein Punktepaar gemein, nämlich das Punktepaar G =g X s2, G2 = g2 × s2; wir können dieses also als gemeinsames Punktepaar zweier Involutionen finden. Die eine Involution ist bestimmt durch die beiden Punktepaare E, F und A, B,; zwei Punktepaare einer andern Involution erhalten wir, indem wir k und j, mit einer Geraden schneiden und die Schnittpunkte auf s, loten; am besten wählt man dazu die Gerade durch C, parallel zu s, die also j, berührt. Das Aufsuchen des gemeinsamen Punktepaares G1, G2 zweier Involutionen geschieht dann nach 353. Die Bestimmung der Doppelpunkte von u“ kann analog vorgenommen werden. Die Doppelpunkte von u können entweder reell oder konjugiert imaginär sein, je nachdem das gemeinsame Punktepaar der beiden Involutionen reell oder imaginär ist. Die reellen Doppelpunkte sind entweder beide gewöhnliche oder beide isolierte, oder es giebt unter ihnen einen gewöhnlichen und einen isolierten, je nachdem k und j, vier, oder keinen, oder zwei reelle Punkte gemeinsam haben. 500. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden Kreiscylinder (Fig. 317). Der Basiskreis k des Kegels liege in TT, der Basiskreis c des Cylinders in einer beliebigen Ebene E mit den Spuren e und e, und es sei c" der um e in TT, umgelegte Kreis c. Zur Konstruktion benutzen wir eine Seitenrißebene TT, die zu TT senkrecht und zu den Mantellinien des Cylinders parallel ist, also auf e senkrecht steht; gleichzeitig soll TT, durch den Scheitel S des Kegels gehen (y = TT, x TT, y Le). Wir suchen dann die dritte Spur es von E und mit ihrer Hilfe die kleine Achse BC von c (Y = y × e, YB“=CB"), wonach sich dann der Grundriß des Cylinders ergiebt. Nun ziehen wir durch S eine Parallele a zu den Erzeugenden des Cylinders, sie liegt in TT, und schneidet TT in A und E in A2 (a“-Les, a“ × y = A1, a“ × es = A2“, A, A,“ Ly). Alle Hilfsebenen durch die Achse a schneiden sowohl aus dem Cylinder wie aus dem Kegel Mantellinien, ihre Schnittpunkte gehören der Durchdringungskurve u an. Jede Hilfsebene besitzt in TT eine durch A, verlaufende Spur und in E eine durch A, verlaufende Spur, beide Spuren schneiden sich auf e. Verbindet man also irgend einen Punkt von e einerseits mit A, andererseits mit A,, so schneidet erstere Linie k in zwei Punkten und bestimmt so zwei Erzeugende des Kegels, während letztere Linie c' in zwei Punkten trifft und so zwei Erzeugende des Cylinders bestimmt; die vier Schnittpunkte dieser Erzeugenden liegen auf u. Anstatt nun c' mit den Strahlen durch A, zu schneiden, ist es zweckmäßig, die Ebene E um e in TT umzulegen und c" mit den Strahlen durch A2" zu schneiden. So erhält man z. B. auf der Umrißlinie des Cylinders, die c' in E' berührt, die Berührungspunkte F und G von u, indem man den Punkt A "E" × e mit A, verbindet, diese Linie mit k in F und G schneidet; dann liegt F auf SF und G auf SG. Berührt A,"U den Kreis c" in H" und schneidet A, U den Kreis k in J und K, so berühren SJ und SK die Kurve u in J“ und K', wo H°, J, K' auf einer Parallelen zu y liegen. Berührt A, Y den Kreis k in L, und schneidet A,"Y den Kreis c" in M" und N", so werden die zugehörigen Erzeugenden des Cylinders von u berührt, so die Erzeugende durch M im Punkte L (M"L'y, SL × M"L = L). Im besonderen schneidet TT, Cylinder und Kegel

Fig. 317.

