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genten von E an k berühren in C und D und diesen Punkten entsprechen die Endpunkte L und M der zweiten Achse von u. Ist Y= e X ED, so ist WM" ES“, denn E ist der Verschwindungspunkt der Kreistangente DE. Auch die Kurven u° und k sind perspektiv, er ist die Achse, das Centrum liegt auf f um die Strecke S„E über E hinaus (vergl. 164). 491. Beim Abwickeln des Kegelmantels gehen die Mantellinien in Strahlen durch den festen Punkt S und der Grundkreis k in einen Kreisbogen mit dem Radius S„A über; die Länge dieses Kreisbogens wird gleich der Peripherie von k, was man durch Übertragen kleiner Teilstücke – etwa 24 Teile – erzielt. Der Kreissektor, der den abgewickelten Kegelmantel darstellt, hat einen Centriwinkel von 4 F . Ä. In Fig. 312 ist noch der in ABC liegende Seitenriß 0 des Kegels eingezeichnet, in dem sich u als gerade Linie projiziert, so daß man unmittelbar die Projektionen der einzelnen Mantellinien und ihrer zwischen k und u liegenden Teile, sowie deren wahre Längen entnehmen kann, die man dann auf die abgewickelten Mantellinien aufträgt. Um die Wendepunkte des abgewickelten Kegelschnittes zu bestimmen, suchen wir die Tangentialebenen des Kegels auf, die zu E senkrecht sind, indem wir von S ein Lot auf E fällen, und von seinem ersten Spurpunkte N(S„N_L f) die beiden Tangenten an k ziehen. Diese Tangenten sind die ersten Spurlinien der gesuchten Tangentialebenen; berührt eine derselben den Kegel längs der Mantellinie SU, und trägt diese den Punkt P von u, so wird P bei der Abwickelung zum Wendepunkt. Schneidet die

ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 24

A.

Fig. 312.

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Kreistangente NU die Spur e in T, so ist PT die Tangente von u im Punkte P; die bezüglichen Tangenten der abgewickelten Kurven k und u bilden ein rechtwinkliges Dreieck PUT, das zu dem A PUT der ursprünglichen Figur kongruent ist. Ganz ebenso wie die Wendetangente in P überträgt man auch andere Tangenten in die Abwickelung. Die Punkte J und K sind Scheitelpunkte der abgewickelten u, die zugehörigen Krümmungsradien JJ und KK, findet man nach 452 als g: cos Z SIK und g: cos Z_ BKJ, wenn g den Krümmungsradius der Ellipse u" in den Punkten Jo und K° bedeutet (JJ, = KK, = 0, J. J, LJK, KK, LJK).

492. Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 313 u. 314).

Wir benutzen außer der Ebene TT, des Grundkreises k noch eine zweite Horizontalebene TT, durch den Scheitel S des Kegels; die Ebene E hat dann die parallelen Spuren e und es (ese). Eine beliebige Spurlinie d in TT und eine zu ihr parallele Spurlinie d

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durch S bestimmen eine Ebene, deren Schnittlinie mit E die Spurpunkte d × e und d, x es besitzt und aus dem Kegel die nach den Schnittpunkten von d und k verlaufenden Mantellinien ausschneidet; dadurch ergeben sich jedesmal zwei Punkte von u. Nimmt man speziell als Spurlininie d den Durchmesser A. B. L e an, so sind A = SA, × FG, und B = SB × FG, Endpunkte eines Durchmessers von u (F = A, B × e, G„S' A, B, G. = G„S“ x eg); denn AB halbiert alle Sehnen von u, die zu e parallel sind, und somit ist O' der Mittelpunkt von u“ (O'A' = O'B). Jede Ebene durch SO liefert nun einen Durchmesser von u, ihre Spurlinie muß durch

Fig. 314.

