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deren Umlegungen K„“, L,“ sich als Schnittpunkte von GG“ mit den zu a“ parallelen Mantellinien KK,“ und LL,“ ergeben. Hieraus findet man dann K, und L, und den Mittelpunkt O, von u aus seiner Umlegung O,“ = a“ × GG,“. J„H, und K, L, sind konjugierte Durchmesser der Ellipse u, die sich hiernach konstruieren läßt. Sucht man ihre Aufrisse, so erhält man konjugierte Durch

Fig. 309.

messer von u“, oder man sucht den konjugierten Durchmesser zu R„"S,“, der in a“ liegt. Die Methode des Umlegens kann man natürlich auch benutzen, um den Schnittpunkt P, einer beliebigen Mantellinie PP mit E zu konstruieren. Wie die Ebene TT, das Dreieck KK,G enthält, dessen "mlegung KK,“G gezeichnet wurde, so enthält die projizierende Ebene durch PP ein zu jenem ähnliches Dreieck, dessen Seiten beim Umlegen zu den Seiten des Dreiecks KK„“G parallel werden. Da eine Ecke P unseres Dreiecks auf k, eine zweite auf e liegt, so ergiebt sich P“ als dritte Ecke desselben und daraus dann P“ (in der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt). Die wahre Gestalt u” der Ellipse u gewinnt man durch Umlegen der Ebene E um e, dadurch gelangt O, nach 0," (0,“O, = 0,02). Die gesuchte Ellipse u" ist aber – ganz ebenso wie u – zu dem Kreise k affin und e ist die Affinitätsachse; da man nun ein Paar affiner Punkte 0 und 0," kennt, kann man hiernach u" zeichnen. Den Achsen von u" entsprechen beim Kreise zwei rechtwinklige Durchmesser; schneiden die Achsen e in den Punkten X und Y, so sind XO und YO die entsprechenden Kreisdurchmesser. Es werden demnach X und Y ause durch einen Kreis ausgeschnitten, dessen Mittelpunkt auf e liegt und der durch O und O," geht. Die Endpunkte der Kreisdurchmesser sind A, B, C, D, die affinen Punkte A2", B„", C,", D," sind die Endpunkte der Achsen von u". 489. Zur Abwickelung der Mantelfläche des Cylinders führen wir einen Normalschnitt mit den Spuren n und ng in TT resp. TT, aus; seine Schnittellipse v, die k in L berührt, schneidet alle Mantellinien rechtwinklig und geht bei der Abwickelung in eine Gerade über. Wir teilen nun den Grundkreis von L ausgehend in eine Anzahl gleicher Teile, etwa 24, und bezeichnen sie mit: 1 (= L), 2, 3 ..., 7 (= J), 8, . . ., 13 (= K), 14, ..., 19(= H), 20, ... 24; die zugehörigen Mantellinien schneiden v in den Punkten: 1, 2, 3, . . . und u in den Punkten 1, 2„, 3„ . . . Die wahre Länge von KN ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck KN“ L, das in Fig. 310 noch einmal eingetragen ist; die Strecken 22, 33, 44, . . . verhalten sich zu KM, wie die Abstände der Punkte 2, 3, 4, . . . von n, zu KL. Lotet man also die Punkte 2, 3, 4, . . . auf LK, so sind die Abstände der Lotpunkte von LM den Strecken 22, 33, 44„ . . . resp. gleich, d. h. die abgewickelten Punkte 2, 3, 4, . . . liegen auf den durch die Lotpunkte gezogenen Parallelen zu LN, während die Abwickelung von v in die Verlängerung von LN fällt. Bedenkt man noch, daß die gleichen Kreisbogen 12, 23, 34, . . . ihre Länge bei der Abwickelung nicht ändern (451) und daß die Bogen sowohl bei k als bei seiner Abwickelung näherungsweise durch die Sehnen ersetzt werden können, so ergiebt sich die Gleichheit der Sehnen 12, 23, 34, . . . des abgewickelten Kreises k. Die Abwickelung von k besteht aus vier symmetrischen Teilen LJ, JK, KH, HL, dabei sind L und K Scheitel-, H und J Wendepunkte. Die Wendetangente in J schließt mit den Mantellinien den Z - NKL = a ein; der Krümmungsradius in K ist gleich dem Radius von k dividiert durch cosa. Durch die abgewickelten Punkte 1, 2, 3, 4, . . . ziehen wir die Mantellinien und tragen auf ihnen die Strecken 11„, 22„, 33„, . . . auf, so erhalten wir Punkte der abgewickelten Ellipse u. Die Strecke 11.„ ist = LL2“, die andern Strecken werden aus Dreiecken gewonnen, die zu A LL,“G ähnlich sind. Die zu LG homologen Seiten der ähnlichen Dreiecke gehen von den Punkten 2, 3, 4, . . . aus, sind zu LG parallel und haben ihre andern Endpunkte auf e. Zieht

