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Ist g zur Achse parallel, so sind es auch g und g“; G und G2 liegen dann beide unendlich fern.

Sind umgekehrt die Projektionen g' und g“ der Geraden g gegeben, so findet man ihre Spurpunkte aus der Bemerkung, daß der Aufriß von G, mit dem Punkt g“ × x und der Grundriß von G, mit dem Punkt g' × r identisch ist.

31. Die Projektion einer (unbegrenzten) Ebene E überdeckt im allgemeinen die betreffende Projektionsebene in ihrer ganzen Ausdehnung und eignet sich daher nicht zur Bestimmung von E. Ausgenommen ist der Fall, wo E auf der Projektionsebene senkrecht steht; die Orthogonalprojektion der Ebene reduziert sich dann auf eine Gerade und genügt zu ihrer Bestimmung. Im allgemeinen Falle dagegen kann zur Darstellung der Ebene entweder die Angabe dreier Punkte oder zweier Geraden derselben durch ihre Grund- und Aufrisse dienen. Am gebräuchlichsten ist es, die Ebene E durch die beiden Geraden

e, = E × TT und e, = E × TI,

darzustellen, die man als ihre erste oder Horizontalspur und ihre zweite oder Vertikalspur bezeichnet (Fig. 22). Die Spuren treffen sich im Achsenschnittpunkte E = E × r und bestimmen E direkt als Verbindungsebene ee2: Ist E zur Achse parallel, so sind es auch ihre Spuren e und e2 und E. ist unendlich fern. Ist E einer Projektionsebene parallel, so liegt in dieser ihre Spur unendlich fern, in der anderen parallel zur Achse. Ist E zu einer Tafelebene normal, so steht in der anderen ihre Spur zur Achse senkrecht. Enthält E die Achse, so fallen beide Spuren e und e, mit dieser zusammen; zur Bestimmung der Ebene bedarf es dann noch der Angabe eines auf ihr liegenden Punktes außerhalb der Achse.

32. Die oben erwähnten speziellen Lagen einer Geraden oder einer Ebene, für die es nötig wird, von der gebräuchlichen Darstellung mittels Projektionen, bez. Spuren in TT und TT, abzuweichen, weil diese zur Bestimmung nicht genügen, können als Beispiele dafür angeführt werden, daß es unter Umständen sich empfiehlt

Fig. 22.

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eine dritte Projektionsebene TI, einzuführen. Man legt dieselbe zumeist gegen TT und TI, also auch gegen die r-Achse senkrecht und bezeichnet sie als Seitenrißebene (Kreuzriß). Die Geraden y = TT × TT, und z = TT, × TT, bezeichnen wir auch als horizontale und vertikale Nebenachse. Der Punkt 0 = TT, X TI, × TI, in dem sich die drei Achsen rechtwinklig schneiden, heißt Ursprung Von O aus werden auf jeder Achse die Strecken nach der einen Seite positiv, nach der anderen negativ gerechnet und zwar auf r nach rechts, auf y nach vorn, auf z nach oben in positivem Sinn. 33. Zu den bisherigen Darstellungselementen eines jeFig. 23. den Grundgebildes - kommt nach Einführung von TT, noch je ein drittes Element neu hinzu: für den Punkt P die dritte Projektion oder der Seitenriß P“, sowie der dritte Abstand PP“ (welcher auf der rechten Seite von TT, positiv gerechnet wird), für eine Gerade g der Seitenrißg“ und der dritte Spurpunkt G = g × TT, für eine Ebene E endlich die dritte Spurlinie e, = E × TT, (Fig, 23). 34. Die drei Ebenen TT, TI, TT, teilen den Raum in acht räumliche Ecken, sie selbst werden durch die Achsen r, y, z in je vier ebene Felder zerlegt. Zur Unterscheidung der möglichen Lagen eines Punktes hinsichtlich der acht Ecken dienen die Vorzeichen der drei Tafelabstände. Die Maßzahlen dieser Abstände bilden die rechtwinkligen Punktkoordinaten in der analytischen Geometrie des Raumes. 35. Es ist unmittelbar ersichtlich, daß in diesem Dreitafelsystem die Darstellung einer Geraden durch ihre Projektionen oder die einer Ebene durch ihre Spuren auch in den oben erwähnten Spezialfällen keine Unbestimmtheit mehr übrig läßt. Eine zur Achse r senkrecht gerichtete, schneidende oder nicht schneidende (windschiefe) Gerade g, die durch ihre ersten beiden Projektionen g und g“ nicht bestimmbar ist, wird durch eine derselben in Verbindung mit der dritten

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(zu ihr selbst parallelen) – /
Projektion g' völlig be- –..
stimmt (Fig. 24). Eine
die Achse r enthaltende Il, -