O, gehen (O, = A, B × 80); die Spurlinie C, D | e durch O, liefert insbesondere den zu AB konjugierten Durchmesser CD (CD'e). Durch Umlegen dieser Durchmesser um e in TT, erhält man die konjugierten Durchmesser A, B, C, D, von u. Sind X und Y die Berührungspunkte der Umrißlinien mit k, so enthält die Ebene SX, Y den wahren Umriß; schneidet man also X, Y mit e in H, und die Parallele zu XY durch S mit e, in H„, so trifft HH, den Umriß in den Berührungspunkten X und Y von u. (N = CD, × X, Y, MS'X CD = M", HN“ = XY). Faßt man (nach 162) k und u als perspektive Figuren mit dem Centrum S und der Achse e auf, so ist es die Fluchtlinie und e, die Verschwindungslinie, wobei ele, ebensoweit von e absteht wie S“ von eg. Die Polare des Punktes J = A, B × e, muß wieder CD, und O, der Pol von e, sein (JC berührt k in C). J, O, und der unendlich ferne Punkt von e bilden ein Poldreieck von k; das Bild von e, fällt ins Unendliche, also ergeben die Bilder von A, B, und C, D, konjugierte Durchmesser von u (AB SJ geht durch F. CDI e, geht durch O, wo 0 das Bild von O, ist). Ist K der Schnittpunkt von e, mit der Kreistangente JC, so ist CK I SJ die Tangente von u in C und C„K die Tangente von uo in Co. 493. Zur Abwickelung des Kegelmantels nehmen wir die Ebene SPQ, die ihn in zwei symmetrische Teile zerlegt, und teilen den Kreisumfang von k von P ausgehend in lauter gleiche Stücke, etwa 24; die zugehörigen Mantellinien zerlegen den Kegelmantel in 24 Teile. Annäherungsweise kann nun der Kegel durch eine 24-seitige Pyramide ersetzt werden, deren Seitenflächen Dreiecke sind, die je zwei Mantellinien zu Seiten und gleiche Sehnen des Grundkreises zu Grundlinien haben. Die Abwickelung geschieht durch Nebeneinanderlegen der genannten Seitenflächen, wozu man die Längen der nach den 24 Teilpunkten laufenden Mantellinien braucht. Diese Längen findet man unter Benutzung einer Aufrißebene, die durch S senkrecht zu e gelegt ist, indem man die einzelnen Mantellinien um SS“ in diese Aufrißebene dreht (SP = SP", SP = SP", SQ, = SQ," etc.); hierbei ergeben sich auch ihre Schnittpunkte mit u (P = SP × E, P“ = SP“ × e, P„P“r, P, = PP“ × SP" etc.) Beim Abwickeln von k gelangen die 24 Teilpunkte auf 13 Kreise um den gemeinsamen Mittelpunkt S, deren Radien den bezüglichen Mantellinien gleich sind; die Radien für den größten und kleinsten sind SP und SQ, ; die Abstände je zweier aufeinanderfolgender Teilpunkte auf der Abwickelung von k sind der Seite des k eingeschriebenen regulären 24-Ecks gleich. Auf den 24 abgewickelten Mantellinien (in der Figur sind nur 12 eingezeichnet) trägt man noch die von der Schnittkurve u begrenzten Teilstücke auf (SQ = SQ", SP = SP", etc.) und gewinnt so Punkte der abgewickelten u. Die Tangente im Punkte E von u liegt in E und in der Tangentialebene, die den Kegel längs SEE berührt und deren Spurlinie E T den Kreis k in E, berührt; deshalb ist T = ET × e, der Spurpunkt der gesuchten Tangente (TE berührt u in E). Macht man SR LET und überträgt man das rechtwinklige A SE R sowie E T in die abgewickelte Figur, so ist E R die Tangente des abgewickelten Kreises k im Punkte E und es ist ET die Tangente der abgewickelten Kurve u, da ihr Neigungswinkel gegen SE derselbe ist wie z . E ET auf dem Kegelmantel selbst.

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Die Wendepunkte der abgewickelten k sind X und Y nach 452, denn die Tangentialebenen längs der Umrißlinien SX und SY sind zu TI, senkrecht. Die Wendepunkte der abgewickelten u sind U und Y, wenn die Tangentialebenen längs der Kanten SU und SY auf E senkrecht stehen, d. h. wenn sie das von S auf E gefällte Lot SL enthalten (SL L e.). L ist der erste Spurpunkt dieses Lotes und die Tangenten von Lan k sind die ersten Spurlinien der genannten Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte U. und Y sind die ersten Spurpunkte der beiden Mantellinien, deren Abwickelungen die gesuchten Wendepunkte tragen. Die Punkte P und Q, sind für die abgewickelte k Scheitelpunkte, deren Krümmungsradien P.P, und QQ, sind; denn Z S„QS = Z_Q2Q, M und Z - S„PS = Z_ PP M (S„S' Q„MP, LSM, S„S' = SS) sind die Neigungswinkel von SQ und SP gegen TT, und es ist P. P, =r: cos P2P M und Q, Q2 = r: cos Q2Q, M.

494. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel (Fig. 315).

Nach 453 verstehen wir unter einer geodätischen Kurve auf einer abwickelbaren Fläche eine solche, die bei der Abwickelung in eine Gerade übergeht. Wickeln wir also die Mantelfläche des geraden Kreiskegels ab, wobei wir einen Kreisausschnitt erhalten (vergl. 491), so entspricht jede Gerade auf dem abgewickelten Mantel einer geodätischen Linie auf dem Kegel. Zu allen Geraden auf ersterem, deren Abstände von S unter sich gleich sind, gehören kongruente geodätische Linien auf letzterem; überhaupt sind je zwei geodätische Linien des Kegels ähnliche Kurven. Soll eine geodätische Linie zwei Punkte P und Q der Kegelfläche verbinden, so suche man die entsprechenden Punkte in der Abwickelung auf, verbinde sie durch eine Gerade u und konstruiere nun zu dieser die entsprechende Kurve u auf der Kegelfläche. Zu diesem Zweck teilt man den Grundkreis k in eine Anzahl gleicher Teile, zieht die nach den Teilpunkten verlaufenden Mantellinien, bestimmt ihre Abwickelungen, deren Schnittpunkte mit der Geraden u man wieder auf den Kegel überträgt. Die Linie SA, L u liefert den Punkt A = SA, × u, der dem Scheitel der geodätischen Linie entspricht; die Linien SB sind beide Abwickelungen der nämlichen Mantellinie SB (Bog A, B ist gleich dem halben Umfang von k), deshalb entsprechen ihre auf der Geraden u liegenden Punkte B einem Doppelpunkt B der geodätischen Linie. In der Figur ist ein Teil des Kegelmantels doppelt abgewickelt, weil die geodätische Linie einen Teil der Mantellinien zweimal trifft.

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