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unten hinten liegenden Raumquadranten, die Punkte P, P., P., P. J“ resp. der Halbebene

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tes P leitet man die dritte P“ mit Hilfe der Fußpunkte P, und P der von P“ auf die Nebenachsen y und z gefällten Perpendikel ab (Fig. 30). Mit Rücksicht auf den in jeder Achse festgesetzten Sinn der von 0 ausgehenden Strecken stimmen OP und OP, nach Größe Z und Vorzeichen mit dem p" ersten und zweiten Tafel------ abstand des Punktes P, d. h. mit PP“ und PP überein. OP. ist der dritte Tafelabstand. 41. Den geometrischen 7 P, 0 P- “ Ort aller Punkte des Rau1 mes, die von beiden Pro- jektionsebenen gleiche AbF - stände haben, bilden zwei die Achse enthaltende Ebenen, welche die von den Tafeln gebildeten rechten Winkel Fi halbieren und deshalb Halig. 30. - bierungsebenen heißen. Die beiderlei Projektionen der Punkte in der ersten Halbierungsebene H, welche durch den oben vorn und den unten hinten liegenden Raumquadranten geht, liegen nach Vereinigung der Tafeln symmetrisch zur Achse, die Projektionen der Punkte in der zweiten Halbierungsebene H2 fallen zusammen. 42. Die Gerade. Die Projektionen g' und g“ einer Geraden g sind zwei gerade Linien, deren Punkte paarweise als die beiden Projektionen eines Raumpunktes zusammengehören und auf zur Achse senkrechten Geraden liegen. Hieraus folgt: Falls eine der Projektionen zur Achse rechtwinklig steht (also g in einer Normalebene zu r liegt), fallen

Fig. 29.

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beide Projektionen in die nämliche Gerade. Steht die Gerade auf einer Projektionsebene senkrecht, so ist die eine Projektion ein Punkt und die andere eine Senkrechte zur r-Achse durch diesen Punkt. Umgekehrt können je zwei (getrennte oder zusammenfallende) Gerade g' und g“, sofern nur keine von ihnen auf der Achse senkrecht steht, als die beiden Projektionen einer bestimmten Geraden g des Raumes betrachtet werden, die man nach dem Früheren als Schnitt der durch g' und g“ gelegten projizierenden Ebenen erhalten kann. 43. Jeder der beiden Spurpunkte von g fällt mit seiner gleichnamigen Projektion zusammen, während die

Fig, 31.

ungleichnamige auf der Achse liegt. Demnach findet man G, auf g, indem man auf der Achse in ihrem Schnittpunkt mit g eine Normale errichtet; analog findet sich G2. Umgekehrt sind durch die Spuren G und G, die Fußpunkte G“ und G., der von ihnen auf die Achsen gefällten Lote und die Projektionen von g als die Verbindungslinien g= G G, und g= G„G“ bestimmt. Die von den Spurpunkten begrenzte Strecke G G, der Geraden g kann in jedem der von den Tafeln gebildeten Raumquadranten liegen. gestellt. Ist in einer der Tafeln die Projektion von g der Achse parallel, so liegt in der anderen der Spurpunkt unendlich fern, folglich ist g selbst letzterer parallel. Mit g' und g“ wird zugleich g der Achse parallel. Die Darstellung solcher Spezialfälle durch Figuren ist dem Leser überlassen. Liegen g' und g“ symmetrisch zur Achse, so ist dies auch für die beiden Projektionen eines jeden Punktes der Geraden g der Fall; letztere fällt daher in die erste Halbierungsebene H. Fallen g und g“, mithin Grundriß und Aufriß eines jeden Punktes von g aufeinander, so gehört g der zweiten Halbierungsebene H, an. 44. Eine senkrecht zur Achse gezogene Gerade tritt nur als Projektion einer rechtwinklig zu r gerichteten Geraden g auf und enthält daher gleichzeitig beide Projektionen g' und g“. Durch die Annahme, daß g' und g“ in eine gegebene Vertikale fallen, wird aber lediglich die g enthaltende Normalebene zur Achse fixiert; es bleibt also noch die Lage von g in dieser Ebene zu bestimmen. Hierzu kann die zu g parallele - Seitenprojektiong“ dienen, deren Verzeichnung gemäß der früher „“ für die Umlegung der Seitenriß- ebene TT, in die Zeichnungs„“ r ebene gegebenen Vorschrift erT>< folgt. Die Spurpunkte G und S> < e G2 findet man auf g=g“, wenn man in den Schnittpunkten von g“ mit den Nebenachsen y und z Fig. 33. Normale zu diesen errichtet (Fig. 32). – Bei direkter Angabe von G und G2 wird der Seitenrißg“ im allgemeinen entbehrlich; nur wenn G und G2 in einen Punkt der Achse zusammenfallen, also g diese selbst schneidet, ist g“ unumgänglich. – Wenn im besonderen einer der Spurpunkte G und G2 unendlich fern liegt, steht g im anderen