in Erzeugenden, deren Schnittpunkte aus dem Seitenriß entnommen werden können, man erhält so die vier Schnittpunkte von u mit y. Um den Aufriß u“ der Durchdringungslinie genau zu zeichnen, verfährt man am besten so, daß man für jeden Punkt von u“ die zweiten Projektionen der beiden Mantellinien, die ihn enthalten, aufsucht. Die Mantellinien des Kegels ergeben sich unmittelbar im Aufriß; um diejenigen des Cylinders zu gewinnen, machen wir folgende Überlegung. Die projizierenden Ebenen durch die Erzeugenden des Cylinders stehen auf TT, und auf E, also auch auf e, senkrecht; sie schneiden deshalbE in zu e, senkrechten Geraden. Legt man diese Geraden mit der Ebene E um e, in TT, nieder, so sind sie zu e2" senkrecht, wenn e," die mit E niedergelegte zweite Spur bedeutet. Der zu e, parallele Durchmesser PQ des Kreises c erscheint im Aufriß als die zu e, parallele Achse P"Q“ von c“, deren Endpunkte den Umrißlinien des Cylinders angehören; um sie zu zeichnen, benutzt man den zu e," parallelen Durchmesser P°Q° von c", lotet P%, Q" auf e," und überträgt sie von da auf e2; durch diese Punkte gehen dann die verlängerten Umrißlinien. Die ersten Projektionen dieser Umrißlinien gehen verlängert durch die Punkte resp. Q", sie enthalten je zwei Punkte von u, die von je zwei Erzeugenden des Kegels ausgeschnitten werden, deren erste Spurpunkte auf den Verbindungslinien von A, mit e × P°A," resp. e, × Q"A2" liegen. Hiernach ergeben sich die Berührungspunkte von u“ mit den Umrißlinien des Cylinders und ganz analog mit den Umrißlinien des Kegels, wenn man Hilfsebenen durch a benutzt, die sie enthalten. Ist L“ irgend ein Punkt von u“, so sind seine Abstände von den Umrißlinien des Cylinders gleich den gegenseitigen Abständen der drei projizierenden Ebenen durch die bezüglichen Erzeugenden des Cylinders. Da aber PQ (le,) zu den projizierenden Ebenen normal ist, so haben ihre Schnittpunkte mit PQ die gleichen Abstände wie sie selbst; diese Schnittpunkte sind P, Q und R, wenn MR L PQ und M der auf c liegende Endpunkt der durch L gehenden Mantellinie des Cylinders ist. Die Abstände des Punktes L“ von den Umrißlinien des Cylinders sind demnach gleich R"P" resp. R"Q" (M"R" L P"Q", L/M"y); u“ berührt im Punkte I" die Projektion der bez. Mantellinie des Cylinders, da u die Mantellinie selbst in L berührt. Ganz analog können wir für jeden Punkt von u“ die durch ihn verlaufende Erzeugende des Cylinders finden. Die Sichtbarkeit der Kurven u und u“ ergiebt sich wie in der vorausgehenden Aufgabe, indem man beim Cylinder und Kegel, und zwar bei jedem für sich allein, die sichtbaren Teile aufsucht; die Punkte der Kurven u resp. u“, die den sichtbaren Teilen beider Flächen angehören, sind selbst sichtbar. Die sichtbaren Teile der Kurven u und u“ enden auf den Umrißlinien der Flächen.

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501. Die Projektionen der Durchdringungskurve u unserer Flächen zeigen wie im vorhergehenden Beispiele je zwei Doppelpunkte. Wir wollen hier die Konstruktion der Doppelpunkte von u“ besprechen, die sich zur früheren im wesentlichen analog gestaltet. Alle zu TI, normalen Sehnen des Kegels werden von einer zu TI, parallelen Ebene durch S halbiert, alle zu TI, normalen Sehnen des Cylinders werden von einer Ebene halbiert, welche die Mantellinien durch P und Q enthält, die im Aufriß als Cylinderumriß erscheinen. Die Schnittlinie s beider Ebenen ergiebt sich hieraus; s' | r geht durch S', s“ e, geht durch O,“, wenn O, der Schnittpunkt der Cylinderachse mit s ist (OO, y, O“O,“ Le). Die Ebene durchs senkrecht zu TT, schneidet den Kegel in einer Ellipse , deren eine Achse XX, ist (X“ und X,“ liegen auf den Umrißlinien des Kegels), sie schneidet den Cylinder in einer Ellipse j,, deren eine Achse ZZ, ist (Z“ und Z“ liegen auf dem Umriß des Cylinders). Die vier Schnittpunkte von , um j, haben dann folgende Eigenschaften (vergl. 396 u. ff). Ihre Projektionen auf TT, fallen paarweise in die Doppelpunkte 1 und 2 von u“ zusammen. Jede Gerade in der Ebene der beiden Kegelschnitte , und j, schneidet diese in zwei Punktepaaren, deren Projektionen auf TT, zwei Punktepaare einer Involution liefern, der auch das Punktepaar 1, 2 angehört. So bilden X“, X,“; Z“, Z“ und 1, 2 drei Punktepaare einer Involution. Eine zweite Involution erhalten wir, wenn wir im Endpunkte W, der zweiten Achse von j, die Tangente g von j, ziehen (g' s, g“ = s“). Um die Schnittpunkte T, T von g mit dem Kegel zu gewinnen, schneiden wir den Kegel mit der Ebene Sg, deren erste Spur G, W, ist (G ist die erste Spur von g und W, die erste Spur von SW, W„“ = 0,“); G, W, schneidet dann auf k die Spurpunkte der Mantellinien des Kegels aus, die T, T enthalten. Die drei Punktepaare O,“ (doppelt), T“T“ und 1, 2 bilden dann ebenfalls eine Involution und aus beiden Involutionen ergeben sich 1 und 2 nach 353.

502. Durchdringung von Kugel und Kegel (Fig. 318). Hierbei wird man stets Hilfsebenen in Anwendung bringen, die das von dem Kegelscheitel auf eine Projektionsebene gefällte Lot enthalten; außerdem wird man eine zweite Projektionsebene wählen, die zur Ebene der Basiskurve des Kegels senkrecht steht. In der Figur ist der Einfachheit halber die Basiskurve c des Kegels in TT, angenommen; S, S“ sind die Projektionen des Scheitels, k“ und l“ die scheinbaren Umrißkreise der Kugel. Sind von c ein Paar konjugierte Halbmesser MA und MB gegeben, so zeichne man einen zu c affinen Kreis c mit dem Radius MA; dann ist B, der affine

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