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A

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...

Man ziehe (Fig. 275) um A als Mittelpunkt mehrere Kreise mit zunehmenden Radien, von denen der größte die gegebene Kurve in zwei nahe bei einander liegenden Punkten C1D, schneidet. Auch die übrigen Kreise schneiden Punktepaare CD2, aus und die Mittelpunkte der Sehnen CD, CD2.. bilden eine Fehlerkurve, die die gegebene Kurve in dem Fußpunkt B der gesuchten Normalen schneiden muß. Da nämlich die Fehlerkurve der Ort der Mittelpunkte aller Sehnen ist, die durch die Kreise um den Mittelpunkt A bestimmt werden, so muß der Kreis durch B die Kurve in B berühren, sein Radius AB steht also auf der Kreistangente in B, die zugleich Kurventangente ist, senkrecht. Man muß mindestens drei Hilfskreise anwenden.

D

Fig. 275.

2

2

428. Die Konstruktion der Punkte einer ebenen Kurve kommt stets darauf hinaus, daß jeder solche Kurvenpunkt als Schnittpunkt zweier Hilfskurven erscheint, und zwar sind diese Hilfskurven in sehr vielen Fällen Gerade oder Kreise. Es läßt sich nun eine genaue Tangentenkonstruktion bei einer ebenen Kurve auf die zur Bestimmung ihrer Punkte verwendeten Hilfskurven gründen. 14) Seien P1 und P2 zwei Punkte unserer Kurve c (Fig. 276), seien ferner k1, die Hilfskurven durch P, und k, l, diejenigen durch P2, und zwar derart, daß bei einem stetigen Übergange von P, in P1 die Kurven. kë, là resp. in k1, 4 stetig übergehen. Dann betrachten wir das Viereck P1MP2N (wo M = k1 xl und N = k2 × 4), dessen Seiten × von Stücken der Kurven k1, k, l, l, gebildet werden. Wählen wir nun den Punkt P2 unendlich nahe bei P1, so wird das genannte Viereck unendlich klein; wir können dann seine Seiten als geradlinig ansehen und seine Diagonale PP, fällt offenbar mit der Tangentet von e im. Punkte P1 zusammen. Ferner werden die Kurven k1, ką und ganz ebenso die Kurven 4, 2 in ihrer ganzen · Erstreckung nur unendlich wenig voneinander abweichen, deshalb dürfen wir

g

K

L

K

Fig. 276.

N

K

2

c

(nach 420) PM und PN und analog P1N und PM als parallel ansehen; denn die Neigungswinkel der Gegenseiten sind unendlich klein. Das

Viereck P,MPN wird also beim Übergang zur Grenze ein Parallelogramm, von dessen Seiten zwei in die Tangenten g und h der Kurven k1 und im Punkte P1 fallen. Denken wir uns nun auf der gesuchten Tangente t einen beliebigen Punkt Q und durch ihn Parallelen zu g und h, so entsteht ein Parallelogramm P,M'QN', das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm P1MP,N ähnlich sein und ähnlich liegen muß. Kann man umgekehrt ein Parallelogramm P1M'QN' zeichnen, das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm P1MP2N ähnlich ist und ähnlich liegt, so ist Q ein Punkt der gesuchten Tangente t.

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1

1

Man zeichne deshalb zunächst die Tangenten g und h; die Parallelen g', h' zu g und h, die einen Punkt Q von t liefern, findet man dann folgendermaßen. Kennt man den Wert, den das Verhältnis MP1: NP1 beim Übergang zur Grenze annimmt, so bestimmt man einfach M' und N' auf g resp. h so, daß M'P1: N'P1 diesem Grenzwerte gleich wird, dann geht g' durch N' und h' durch M'. Meistens ist es einfacher statt der Punkte M' und N' zwei andere Punkte L' und K' von g' resp. h' zu konstruieren (vergl. Figg. 277, 278). Durch die Kurven ↳ und ↳ wird auf jeder Geraden durch P1 eine Strecke ausgeschnitten, z. B. auf PL' die Strecke P1L; ganz analoges geschieht durch die Kurven k1, k2 auf den Geraden durch P1, z. B. hat man auf PK' die Strecke PK. Ist nun der Grenzwert PL: P1K bekannt (für den Fall, daß die Kurven k1, k2 und 4, 4, einander unendlich nahe rücken), so bestimme man L' und K′ so, daß P1L': P1K' gleich dem genannten Grenzwerte wird; damit ergeben sich dann g' und h' und ihr Schnittpunkt Q.

Ľ

429. Einige Beispiele werden diese Konstruktion in ihrer Bedeutung richtig erkennen lassen. Sind F, und F, die beiden Brennpunkte einer Ellipse, so erscheinen ihre Punkte als Durchschnitte je zweier Hilfskreise mit den Mittelpunkten F resp. F, und den Radien o, resp. 02, wobei 1+0= 2a, der großen Achse der Ellipse, ist. Entsteht also P, durch Schnitt zweier Kreise mit den Radien und 2, so entsteht sein 01 Nachbarpunkt als Schnitt zweier Kreise mit den Radien (1+8) und (2 — d) wo eine unendlich kleine Größe ist. Die beiden Hilfskreise um F, schneiden also auf FP1 eine Strecke d ab, Gleiches thun die Hilfskreise um F2 auf FP1. Hiernach ist L'P1 = K'P1 beliebig anzunehmen, und L ́Q 1 F11 sowie K'Q ↓ F2P1

2

11

Fig. 277.