Diese vier Lagen der Geraden sind in den Figuren 31 a, b, c, d dar

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auf der bezw. Tafelebene senkrecht; die eine Projektion ist ihr Spurpunkt, ihre beiden anderen Projektionen sind wie g selbst zu einer Nebenachse parallel. – Mit Hilfe des Seitenrisses g“ wird die Aufgabe gelöst: von einer als Verbindungslinie zweier Punkte P und Q gegebenen Geraden g die Spuren zu konstruieren, wenn die Projektionen P, P, Q, Q“ in einer Senkrechten zur Achse r liegen. Man sucht zuerst P“ und Q“, sodann zieht man den Seitenriß g“= P"Q“ und findet mit seiner Hilfe G und G2.

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45. Die Ebene. Die Spuren e und e2 einer Ebene E sind zwei Gerade, die sich in einem Punkte E. der Achse schneiden. Ist E der Achse parallel, so sind es auch e und eg. Umgekehrt dürfen je zwei sich auf der Achse schneidende, oder zu ihr parallele Gerade e und e, als Spuren einer Ebene angenommen werden. Schneiden sich die Spuren in einem erreichbaren Punkte der Achse (Fig. 33), so bilden sie in der des Raumes angehören. Ist e zur Achse senkrecht, so ist E zu TI, normal; ist dagegen e, rechtwinklig zur Achse, so steht E zu TI senkrecht; findet beides gleichzeitig statt, so ist E normal zur Achse. In diesen drei Fällen sind in E selbst die Spuren zu einander rechtwinklig. Sind beide Spuren zur Achse parallel, so gilt dies auch von E und umgekehrt. E zerfällt dann durch e und e2 in drei, je in einem Raumquadranten verlaufenden Parallelstreifen; der vierte Quadrant enthält überhaupt keinen Punkt von E. Die Figuren 34a, b, c,d entsprechen den hierbei möglichen Fällen. Um die Lage von E deutlicher zu machen, ist jedesmal außer e. und e, in der umgelegten Seitenrißebene die dritte Spure, mitgezeichnet. – Fallen die beiden ersten Spuren e, und e, in die Achse zusammen, so ist die Angabe der dritten Spur e, (die den Ursprung enthält) zur Bestimmung von E erforderlich. Da es in diesem Falle nicht nur die dritte Spur, sondern zugleich die dritte Projektion von E darstellt, so verbindet dieselbe die dritte Projektion eines beliebig auf E gegebenen Punktes P mit dem Ursprung O, also e, = 0P“ (Fig. 35).

Ebene E selbst vier Winkelfelder, deren Punkte je einem Quadranten

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Punkte, Gerade und Ebenen in vereinigter Lage. Verbindungsund Schnittelemente. Parallelismus.

46. Aus der Entwickelung der Darstellungsmethode für Punkte, Gerade und Ebenen folgen eine Reihe allgemeiner Sätze. Die Projektionen eines Punktes P liegen auf den gleichnamigen Projektionen jeder durch ihn gehenden Geraden g. Die Spurlinien einer Ebene E enthalten die gleichnamigen Spurpunkte jeder auf ihr liegenden Geraden g. 47. Schneiden sich zwei Gerade g und h, so sind die Projektionen P und P“ des Schnittpunktes P die Schnittpunkte h und g' × h“ der gleichnamigen Projektionen der Geraden, folglich ist ihre Verbindungslinie zur Achse senkrecht (Fig. 36 und 38). – Sind zwei Gerade parallel, so sind ihre gleichnamigen projizieren den Ebenen und folglich ihre gleichnamigen Projektionen parallel (Fig. 37).

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