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Man ziehe (Fig. 275) um A als Mittelpunkt mehrere Kreise mit zunehmenden Radien, von denen der größte die gegebene Kurve in zwei nahe beieinander liegenden Punkten C D, schneidet. Auch die übrigen Kreise schneiden Punktepaare C, D, , . . . aus und die Mittelpunkte der Sehnen C, D, C, D, . . . bilden eine Fehlerkurve, die die gegebene Kurve in dem Fußpunkt B der gesuchten Normalen , schneiden muß. Da nämlich die Fehlerkurve der Ort der Mittelpunkte aller Sehnen ist, die durch die Kreise um den Mittelpunkt A bestimmt werden, so muß der Kreis durch B die Kurve in B berühren, sein Radius A B steht also auf der Kreistangente in B, die zugleich Kurventangente ist, senkrecht. Man muß mindestens drei Hilfskreise Fig. 275. anwenden. 428. Die Konstruktion der Punkte einer ebenen Kurve kommt stets darauf hinaus, daß jeder solche Kurvenpunkt als Schnittpunkt zweier Hilfskurven erscheint, und zwar sind diese Hilfskurven in sehr vielen Fällen Gerade oder Kreise. Es läßt sich nun eine genaue Tangentenkonstruktion bei einer ebenen Kurve auf die zur Bestimmung ihrer Punkte verwendeten Hilfskurven gründen. *) Seien P und P, zwei Punkte unserer Kurve c (Fig. 276), seien ferner k, , die Hilfskurven durch P. und k., l, diejenigen durch P, und zwar derart, daß bei einem stetigen Ubergange von P. in P die Kurven k2, l, resp. in k1, l stetig übergehen. Dann betrachten wir das Viereck PMP, M (wo M = k. × 1 und N = k., x l), dessen Seiten von Stücken der Kurven k, 2, l, l, gebildet werden. Wählen wir nun den Punkt P, unendlich nahe bei P., so wird das genannte Viereck unendlich klein; wir können dann seine Seiten als geradlinig ansehen und seine Diagonale P P, fällt offenbar mit der Tangente t von c im Punkte P zusammen. Ferner werden die Kurven k, k2 – und ganz ebenso die Kurven l, l, – in ihrer ganzen Fig. 276. Erstreckung nur unendlich wenig voneinander abweichen, deshalb dürfen wir (nach 420) P M und P, N und analog P N und PM als parallel ansehen; denn die Neigungswinkel der Gegenseiten sind unendlich klein. Das

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Viereck P MPN wird also beim Übergang zur Grenze ein Parallelogramm, von dessen Seiten zwei in die Tangenten g und h der Kurven k, und l im Punkte P fallen. Denken wir uns nun auf der gesuchten Tangente t einen beliebigen Punkt Q und durch ihn Parallelen zu g und h, so entsteht ein Parallelogramm P M'QM, das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm P MPN ähnlich sein und ähnlich liegen muß. Kann man umgekehrt ein Parallelogramm P M'QM zeichnen, das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm PMPN ähnlich ist und ähnlich liegt, so ist Q ein Punkt der gesuchten Tangente t. Man zeichne deshalb zunächst die Tangenten g und h; die Parallelen g', h' zu g und h, die einen Punkt Q von t liefern, findet man dann folgendermaßen. Kennt man den Wert, den das Verhältnis MP: NP beim Übergang zur Grenze annimmt, so bestimmt man einfach M' und N auf g resp. h so, daß M'P.: MP diesem Grenzwerte gleich wird, dann geht g' durch N' und h' durch M. Meistens ist es einfacher statt der Punkte M' und W zwei andere Punkte L und K' von g' resp. h zu konstruieren (vergl. Figg. 277, 278). Durch die Kurven l und , wird auf jeder Geraden durch P eine Strecke ausgeschnitten, z. B. auf P L' die Strecke P. L; ganz analoges geschieht durch die Kurven k, k, auf den Geraden durch P., z. B. hat man auf PK die Strecke PK. Ist nun der Grenzwert P. L: PK bekannt (für den Fall, daß die Kurven k, k, und l, l, einander unendlich nahe rücken), so bestimme man L. und K. so, daß P. L: PK gleich dem genannten Grenzwerte wird; damit ergeben sich dann g' und h' und ihr Schnittpunkt Q. 429. Einige Beispiele werden diese Konstruktion in ihrer Bedeutung richtig erkennen lassen. Sind F und F, die beiden Brennpunkte einer Ellipse, so erscheinen ihre Punkte als Durchschnitte je zweier Hilfskreise mit den Mittelpunkten F resp. F, und den Radien 0 resp. 02, wobei 91 + 02 = 2 a, der großen Achse der Ellipse, ist. Entsteht also P durch Schnitt zweier Kreise mit den Radien 0 und 02, so entsteht sein Nachbarpunkt als Schnitt zweier Kreise # mit den Radien (0 + Ö) und (02 – Ö) Fig. 277, wo Ö eine unendlich kleine Größe ist. Die beiden Hilfskreise um F schneiden also auf FP eine Strecke ó ab, Gleiches thun die Hilfskreise um F, auf F, P. Hiernach ist LP = KP beliebig anzunehmen, und L'Q L FP sowie K'Q L FP, zu ziehen. Die Tangente PQ halbiert also den Nebenwinkel von FPF, ein Resultat, das bereits früher abgeleitet wurde. 430. Die Cassini'sche Kurve ist definiert als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen Punkten FF, konstant ist. Ist also PF = 0 und PF = 02 so besteht die Gleichung 0 : 0, = c. Ist P, ein zu P benachbarter Kurvenpunkt, so erscheint er als Schnitt zweier Kreise mit den Radien: (0 + Ö) und (02 – s), wo Ö und 8 von der 1. Ordnung unendlich klein sein mögen. Die Hilfskreise um F bestimmen auf PF eine Strecke ö, die Hilfskreise um F, auf P F, eine Strecke s, wobei Ö: s = 0 : o2 ist. Denn aus: (01 + Ö) (02 – 8) = c und 0 02 = c folgt: 02ö– 0,8 Ös=0 und durch Division mit 0,s die voranstehende Relation, da das letzte Glied von der 2. Ordnung unendlich klein ist und den beiden anderen gegenüber wegzulassen ist (415). Wir tragen demnach LP = 0, an PF an und KP = 02 auf PF, auf, so daß K mit F, zusammenfällt, dann ist QL/ L FP und QK L F, P und QP, die gesuchte Tangente in P. 431. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einer festen Geraden a die nämliche konstante Strecke o nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Konchoide (Fig. 279).

