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deren Umlegungen K,"", L." sich als Schnittpunkte von GG," mit den zu a" parallelen Mantellinien KK,"" und LL."" ergeben. Hieraus findet man dann K, und L,' und den Mittelpunkt O' von u' aus seiner Umlegung 0,′′ = a′′ × GG1"". JH2 und KL sind konjugierte Durchmesser der Ellipse u', die sich hiernach konstruieren läßt. Sucht man ihre Aufrisse, so erhält man konjugierte Durch

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messer von u", oder man sucht den konjugierten Durchmesser zu R2"S", der in a" liegt.

Die Methode des Umlegens kann man natürlich auch benutzen, um den Schnittpunkt P2 einer beliebigen Mantellinie PP, mit E zu konstruieren. Wie die Ebene П, das Dreieck KK,G enthält, dessen Umlegung KK," G gezeichnet wurde, so enthält die projizierende

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Ebene durch PP, ein zu jenem ähnliches Dreieck, dessen Seiten beim Umlegen zu den Seiten des Dreiecks KK,"G parallel werden. Da eine Ecke P unseres Dreiecks auf k, eine zweite auf

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e, liegt,

so ergiebt sich P," als dritte Ecke desselben und daraus dann P (in der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt).

Die wahre Gestalt u° der Ellipse u gewinnt man durch Umlegen der Ebene E um e,, dadurch gelangt 0, nach 02° (0,"0," 00). Die gesuchte Ellipse u ist aber

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ganz ebenso wie u — zu dem Kreise k affin und e, ist die Affinitätsachse; da man nun ein Paar affiner Punkte O und 0° kennt, kann man hiernach u zeichnen. Den Achsen von u° entsprechen beim Kreise zwei rechtwinklige Durchmesser; schneiden die Achsen e, in den Punkten X und Y, so sind XO und YO die entsprechenden Kreisdurchmesser. Es werden demnach X und Y aus e, durch einen Kreis ausgeschnitten, dessen Mittelpunkt auf e, liegt und der durch O und 0,0 geht. Die Endpunkte der Kreisdurchmesser sind A, B, C, D, die affinen Punkte 4o, B2°, C2°, D2° sind die Endpunkte der Achsen von uo. 489. Zur Abwickelung der Mantelfläche des Cylinders führen wir einen Normalschnitt mit den Spuren n und n, in П, resp. П, aus; seine Schnittellipse v, die k in L berührt, schneidet alle Mantellinien rechtwinklig und geht bei der Abwickelung in eine Gerade über. Wir teilen nun den Grundkreis von L ausgehend in eine Anzahl gleicher Teile, etwa 24, und bezeichnen sie mit: 1(= L), 2, 3 ..., 7(J), 8, ..., 13( = K), 14, ..., 19( = H), 20,... 24; die zugehörigen Mantellinien schneiden v in den Punkten: 1, 2, 3,... ... und u in den Punkten 1, 2, 3u... Die wahre Länge von KN ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck KN" L, das in Fig. 310 noch einmal eingetragen ist; die Strecken 22, 33, KN, wie die Abstände der Punkte 2, 3, 4, man also die Punkte 2, 3, 4, ... auf LK, Lotpunkte von LN den Strecken 22,, 33, 44, die abgewickelten Punkte 2, 3, 4, ... liegen auf den durch die Lotpunkte gezogenen Parallelen zu LN, während die Abwickelung von v in die Verlängerung von LN fällt. Bedenkt man noch, daß die gleichen Kreisbogen 12, 23, 34, ... ihre Länge bei der Abwickelung nicht ändern (451) und daß die Bogen sowohl bei k als bei seiner Abwickelung näherungsweise durch die Sehnen ersetzt werden können, so ergiebt sich die Gleichheit der Sehnen 12, 23, 34, ... des abgewickelten Kreises k. Die Abwickelung von k besteht aus vier symmetrischen Teilen LJ, JK, KH, HL, dabei sind Z und K Scheitel-, H und J Wendepunkte. Die Wendetangente in J schließt mit den

44,

...

...

verhalten sich zu

von n1 zu KL. Lotet so sind die Abstände der resp. gleich, d. h.

...

Mantellinien den NKL α ein; der Krümmungsradius in K ist gleich dem Radius von k dividiert durch cos a.

=

Durch die abgewickelten Punkte 1, 2, 3, 4, ziehen wir die Mantellinien und tragen auf ihnen die Strecken 11, 22, 33μ auf, so erhalten wir Punkte der abgewickelten Ellipse u. Die Strecke 11, ist LL", die andern Strecken werden aus Dreiecken gewonnen, die zu ▲ LL,"G ähnlich sind. Die zu LG homologen Seiten der ähnlichen Dreiecke gehen von den Punkten 2, 3, 4, zu LG parallel und haben ihre andern Endpunkte auf e1.

