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495. In der Abwickelung sind SC1 und SD1 zu u parallel, auf dem Kegel tragen deshalb die Mantellinien SC, und SD, die unendlich fernen Punkte der geodätischen Linie. Die Tangente in einem Punkte P der geodätischen Linie schließt mit der Erzeugenden SP8 den gleichen Winkel ein, wie die Gerade u mit der abgewickelten SP8. Der Spurpunkt Q jener Tangente liegt deshalb auf der Kreistangente des Punktes 8 in der Entfernung Q8, die wir aus der

Abwickelung entnehmen können; ihre Projektionen sind QP' und Q"P". Ganz ebenso erhält man als Spurpunkte der Asymptoten von u d. h. der Tangenten in den unendlich fernen Punkten die Punkte R und T; sie liegen auf den Tangenten der Punkte D, und C1 respektive und die Strecken D1R und CT sind den bezüglichen Strecken in der Abwickelung gleich. Die Asymptoten i, j selbst sind zu den Geraden SC, und SD, parallel, ihre Projektionen also zu S'C, S'D1, S"C", 8"D1".

Die Projektion u' ändert den Sinn ihrer Krümmung nicht, dagegen u"; als Wendepunkte von u" projizieren sich die Punkte von u, deren Schmiegungsebenen auf П, senkrecht stehen; die ersten Spurlinien dieser Schmiegungsebenen stehen also auf der x-Achse senkrecht. Bestimmt man demnach die Spurkurve der abwickelbaren Fläche unserer geodätischen Linie und legt an sie Tangenten senkrecht zur x-Achse, zieht durch ihre Berührungspunkte die bezüglichen Tangenten an k und durch deren Berührungspunkte die Mantellinien, so schneiden diese aus u die Punkte aus, die sich im Aufriß als Wendepunkte projizieren. Läßt man in der Figur einen Punkt auf u von E nach P wandern, so beschreibt die zugehörige Tangente in П, eine Spurkurve, die E mit Q verbindet; dieses Kurvenstück EQ besitzt eine zur z-Achse senkrechte Tangente, woraus sich der zugehörige Wendepunkt auf P"E" mit seiner Tangente ergiebt (in der Figur ist die Konstruktion weggelassen).

Durchdringung von Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen.

496. Um die Durchdringungslinie oder Schnittkurve zweier beliebiger Oberflächen zu zeichnen, muß man eine Reihe einzelner Punkte von ihr bestimmen. Dieses geschieht dadurch, daß man auf beiden Oberflächen Kurven aufsucht, die sich wirklich schneiden und so in den Schnittpunkten Punkte der Durchdringungslinie liefern. Schneidet man die gegebenen Oberflächen mit einer dritten, so erhält man auf denselben Kurven, deren Schnittpunkte auf der Durchdringungslinie liegen. Hiermit wird scheinbar unsere ursprüngliche Aufgabe: die Schnittkurve zweier Oberflächen zu finden, auf eine kompliziertere Aufgabe: die beiden Oberflächen mit einer dritten zu schneiden, zurückgeführt; da man indessen die dritte oder Hilfsoberfläche beliebig wählen darf, so läßt sich diese Wahl so treffen, daß die Schnittkurven mit den gegebenen Oberflächen leicht angegeben werden können. Es kommt also bei der Konstruktion der Durchdringungslinie zweier Flächen im wesentlichen darauf an, geeignete Hilfsflächen ausfindig zu machen. In den allermeisten Fällen benutzt man Ebenen als Hilfsflächen und es ist in jedem einzelnen Falle zu überlegen, welche Hilfsebenen am besten geeignet sind, um die Konstruktion so viel wie möglich zu vereinfachen. Häufig können Hilfsebenen parallel oder senkrecht zu einer Projektionsebene Verwendung finden, wobei dann die eine Projektion der in den Hilfsebenen liegenden Schnittkurven als gerade Linie erscheint.

497. Auf den Cylinder- und Kegelflächen liegen gerade Linien, die Erzeugenden oder Mantellinien; die Hilfsebenen zur Konstruktion der Durchdringungslinie zweier solcher Flächen wählt man deshalb so, daß sie beide Flächen in Erzeugenden schneiden. Handelt es sich dabei um zwei Kegel, so müssen die Hilfsebenen durch die Verbindungslinie ihrer Scheitel gelegt werden; handelt es sich um einen Kegel und einen Cylinder, so legt man die Hilfsebenen durch die Gerade, die durch den Scheitel des Kegels parallel zu den Mantellinien des Cylinders verläuft; sollen endlich zwei Cylinderflächen zum Durchschnitt gebracht werden, so nimmt man lauter Hilfsebenen, die den Erzeugenden beider parallel sind. Um die Mantellinien zu bestimmen, die eine Hilfsebene aus einer Cylinder- oder Kegelfläche ausschneidet, deren ebene Basiskurve man kennt, hat man nur die Schnittgerade der Hilfsebene und Basisebene mit der Basiskurve zu schneiden; durch diese Schnittpunkte verlaufen die gesuchten Mantellinien. Welcher Art die Basiskurve ist, ist hierbei gleichgültig.