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Fig. 279.

Jeder Punkt dieser Kurve erscheint als Schnitt einer Geraden mit

einem Kreis vom Radius g; so liegt P auf der Geraden OA, P und

auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt A und dem Radius g. Ist nun A, ein Punkt von a in der Nähe von A, so schneidet OA, den Kreis mit dem Mittelpunkt A2 und dem Radius 9 in dem Kurvenpunkte P. Eine Parallele zu a durch P schneidet jene Gerade OA, im Punkte M und diesen Kreis im Punkte M, wo MP = A, A, ist, (AP = A2M = 0). Es ist aber MP : NP = A, 4 : NP = A, O: PO von der Lage des Strahles OP, unabhängig, repräsentiert also zugleich den Grenzwert. Wir bestimmen deshalb auf der Parallelen zu a durch P. die Punkte M" und M so, daß MP = A,0 und MP = PO ist, dann liefern QM L PO und QM PO den Punkt Q der gesuchten Tangente. 432. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einem festen Kreise a durch O die nämliche konstante Strecke 9 nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Pascal'sche Schneckenlinie (Fig. 280). Enthält ein Strahl den Kurvenpunkt P und schneidet den Kreis a in A, so ändert sich die vorausgegangene Konstruktion offenbar nur insofern ab, als wir im Punkte P eine Parallele zur Tangente des Kreises a im Punkte A, ziehen. Auf dieser Parallelen bestimmen sich M' und N wieder wie vorher und ebenso auch Q. 433. Zum Schluß mag hier noch eine Anwendung auf eine große Klasse von Kurven gemacht werden, die eine gemeinsame Entstehungsweise haben. Sind zwei beliebige Kurven u und v gegeben und bewegt man einen Winkel so, daß seine Schenkel fortwährend die Kurven u resp. v berühren, so beschreibt sein Scheitel eine Kurve. Als Hilfskurven, die sich in den Punkten unserer Kurve c schneiden, treten hier einerseits die Tangenten von u, andererseits diejenigen von v auf Die folgende Konstruktion ist demnach nur dann anwendbar, wenn man an die Kurven u und v bequem Tangenten legen kann. Zwei benachbarte Tangenten von u und die entsprechenden benachbarten Tangenten von v schließen nun den gleichen unendlich kleinen

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Fig. 280.

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Winkel s ein; das von ihnen gebildete unendlich kleine Viereck kann als Parallelogramm angesehen werden, da sich seine Gegenseiten nur um unendlich kleine Größen 2. Ordnung unterscheiden. Berühren die Tangenten, die sich in dem Kurvenpunkt P schneiden, die Kurven u und v resp. in A und B, so ist der Abstand der Parallelogrammseiten, die u berühren, gleich P A. s, ebenso der Abstand der Seiten, die v be

AT' rühren, gleich P B. s. Tragen

--> wir hiernach P. M L P A und P M LP B auf, indem wir P M = P A und P N = P B machen (in der Fig. 281 ist wegen Mangel an Platz P M' = PA und P N = P B) und ziehen durch M' und N' resp. Parallele zu P.A und P B, so schneiden sich diese in dem Punkte Q der gesuchten Tangente. Dies ist zugleich die Tangente des Kreises, der Fig. 281. durch die Punkte A BP geht." Sind die zu Grunde gelegten Kurven u und v Kreise, so gelangt man wieder zu der Pascal'schen Schnecke, wie eine einfache Überlegung zeigt. Dabei können irgend zwei Kreise, die die Pascal'sche Schnecke zweimal berühren, als Ausgangskurven gewählt werden.

Krümmung der Kurven, Evoluten.

434. Eine Kurve ist in einem Punkte um so mehr gekrümmt, je rascher sie sich von der Tangente in jenem Punkte entfernt. Ein Kreis zeigt in allen seinen Punkten die gleiche Krümmung, denn er verhält sich gegen alle seine Tangenten in gleicher Weise. Es wird mithin geeignet sein, die Krümmung der Kurven in ihren einzelnen Punkten durch diejenige entsprechender Kreise zu messen. Die Definition der Krümmung bei einem Kreise werden wir nun so

Die Bewegung eines Winkels von einer Lage in seine Nachbarlage kann auch durch Drehung um den unendlich kleinen Winkel é geschehen, wobei der auf dem Kreise durch ABP dem P diametral gegenüberliegende Punkt O fest bleibt (Momentancentrum).

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