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420. Durch Bewegung einer Geraden in einer Ebene entsteht ebenfalls eine Kurve, nämlich als Hüllkurve aufeinanderfolgender Lagen der Geraden, ihrer Tangenten. Zwei unmittelbar auf einanderfolgende Lagen der bewegten Geraden liefern benachbarte oder konsekutive Tangenten, deren Winkel unendlich klein ist und als Kontingenzwinkel bezeichnet wird. Diese Erzeugungsweise einer Kurve ist zu der erstgenannten dual und nach den Prinzipien der Dualität (vergl. 343) können wir aus den obigen Resultaten die folgenden ableiten. Betrachten wir eine feste Tangente t unserer Hüllkurve und eine bewegliche, die sich jener unbegrenzt nähert, so bestimmt diese auf t eine Punktreihe, deren Punkte sich bei der Bewegung einer bestimmten Grenzlage A unbegrenzt nähern; A repräsentiert eben den Berührungspunkt von t. Die Kurvenpunkte sind als Schnittpunkte benachbarter Tangenten aufzufassen.

Im Vergleich mit den Endpunkten endlicher Strecken und den Schenkeln meßbarer Winkel sind zwei unendlich nahe Punkte oder zwei Gerade mit unendlich kleinem Winkel als zusammenfallend und nicht verschieden anzusehen. Nur bei dem Grenzprozeß, wenn die gegen Null abnehmende Strecke oder der gegen Null abnehmende Winkel mit andern davon abhängigen Größen verglichen wird, muß auf diese unendlich kleinen Größen Rücksicht genommen werden.

421. Bildet man die Punkte und Tangenten einer ebenen Kurve durch Parallel- oder Centralprojektion ab, so erhält man Punkte und Tangenten einer neuen Kurve, der Projektion der ersteren. Es ist nach den vorausgegangenen Definitionen unmittelbar klar, daß die Stetigkeit einer Kurve eine projektive Eigenschaft ist, d. h. daß sie sich bei beliebiger Projektion nicht ändert. Nur für unendlich ferne Punkte einer Kurve bedarf dies noch der Erläuterung, Projiziert man einen Kurvenpunkt Q unendlich fern, so verlaufen die Projektionen der beiden Kurvenstücke, die in ihm zusammenstoßen, ins Unendliche. Läßt man einen Punkt auf dem einen oder andern unbegrenzten Kurvenast sich nach dem Unendlichen hinbewegen, so nähert sich die zugehörige Tangente in beiden Fällen der nämlichen Grenzlage, die als Asymptote bezeichnet wird und die Tangente in dem gemeinsamen unendlich fernen Punkte der beiden Kurvenäste darstellt. Sie ist eben die Projektion der Tangente in dem Punkte (9 der ursprünglichen Kurve, dessen Projektion ins Unendliche fällt. Da die Teile der ursprünglichen Kurve

Fig. 270.