498. Die Durchdringung zweier Cylinderflächen zu finden, deren Grundkurven Kegelschnitte sind (Fig. 316). Der eine Cylinder möge eine kreisförmige Basis k in П1, der andere eine elliptische c in einer Ebene E mit den Spuren e,, e, besitzen, die Aufriẞebene П, möge auf E senkrecht stehen (e1 1 x). Wir ziehen zunächst durch einen beliebigen Punkt Q Parallele zu den Mantellinien des einen und des andern Cylinders, deren erste Spurpunkte R, und S, wir aufsuchen. Die ersten Spurlinien der zu den Erzeugenden beider Cylinder parallelen Hilfsebenen sind dann zu R11 parallel; ihre Spurgeraden in der Basisebene E des zweiten Cylinders sind parallel zu TU und deren Projektionen zu TU′ (T= e̟1 × R1§1, U′′=e3 × QS1", U' auf Q'S1). Zieht man demnach durch einen beliebigen Punkt auf e1 Parallele zu R, T und TU', schneidet erstere mit k, letztere mit c' und legt durch diese Schnittpunkte die Projektionen der Erzeugenden der bez. Cylinder, so durchkreuzen sie sich in vier Punkten der Projektion u' der Durchdringungslinie. Die Kurve u berührt die scheinbaren Umriẞlinien beider Cylinder je zweimal; die Berührungspunkte können auch konjugiert imaginär sein. Die Berührungspunkte der Umrißlinie, die c' in A' berührt, erhält man, wenn man durch A eine Parallele zu U'T und durch ihren Schnittpunkt mit e1 eine Parallele zu TR1 zieht; letztere schneidet k in O und P; die zugehörigen Mantellinien enthalten dann die Berührungspunkte J' resp. K'. Ganz analog erhält man die Berührungspunkte von u" mit den Umrißlinien des Aufrisses, indem man die Hilfsebenen durch die be

züglichen Mantellinien legt. Die Hilfsebenen, welche den ersten Cylinder berühren, deren erste Spuren also k tangieren, schneiden den zweiten Cylinder in zwei Mantellinien, die von u und deren Projektionen von u resp. u" berührt werden. Ebenso schneiden die Hilfsebenen, die den zweiten Cylinder berühren, deren Spuren in E

also c tangieren, den ersten Cylinder in je zwei Mantellinien, deren Projektionen u resp. u" berühren.

Die Tangentet von u in einem Punkte N erscheint als Schnitt der beiden Ebenen, die die Cylinder längs der bez. Erzeugenden NP resp. NL tangieren. Die Spur der einen in П, berührt k in P, die Spur der andern in E berührt c in L und ihre Projektion be

Die

rührt c in Ľ. Die Hilfsebenen schneiden diese beiden Tangentialebenen in Geraden, die zu den bez. Mantellinien parallel laufen, daraus ergiebt sich die Konstruktion eines Punktes von Spur WX (|| R1T) der Hilfsebene schneidet die genannten Tangenten von k und e' in X und W (wobei We1 × WL gewählt ist); sind W: = dann XY' und WY' respektive parallel zu den Umrißlinien des ersten und zweiten Cylinders, so ist ein Punkt von t'; mit Hilfe des ersten Spurpunktes t'x PX läßt sich unmittelbar t" zeichnen. Was die Sichtbarkeit von u und u" anlangt, so ist zu bemerken, daß nur solche Teile dieser Kurven sichtbar sein können, die sich auf den sichtbaren Teilen beider Cylinder befinden. Man sucht also bei beiden Cylindern die sichtbaren Teile auf und zwar so, als ob jeder nur allein vorhanden wäre; sie werden von den Umrißlinien begrenzt; ein Punkt von u' (oder u") ist dann sichtbar, wenn die Erzeugenden durch ihn bei beiden Cylindern auf den sichtbaren Teilen ihrer ersten (oder zweiten) Projektion liegen. Die sichtbaren Teile von u resp. u" endigen auf den Umrißlinien.

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499. Jede beliebige Projektion von u zeigt zwei Doppelpunkte gewöhnliche oder isolierte oder imaginäre - wie wir jetzt nachweisen wollen. Wir werden im Folgenden speziell die Doppelpunkte von u bestimmen, die Betrachtungen bleiben indessen mit geringen Modifikationen für jede beliebige Projektionsrichtung gültig. Alle zu П, normale Sehnen des ersten Cylinders werden durch eine Ebene halbiert, die auch die Berührungspunkte der zu П, normalen Cylindertangenten und somit die Umriẞlinien des Cylinders enthält (vergl. 478); die erste Spur dieser Ebene ist EF, wenn £ und F die Spurpunkte der Umrißlinien sind. Ebenso halbiert eine Ebene die zu П1 normalen Sehnen des zweiten Cylinders, sie enthält seine Umriẞlinien und schneidet seine Basisebene E in AB. Die Schnittlinie beider Ebenen sei s, die erste projizierende Ebene durch s schneide den ersten Cylinder in dem Kegelschnitt i, den zweiten in dem Kegelschnitt j. Die Linie s halbiert zugleich die zu П, senkrechten Sehnen von i und von j; s ist deshalb ein gemeinsamer Durchmesser von i und j; die zu s konjugierten Durchmesser von i und j stehen auf П, senkrecht. Die vier Schnittpunkte von i und j liegen paarweise auf zwei Normalen zu П,, ihre ersten Projektionen liefern die beiden Doppelpunkte von u'; es kommt also nur noch darauf an, die Schnittpunkte von i und j zu finden.

Um zunächst die Projektion s' von s zu zeichnen, auf der die gesuchten Doppelpunkte von u' liegen, haben wir die beiden Ebenen, die die Umrißlinien unserer Cylinder enthalten, zum Schnitt zu