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entsprechen den Geraden durch C Kegelschnitte, die alle die vier Punkte X, Y, Z, C enthalten, wenn C der entsprechende Punkt zu C ist; zu diesen Kegelschnitten gehört auch j, da C auf j liegt. Sind aber k und l zwei Gerade durch C, die i in den Punkten K, K respektive L, L schneiden, so schneiden die entsprechenden Kegelschnitte k, und l die Gerade i in den entsprechenden Punkten K, K' respektive L, L. Da jedoch auf i die Punktepaare K, K' und L1, L durch A, B, harmonisch getrennt werden, so werden auch auf i die Punktepaare K, K und L, L durch A, B harmonisch getrennt, d. h. A und B sind konjugierte Punkte in Bezug auf die beiden Kegelschnitte k und l, woraus denn nach dem oben citierten Satze folgt, daß A und B auch hinsichtlich des Kegelschnittes j, konjugiert sind.

Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen.

484. Eine Kugel mit einer Ebene E von vorgegebenen Spuren e, e, zu schneiden (Fig. 306).

Da die Schnittkurve ein Kreis ist, ihre Projektionen aber Ellipsen, so genügt es, zweirechtwinklige Durch- So messer dieses Kreises zu N bestimmen, deren Projektionen konjugierte Durchmesser der Ellipsen sind. Wir legen nun durch den Kugelmittelpunkt 0 eine Ebene 4 senkrecht zu ei; sie ist Symmetrieebene für die Kugel und die Ebene E, also auch für den Schnittkreis u, d. h. f= E × A ist ein Durchmesser von u. Seine Endpunkte A, B bestimmt man am besten, indem man A um eine horizontale Achse a durch O in die Lage 40 parallel zu TT, dreht. Dabei geht der Schnitt von A mit

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der Kugel in und finf= FG über (FF = 0 – z. G=7× 2 Aus A =f × k und B =f × k ergiebt sich sofort die keine Achse A B von u; ihre große Achse ist CD = A, B und ihre Berührungspunkte J, K mit liegen auf G H (H=ax e.), da GH die Schnittlinie von E mit der Ebene des Umrisses ist. Im Aufriß bestimmt man entweder die konjugierten Durchmesser 4'B und CL, oder man verfährt wie beim Grundriß.

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485. Will man die Schnittkurve einer Ebene E mit einer beliebigen Cylinderfläche bestimmen, so sucht man die Schnittpunkte von E mit den Mantellinien des Cylinders, indem man projizierende Ebenen durch sie legt. Ist auf der Cylinderfläche eine Raumkurve u gelegen, deren Projektionen u und u“ man kennt, so geht durch jeden Punkt P von u eine Mantellinie m. Die projizierende Ebene mm schneidet E in einer Geraden s und der Aufriß des Schnittpunktes Q = m × E ist (9“ = m“X s“. Da die projizierenden Ebenen durch die Mantellinien parallel sind, so sind es auch ihre Schnittlinien mit E, wovon man Gebrauch machen kann; dann hat man nur noch ihre ersten Spurpunkte, die auf e liegen, nötig. Soll eine solche Cylinderfläche abgewickelt werden, so muß man zunächst einen ebenen Schnitt senkrecht zu den Mantellinien ausführen und erhält so eine Kurve v, die die Mantellinien senkrecht durchschneidet. Beim Abwickeln des Cylinders, den man als Prisma mit sehr vielen, sehr schmalen Seiten auffassen kann, werden die Mantellinien parallel, und der Normalschnitt v geht in eine zu diesen senkrechte Gerade über (da er sie alle rechtwinklig schneidet). Man wird deshalb durch Niederlegen der Ebene E um e, in TT, die wahre Gestalt vo von v zeichnen (vo und v sind affin), dann vo nach 445 durch Teilen in kleine Strecken und geradliniges Aneinanderreihen derselben rektifizieren. Um zugleich mit dem Cylinder die Kurve u abzuwickeln, zieht man durch die Teilpunkte von v' die Projektionen der Mantellinien und die entsprechenden Mantellinien auf der abgewickelten Fläche; auf den letzteren sind die Strecken zwischen den abgewickelten Kurven proportional den Strecken zwischen u und v auf den ersteren. In der Abwickelung des Cylinders bildet die Kurve u mit den Mantellinien die gleichen Winkel wie auf der ursprünglichen Fläche.

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486. Schnitt eines geraden Kreis cylinders, dessen Grundkreis in TT liegt, mit einer Ebene E, Abwickelung dieser Kurve mit dem Cylindermantel (Fig. 307 u. 308).