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...

aus, sind

Zieht

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...

man also durch 2, 3, 4, ... Parallele zu e̟, und durch ihre Schnittpunkte mit LG Parallele zu LL", so werden auf diesen Parallelen durch die Geraden GL und GL," Strecken begrenzt, die den gewünschten Strecken 22, 33, 44w gleich sind. Die Abwickelung von u besteht aus zwei symmetrischen Teilen LJK und KH2l2; denn zwei benachbarte Durchmesser von u schneiden auf u zwei Elemente aus, die gleich lang sind und gegen die Mantellinien die gleiche Neigung besitzen.

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Ein Punkt P2 von u, in dem die Tangentialebene des Cylinders auf E senkrecht steht, liefert bei der Abwickelung einen Wende

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punkt. Eine zu jener Tangentialebene parallele Ebene erhält man also, wenn man durch einen beliebigen Punkt, etwa L2, eine Mantellinie und eine Normale zu E zieht. Z ist der erste Spurpunkt der Mantellinie, M der erste Spurpunkt der Normalen (L'M 1 e1, L,"M"" GG1"", M"M1 a'); LM ist demnach zur Spurlinie jener Tangentialebene parallel, deren Spur PT den Kreis k in P berührt (PT|| LM, PO | LM). Die Tangente von k in P und die Tangente von u in P2 schneiden e, in dem nämlichen Punkte T und bilden das Dreieck PP2T; in der Abwickelung bilden die Tangenten in P und P2 das kongruente Dreieck PPT. Um dieses zu zeichnen verlängert man die Mantellinie bis P1 und fällt von P, auf PT das Lot PU in der ursprünglichen Figur, bestimmt die Abwickelung von P und überträgt das rechtwinklige Dreieck P1UP, von dem man PP1 und PU kennt, trägt PT von P aus auf PU auf und verbindet T mit P2, so ist PT die gesuchte Wendetangente von u, PT die Tangente des abgewickelten Kreises k. Die gleiche Konstruktion läßt sich für die Tangente in jedem Punkte der abgewickelten Ellipse u anwenden; der Krümmungsradius in einem solchen Punkt ergiebt sich aus 444 und 452.

490. Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 311 und 312).

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Man lege durch die Spitze S des Kegels eine Ebene senkrecht zu der ersten Spur e, der Schnittebene E; sie enthält die Kegelachse und steht auf E senkrecht, auf der sie eine Falllinie ƒ ausschneidet; f ist dann offenbar Symmetrielinie oder Achse des gesuchten Kegelschnittes u. Durch Umlegen jener Ebene in П, gelangt S nach S und der Punkt G der Falllinie nach G (G'H' || e1, G′′H || x, G1G' = HH'); FG fo schneidet dann die umgelegten Mantellinien SA, SB in den Punkten J resp. K. Hieraus ergeben sich sofort die beiden Projektionen der Achse JK von u und damit der Mittelpunkt O von u als Mittelpunkt von JK; die zweite Achse von u ist die durch O gehende erste Hauptlinie von E. Um ihre Endpunkte L, M zu finden, benutzen wir eine Ebene, die durch diese Achse und den Scheitel S geht, also die Gerade SO enthält; ihre Spurlinie geht durch Q (Q= 80 × f"), ist zu e, parallel und schneidet den Grundkreis k in C und D. Diese Ebene enthält die Mantellinien SC und SD, auf ihnen liegen die Endpunkte L und M der zweiten Achse, deren Projektionen man also zeichnen kann. Die Ebene durch die Kegelachse parallel zum Aufriß enthält die Mantellinien, welche in П, als Umriß erscheinen; die Projektion ihrer Schnittlinie mit

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E schneidet dieselben in den Berührungspunkten X" und Y′′ von u”. Durch Umlegen von u um e, gewinnt man die wahre Gestalt u der Schnittkurve (F10, F0° etc.). Beliebig viele Punkte von u kann man einfach dadurch konstruieren, daß man durch S irgend welche Ebenen 4 legt, diese mit der Kegelfläche und E schneidet und so jedesmal zwei Punkte von u bekommt. Man gebraucht dabei eine horizontale Hilfsebene durch S, nimmt die erste Spur d, von 4 beliebig an, zieht durch 8 ihre zu d, parallele Hilfsspur d, und

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sucht die Hilfsspur e, von E; die Schnittlinie 4 × E, d. h. die Verbindungslinie von d xe, und d x e,, schneidet die bezüglichen Mantellinien in Punkten der Kurve u. Die Konstruktion ist in der Figur nicht durchgeführt, da sie schon beim Cylinder behandelt ist. Der Kreis k und die Schnittkurve u sind nach 162 perspektive Figuren, S' ist das Centrum, e, die Achse der Perspektivität, e ihre Verschwindungslinie(SE||fo, e, e, geht durch E). Dem Pol Q von e in Bezug auf k entspricht der Mittelpunkt O' von u'; die Tan

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