1

1

zu ziehen. Die Tangente PQ halbiert also den Nebenwinkel von FPF2, ein Resultat, das bereits früher abgeleitet wurde.

2

:

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2

P1

430. Die Cassini'sche Kurve ist definiert als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen Punkten F1F2 konstant ist. Ist also P11 =01 und P1F1⁄2=021 so besteht die Gleichung 0, 0, c. Ist P2 ein zu P, benachbarter Kurvenpunkt, so erscheint er als Schnitt zweier Kreise mit den Radien: (+8) und (02 — ε), wo und von der 1. Ordnung unendlich klein sein mögen. Die Hilfskreise um F1 bestimmen auf PF eine Strecke, die Hilfskreise um F2 auf P1 F2 eine Strecke, wobei d: 01:02 ist. Denn aus: (P1 + d) (Q2 — ε) = C und 91 92 = с folgt:

F-K

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1 2

&=

Q2d — Q1 ε — dε =0 und durch Division mit & die voranstehende Relation, da das letzte Glied

von der 2. Ordnung unendlich klein ist und den beiden anderen gegenüber wegzulassen ist (415). Wir tragen demnach L'P1 = 01 91 an PF an und K'P1 C2 auf P1F2 auf, so daß K' mit F2 zusammenfällt, dann ist QL1 F1P1 und QK' ■ F1⁄2Ð ̧ und QP1 die gesuchte Tangente in P1.

=

1 2

21

431. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einer festen Geraden a die nämliche konstante Strecke o nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Konchoide (Fig. 279).

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Jeder Punkt dieser Kurve erscheint als Schnitt einer Geraden mit einem Kreis vom Radius o; so liegt P, auf der Geraden OA,P1 und auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt 4, und dem Radius o. Ist

=

1

den

1

nun ⁄ ein Punkt von a in der Nähe von A1, so schneidet OA2 Kreis mit dem Mittelpunkt 4, und dem Radius in dem Kurvenpunkte P2. Eine Parallele zu a durch P1 schneidet jene Gerade OA, im Punkte N und diesen Kreis im Punkte M, wo MP1 = A2A1 ist, (41P1 AM= 0). Es ist aber MP1: NP1 = ÂÂ1: NP1 = Â2O: P10 von der Lage des Strahles OP, unabhängig, repräsentiert also zugleich den Grenzwert. Wir bestimmen deshalb auf der Parallelen zu a durch P, die Punkte M' und N' so, daß M'P1 = 4,0 und N'P, PO ist, dann liefern QM' 1 PO und QN' || PO den Punkt Q der gesuchten Tangente.

=

432. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einem festen Kreise

α

durch O die

nämliche konstante Strecke nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Pascal'sche Schneckenlinie (Fig. 280). Enthält ein Strahl den Kurvenpunkt P, und schneidet den Kreis a in A1, so ändert sich die vorausgegangene Kon

a

Fig. 280.

1

struktion offenbar nur insofern ab, als wir im Punkte P, eine Parallele zur Tangente des Kreises a im Punkte 4, ziehen. Auf dieser Parallelen bestimmen sich M' und N' wieder wie vorher und ebenso auch Q.

433. Zum Schluß mag hier noch eine Anwendung auf eine große Klasse von Kurven gemacht werden, die eine gemeinsame Entstehungsweise haben. Sind zwei beliebige Kurven u und v gegeben und bewegt man einen Winkel so, daß seine Schenkel fortwährend die Kurven u resp. v berühren, so beschreibt sein Scheitel eine Kurve. Als Hilfskurven, die sich in den Punkten. unserer Kurve c schneiden, treten hier einerseits die Tangenten von u, andererseits diejenigen von v auf.

Die folgende Konstruktion ist demnach nur dann anwendbar, wenn man an die Kurven u und v bequem Tangenten legen kann. Zwei benachbarte Tangenten von u und die entsprechenden benachbarten Tangenten von v schließen nun den gleichen unendlich kleinen

Winkel ein; das von ihnen gebildete unendlich kleine Viereck kann als Parallelogramm angesehen werden, da sich seine Gegenseiten nur um unendlich kleine Größen 2. Ordnung unterscheiden. Berühren die Tangenten, die sich in dem Kurvenpunkt P, schneiden, die Kurven u und v resp. in A und B, so ist der Abstand der Parallelogrammseiten, die u berühren, gleich P14. &, ebenso der Ab

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Kurvenu und Kreise, so gelangt man wieder zu der Pascal'schen Schnecke, wie eine einfache Überlegung zeigt. Dabei können irgend zwei Kreise, die die Pascal'sche Schnecke zweimal berühren, als Ausgangskurven gewählt werden.

Krümmung der Kurven, Evoluten.

434. Eine Kurve ist in einem Punkte um so mehr gekrümmt, je rascher sie sich von der Tangente in jenem Punkte entfernt. Ein Kreis zeigt in allen seinen Punkten die gleiche Krümmung, denn er verhält sich gegen alle seine Tangenten in gleicher Weise. Es wird mithin geeignet sein, die Krümmung der Kurven in ihren einzelnen Punkten durch diejenige entsprechender Kreise zu messen. Die Definition der Krümmung bei einem Kreise werden wir nun so

1 Die Bewegung eines Winkels von einer Lage in seine Nachbarlage kann auch durch Drehung um den unendlich kleinen Winkel e geschehen, wobei der auf dem Kreise durch ABP, dem P1 diametral gegenüberliegende Punkt O fest bleibt (Momentan centrum).

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