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Fig, 310.

man also durch 2, 3, 4, . . . Parallele zu e und durch ihre Schnittpunkte mit LG Parallele zu LL,“, so werden auf diesen Parallelen durch die Geraden GL und GL,“ Strecken begrenzt, die den gewünschten Strecken 22, 33., 44., . . . gleich sind. Die Abwickelung von u besteht aus zwei symmetrischen Teilen L2J„K, und K„H, L2; denn zwei benachbarte Durchmesser von u schneiden auf u zwei Elemente aus, die gleich lang sind und gegen die Mantellinien die gleiche Neigung besitzen. Ein Punkt P, von u, in dem die Tangentialebene des Cylinders auf E senkrecht steht, liefert bei der Abwickelung einen Wende

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punkt. Eine zu jener Tangentialebene parallele Ebene erhält man also, wenn man durch einen beliebigen Punkt, etwa L2, eine Mantellinie und eine Normale zu E zieht. L ist der erste Spurpunkt der Mantellinie, M der erste Spurpunkt der Normalen (L, M Le, L,“M“ LGG“, M“M L a); LM ist demnach zur Spurlinie jener Tangentialebene parallel, deren Spur PT den Kreis k in P berührt (PT LM, PO L LM). Die Tangente von k in P und die Tangente von u in P, schneiden e, in dem nämlichen Punkte T und bilden das Dreieck PPT; in der Abwickelung bilden die Tangenten in P und P, das kongruente Dreieck PP, T. Um dieses zu zeichnen verlängert man die Mantellinie bis P und fällt von P auf PT das Lot P U in der ursprünglichen Figur, bestimmt die Abwickelung von P und überträgt das rechtwinklige Dreieck P UP, von dem man PP und PU kennt, trägt PT von P aus auf PU auf und verbindet T mit P, so ist PT die gesuchte Wendetangente von u, PT die Tangente des abgewickelten Kreises k. Die gleiche Konstruktion läßt sich für die Tangente in jedem Punkte der abgewickelten Ellipse u anwenden; der Krümmungsradius in einem solchen Punkt ergiebt sich aus 444 und 452. 490. Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene liegt (Fig. 311 und 312). Man lege durch die Spitze S des Kegels eine Ebene senkrecht zu der ersten Spur e der Schnittebene E; sie enthält die Kegelachse und steht auf E senkrecht, auf der sie eine Falllinie fausschneidet; f“ ist dann offenbar Symmetrielinie oder Achse des gesuchten Kegelschnittes u. Durch Umlegen jener Ebene in TT gelangt S nach So und der Punkt G der Falllinie nach Go (G'He, G“H | x, G„G“ = HI/); FG =f, schneidet dann die umgelegten Mantellinien S4, S„B in den Punkten J resp. K„. Hieraus ergeben sich sofort die beiden Projektionen der Achse JK von u und damit der Mittelpunkt O von u als Mittelpunkt von JK; die zweite Achse von u ist die durch O gehende erste Hauptlinie von E. Um ihre Endpunkte L, M zu finden, benutzen wir eine Ebene, die durch diese Achse und den Scheitel S geht, also die Gerade SO enthält; ihre Spurlinie geht durch Q (Q = S,0% × f“), ist zu e parallel und schneidet den Grundkreis k in C und D. Diese Ebene enthält die Mantellinien SC und SD, auf ihnen liegen die Endpunkte L und M der zweiten Achse, deren Projektionen man also zeichnen kann. Die Ebene durch die Kegelachse parallel zum Aufriß enthält die Mantellinien, welche in TT, als Umriß erscheinen; die Projektion ihrer Schnittlinie mit E schneidet dieselben in den Berührungspunkten X“ und Y“ von u“. Durch Umlegen von u um e gewinnt man die wahre Gestalt u" der Schnittkurve (FO, = FO" etc). Beliebig viele Punkte von u kann man einfach dadurch konstruieren, daß man durch S irgend welche Ebenen A legt, diese mit der Kegelfläche und E schneidet und so jedesmal zwei Punkte von u bekommt. Man gebraucht dabei eine horizontale Hilfsebene durch S, nimmt die erste Spur d von 4 beliebig an, zieht durch S ihre zu d parallele Hilfsspur d, und

Fig. 311.

sucht die Hilfsspur es von E; die Schnittlinie 4 × E, d. h. die Verbindungslinie von d × e und d, × es, schneidet die bezüglichen Mantellinien in Punkten der Kurve u. Die Konstruktion ist in der Figur nicht durchgeführt, da sie schon beim Cylinder behandelt ist. Der Kreis k und die Schnittkurve u sind nach 162 perspektive Figuren, S' ist das Centrum, e, die Achse der Perspektivität, e ihre Verschwindungslinie(S„Ef, e, e, geht durch E). Dem Pol Q von e, in Bezug auf k entspricht der Mittelpunkt O' von u; die Tan

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