Ebene E wird durch diese in Verbindung mit der dritten (durch den Ursprung gehenden) Spure, bestimmt (Fig. 25). 36. Im übrigen ist die Einführung einer dritten Projektionsebene (welche zudem den jeweiligen Be- Fig. 24. dingungen der Aufgabe entsprechend noch in anderer Weise gewählt werden kann) als eine der Hilfsmethoden zu betrachten, die wir in der Folge noch weiter zu entwickeln haben werden. Den Hauptbestandteil der Methode der Orthogonalprojektion bildet die Benutzung des rechtwink- II. ligen Zweitafelsystems E oder das Grund- und II,

Aufrißverfahren. -----------------Y37. Die in der Hori- -- " - - > zontal- und Vertikalebene –------ W

konstruierten Projektionen einer Raumfigur sollen II, jetzt in einer und der- -------- --selben Zeichnungs- | |-------- - ebene zur Darstellung gebracht werden. Zu diesem Zwecke wählt man etwa die Aufrißebene als Zeichnungsebene und denkt sich nach Ausführung der Projektionen die Horizontalebene durch Drehung um die Achse r mit der ersteren derart vereinigt, daß der vordere Teil der Grundrißebene (den wir als + TT, bezeichnen wollen) in den unteren Teil der Aufrißebene (– TT.), folglich zugleich der hintere

Fig. 25.

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Teil der Grundrißebene (– TT) in den oberen Teil der Aufrißebene (+ TT,) zu liegen kommt (Fig. 26). Ist eine Seitenrißebene TI, zur Anwendung gekommen, so denkt man sich auch diese mit TT, vereinigt und zwar durch eine solche - - - - - - Drehung um die Achse z, daß +I- s - die vordere Halbebene TI, die ' linke Halbebene TT, deckt. In Fig. 27a und 27b sind die------ - jenigen Quadranten der drei --- .T Projektionsebenen, welche den oben, vorn und rechts gelegenen T - - Raumoktanten begrenzen (in dem alle drei Tafelabstände eines Punktes P positiv sind) >--- – –TI, vor und nach ihrer Umlegung Fig. 26. in die Bildebene dargestellt. Durch die getroffenen (an sich willkürlichen) Festsetzungen über die Anordnung der verschiedenen Projektionen einer Figur in der Zeichnungsebene ist umgekehrt der Übergang von diesen zu ihrer Konstruktion im Raume eindeutig festgelegt.

z l.
II. Z
0
------- TI
b)
Fig. 27.

38. Zur leichteren Orientierung in den Figuren dient außer der Bezeichnung ihrer Punkte, Linien und Flächen durch Buchstaben die folgende Regel für das Zeichnen der Linien. In jeder Figur sind hauptsächliche und nebensächliche Linien zu unterscheiden; zu der ersteren gehören die bei der Problemstellung gegebenen und gesuchten Linien, sowie die Achse der Projektion, zu den letzteren die nur Konstruktionszwecken dienenden Hilfslinien. Die Projektion einer jeden Hauptlinie wird voll ausgezogen, soweit letztere selbst im vorderen, oberen Raumquadranten liegt und sichtbar ist; anderenfalls wird sie punktiert. Nebenlinien werden – ob sichtbar oder unsichtbar – gestrichelt oder strichpunktiert. Für die Beurteilung der Sichtbarkeit ist zu bemerken, daß alle vorkommenden Flächen, ebenso wie die Projektionstafeln als undurchsichtig gelten, sowie daß die Sehrichtung den projizierenden Strahlen in ihrer ursprünglichen Lage folgt und zwar für TT, von oben nach unten, für TI, von vorn nach hinten. Bei der Abbildung allseitig begrenzter Objekte denkt man sich diese zweckmäßig ganz in dem oberen, vorderen Raumquadranten gelegen, wodurch die Darstellung an Übersichtlichkeit gewinnt.

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Darstellung der Grundgebilde: Punkt, Gerade, Ebene in verSchiedenen Lagen.

Wir nehmen die oben geforderte Umlegung der einen Projektionsebene in die andere als vollzogen an nnd betrachten alle möglichen Lagen von Punkten, Geraden und Ebenen gegen das ursprüngliche System und die entsprechende Anordnung ihrer Projektionen resp. Spuren in der Zeichnungsebene.

39. Der Punkt. Die Projektionen P und P“ eines Punktes P liegen in einer zur Achse senkrechten Geraden (Fig. 28). Umgekehrt bilden je zwei Punkte P und P“, deren Verbindungslinie zur Achse senkrecht ist, m. die beiden Projektionen eines Raumpunktes P. Aus einer derselben wird P mittels seines senkrechten Abstandes von der betreffenden Tafel

konstruiert. Der Punkt P liegt – T“ senkrecht über P im Abstand PP = PP, oder senkrecht vor P“ im Abstand PP“ = PP P"

- Fig. 28. P liegt über, auf oder unter TT,

je nachdem P“ oberhalb, auf oder unterhalb der Achse liegt, und befindet sich zugleich vor, auf oder hinter TT, je nachdem P unterhalb, auf oder oberhalb der Achse liegt. Die so unterschiedenen Lagen eines Punktes sind in Fig. 29 dargestellt. Die Punkte P, P, P, P, gehören resp. dem oben vorn, unten vorn, oben hinten,

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