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in Q zusammenhängen, so sagt man auch von zwei unendlichen Ästen mit der gleichen Asymptote, daß sie im Unendlichen zusammenhängen. Liegt die Kurve in der Nähe des Punktes Q ganz auf einer Seite der Tangente, wie z. B. beim Kreise, so liegen die unendlichen Äste der Projektion auf verschiedenen Seiten ihrer Asymptote, wie z. B. bei der Hyperbel. 422. Wir betrachten jetzt gleichzeitig die beiderlei Erzeugungsweisen einer ebenen Kurve, indem wir einen Punkt mit seiner zugehörigen Tangente ins Auge fassen. Geht der Punkt in eine Nachbarlage über, so schreitet er auf seiner Tangente fort und die benachbarte Tangente entsteht aus der anfänglichen durch Drehung um ihren Berührungspunkt. Auf diese Weise rollt die Tangente auf der Kurve ohne zu gleiten, indem sie sich nur um ihren jeweiligen Berührungspunkt dreht. Das Fortschreiten des Berührungspunktes auf der Tangente kann aber in zweierlei Richtung erfolgen, ebenso kann die Drehung der Tangente um ihren Berührungspunkt in zweierlei Drehsinn stattfinden. Passiert nun der bewegliche Punkt einen festen Punkt P der Kurve und zugleich die bewegliche Tangente eine feste Tangente t, so kann jede der beiden Bewegungen von der andern unabhängig ihren Sinn beibehalten oder umkehren. Entweder bleiben Fortschreitungssinn und Drehsinn beim Passieren von P ungeändert, dann ist P ein gewöhnlicher Kurvenpunkt, oder der Drehsinn ändert sich allein, dann ist P ein Wendepunkt, oder der Fortschreitungssinn allein ändert sich, dann ist P ein Rückkehrpunkt, eine Spitze, oder endlich beide ändern sich gleichzeitig, dann bildet P eine Schnabelspitze (vergl. Fig. 294). Zu diesen besonderen oder singulären Punkten der Kurve gesellt sich noch der Doppelpunkt; es ist ein Punkt, in dem die Kurve sich selbst durchschneidet. Im Doppelpunkt giebt es zwei Tangenten, nämlich an jeden Kurvenast durch ihn eine. Durch das Gesetz der Dualität gelangt man von den Doppelpunkten zu den Doppeltangenten, diese besitzen zwei Berührungspunkte (Fig.271). Rückkehrpunkte Fig. 271. und Wendepunkte entsprechen sich nach dem Gesetz der Dualität gegenseitig, während die Schnabelspitze sich selbst entspricht. Durch Vereinigung mehrerer solcher singulärer Punkte können höhere Singularitäten entstehen, so die Selbstberührungspunkte, die vielfachen Punkte u. s. w.; die aufgezählten Vorkommnisse werden indes für unsere weiteren Untersuchungen genügen.”)

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Es ist hier noch darauf hinzuweisen, daß auch gelegentlich einzelne Punkte – die keinem Kurvenast angehören – einer Kurve zuzurechnen sind, indem sie dem nämlichen Gesetze entsprechen wie die übrigen Kurvenpunkte. Solche Punkte heißen isolierte Punkte und sind als Doppelpunkte aufzufassen, durch die indes keine reellen Tangenten gehen.

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

423. In vielen Fällen lassen sich direkt aus der geometrischen Definition einer Kurve beliebig viele Punkte derselben und in ihnen die Tangenten konstruieren. Mittels dieser Punkte und Tangenten oder auch der Punkte allein kann dann die Kurve mit ziemlicher Genauigkeit gezeichnet werden, wenn sie in den Punkten und Tangenten stetig ist, und nur mit solchen Kurven werden wir es zu thun haben. Durch Übung erlangt man ein so empfindliches Gefühl für den stetigen Verlauf einer Kurve, daß man sich schon mit verhältnismäßig wenigen Punkten begnügen kann und gleichwohl eine genaue Zeichnung der Kurve gewinnt. Dabei ist zu bemerken, daß man gut thut, dort wo die Kurve schärfer gekrümmt ist, mehr Punkte zu bestimmen als wo sie nur wenig gekrümmt ist. Da die Bestimmung einzelner Kurvenpunkte immer mit geringen Fehlern behaftet ist, so kann es, wenn zu viele Punkte bestimmt sind, vorkommen, daß eine durch diese Punkte gezogene Kurve eine fehlerhafte wellige Form annimmt; die Kurve muß dann so gezeichnet werden, daß sie einen richtigen Eindruck macht, wobei die bestimmten Punkte teils auf der Kurve, teils rechts und links in kleinen Abständen – den Fehlern entsprechend – liegen müssen. Im allgemeinen ist es zweckmäßig, außer Punkten auch einige Tangenten, und wo es leicht ausführbar ist, Krümmungskreise aufzusuchen.