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Die Schnittkurve ist eine Ellipse, die zu dem Grundkreise affin ist; man erhält zwei konjugierte Durchmesser derselben, wenn man durch die Cylinderachse irgend zwei zu einander rechtwinklige Hilfsebenen legt und diese mit E schneidet. Legt man speziell durch die Cylinderachse eine Ebene senkrecht und eine Ebene parallel zur Spur e, so erhält man rechtwinklige konjugierte Durchmesser, d. h. die Achsen der Schnittellipse u. Die kleine Achse AB ist als Hauptlinie gleich dem Durchmesser 2r des Grundkreises, die große Achse CD ist als Falllinie gleich 2r: cosa, wenn a der Neigungswinkel der Schnittebene E gegen TT ist. Um die zweite Projektion der Falllinie zu finden ist in der Figur der erste Spurpunkt F und der Punkt D benutzt, durch den die Hauptlinie DE gelegt wurde. A“ B“ und C“ D“ sind konjugierte Durchmesser der Ellipse u“, ihre Berührungspunkte J“, K“ mit dem Umriß erhält man durch Anwendung einer Hilfsebene durch die Cylinderachse parallel zu TT, (J"K“ e,), denn eine solche schneidet den Cylinder in Mantellinien, die im Aufriß als Umrißlinien erscheinen. 487. Zur Abwickelung des Cylindermantels mit der Ellipse u ist noch in der Ebene CDC'D' ein Seitenriß gezeichnet worden (DD“ = (D“ – 3), in der die Ellipse als Gerade u“ erscheint. Der abgewickelte Cylindermantel bildet ein Rechteck von der Höhe des Cylinders und von der Breite 2r t (näherungsweise 6 r). Die Horizontalebene durch M schneidet den Cylinder in einem Kreise, dessen Abstand vom Grundkreise gleich M“M' ist; die Punkte A, R, B, S (wobei RC, SD Mantellinien sind) teilen diesen Kreis in vier gleiche Teile, die man in der Abwickelung zunächst einträgt. In dieser bestimmt man weiter C und D (CR = DS = D“S“), dann geht die abgewickelte Ellipse durch CADBC, ihre Tangenten in C und D sind parallel der Grundlinie des Rechtecks, ihre Tangenten in A und B schließen mit dieser den Winkel a = z M“F M“ ein. A und B sind Wendepunkte der abgewickelten Kurve nach 452, weil die Tangentialebenen des Cylinders in A resp. B auf der Ebene der Ellipse u senkrecht stehen. Je vier symmetrische Punkte von u haben von dem Kreise ARBS gleichen Abstand, wie man aus dem Seitenriß ersieht; die abgewickelte Ellipse besteht deshalb aus vier symmetrischen Teilen. Um weitere Punkte von ihr zu erhalten, teile man den Viertelkreis AR in mehrere gleiche Teile, ziehe die zugehörigen Mantellinien, entnehme aus dem Seitenriß die Abstände der auf ihnen liegenden Ellipsenpunkte von dem Kreise, und trage diese Abstände in der abgewickelten Figur an den entsprechenden Teilpunkten von AR senkrecht zu AR auf (AQ= Bog AQ= Bog AP, QP = Q“P“). Die Tangente in einem Punkte P der Ellipse u projiziert sich im Grundriß als Tangente des Kreises im Punkte P', ihr Spurpunkt T liegt auf e, woraus sich dann ihr Aufriß ergiebt. Der Neigungswinkel der Tangente PT gegen die Mantellinie bestimmt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck PPT und ist gleich Z - TPP, und da derselbe bei der Abwickelung erhalten bleibt, hat man in der abgewickelten Figur nur das genannte Dreieck einzutragen, um die bezügliche Tangente der abgewickelten Ellipse zu erhalten. Der Krümmungsradius OC im Punkte C der abgewickelten Ellipse ist nach 452 gleich dem Krümmungsradius g der Ellipse im Punkte C dividiert durch den Cosinus des Neigungswinkels der Ebene E gegen die Tangentialebene des Cylinders in C, oder es ist: OC =g: sina. Da aber die Halbachsen der Ellipse: r: cosa und

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richtet man demnach in M’“ auf C“ D“ eine Senkrechte, die D“ D' in X scheidet, so ist S“X = r cotg a = OC. 488. Schnitt eines schiefen Kreiscylinders, dessen Grundkreis in TI, liegt, mit einer Ebene E; Abwickelung dieser Kurve mit dem Cylindermantel (Fig. 309 u. 310). Die Schnittkurve ist wiederum eine Elllipse u, die zum Grundkreis k affin ist; ebenso ist ihre Projektion u affin zu k, e, ist die Affinitätsachse. Legt man durch die Cylinderachse a zwei Ebenen, deren Spuren in TT, zu einander rechtwinklig sind, so sind ihre Schnittlinien mit E zwei konjugierte Durchmesser von u. Die Endpunkte dieser Durchmesser liegen auf den bezüglichen Mantellinien, die jene Ebenen aus dem Cylinder ausschneiden. Zur Durchführung dieser Konstruktion benutze man eine Hilfsebene TI, TT, durch den oberen Endkreis des Cylinders und zeichne die Spur e, von E in TT, So z. B. schneidet die Ebene durch a mit der Spur HJ in TT und der Spur HJ in TT, die Ebene E in EE, wo E = HJ × e. und E = HJ × e, ist (e, e, HJ HJ). Da aber H, J die Spurpunkte der Umrißlinien des Cylinders sind, so schneidet EE ihre Projektionen in den Punkten H„, J., wo sie von u berührt werden, zugleich ist O, = EE">< a der Mittelpunkt von u. Legt man durch a eine Ebene, deren erste Spur zum Aufriß parallel ist, so schneidet sie den Cylinder in den Mantellinien, die in TI, als Umriß erscheinen; ihre Schnittlinie mit E hat in TT und TT, die Spurpunkte F und F (O'F | OF r) und es schneidet F“F“, die genannten Umrißlinien in ihren Berührungspunkten R„“ und S,“ mit u“. Die angegebene Konstruktion wird hinfällig für die zu TT, senkrechte Ebene TI, durch a, die wir deshalb um ihre Spur a umlegen. Wir bestimmen zunächst a“ durch Umlegen von O. nach O,“ und GG“ durch Umlegen von G nach G“ (G = TT, × e.),

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