424. Liegt nun eine Kurve gezeichnet vor, so läßt sich die Aufgabe lösen, von einem Punkte A an dieselbe die Tangente t zu legen und deren Berührungs

A? punkt B zu bestimmen (Fig. 272). L“ Z _7 Die Tangente zieht man direkt Z“

durch Anlegen des Lineals, was sich leicht mit großer Schärfe ausführen läßt. Dagegen wird ihr Berührungspunkt B ungenau; durch Bestimmung einer durch ihn verlaufenden sogenannten Fehlerkurve kann er indessen mit ziemlicher Genauigkeit gefunden werden. Zieht man

Fig. 272.

nämlich durch A mehrere Sehnen – gewöhnlich zwei oder drei – die der Tangente ziemlich nahe liegen, so liegen ihre Mittelpunkte auf einer Kurve, die verlängert offenbar durch den gesuchten Berührungspunkt B verlaufen muß. Denn die Sehnen durch A kann man, wenn sie der Tangente sehr nahe kommen, als fehlerhafte Tangenten auffassen; ihre Mittelpunkte M, M., . . . aber nähern sich dem Berührungspunkte B, da die wirkliche Tangente eine unendlich kleine Sehne und ihr Mittelpunkt den Berührungspunkt bildet. Die der Tangente am nächsten liegende Sehne muß so gewählt werden, daß sie noch brauchbare Schnittpunkte mit der Kurve bildet, aber sich doch nicht zu weit von der Tangente entfernt. Liegt der Punkt A unendlich fern, d. h. sollt eine vorgeschriebene Richtung aufweisen, so verfährt man ganz wie vorher, nur werden dann die benutzten Sehnen parallel. Man kann auch andere Fehlerkurven benutzen, doch darf man sich auf die angegebene als die einfachste beschränken, da sie nicht weniger genau als andere ist. Fällt der gesuchte Punkt B in die Nähe eines Wendepunktes der Kurve, so ist die Konstruktion nicht mehr direkt anwendbar, weil die Strahlen aus A die Kurve in der Umgebung des Wendepunktes nur in je einem Punkte schneiden. Man zieht dann durch A zwei Paar Strahlen, symmetrisch in Bezug auf eine der Wendetangente nahekommende Linie, und bestimmt die zu ihren Schnittpunkten mit der Kurve symmetrischen Punkte. Jetzt liegen wieder auf jedem Strahl zwei Punkte und die Mittelpunkte ihrer Strecken ergeben die Fehlerkurve. Es mag bemerkt werden, daß die Fehlerkurve bei einem Kreise wieder ein Kreis, bei einem Kegelschnitt wieder ein Kegelschnitt ist. 425. In einem Punkt B einer Kurve, die gezeichnet vorliegt, die Tangente zu ziehen (Fig. 273). Um B als Mittelpunkt beschreibe man einen Kreis und lege verschiedene Gerade durch B. Auf diesen schneidet die gegebene Kurve die Sehnen BC, BC, . . . aus, während der Kreis auf ihnen die Radien BD, BD2, . . . bestimmt, die von B aus nach derselben Seite liegen. Verschiebt man nun auf diesen Geraden die Sehnen BC, BC, . . . bis ihr Endpunkt B nach D, D, . . . fällt, so definieren ihre andern

Fig. 273.

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Endpunkte, die in E, E, . . . liegen, eine Fehlerkurve. Auf jedem Strahl durch B ist nun die Strecke zwischen Kreis und Fehlerkurve gleich der Länge der bezüglichen Sehne, also geht die gesuchte Tangente t durch den Schnittpunkt E von Kreis und Fehlerkurve. Schneidet der Kreis die gegebene Kurve in C und C, so fällt E, mit B zusammen und es ist BD, = D, E,; die Fehlerkurve berührt also die Gerade BC im Punkte B. Außer den Strahlen BC und BD, wird man noch zwei weitere BC und BC, benutzen, für welche BC = BC, nahezu dem halben Kreisradius gleich ist. Statt des Hilfskreises kann man auch jede andere Hilfskurve wählen, z. B. mit Vorteil eine Gerade, die mit der gesuchten Tangente nahezu einen rechten Winkel einschließt.

426. Ein anderes zweckmäßiges Verfahren besteht darin, daß man um B Kreise schlägt, die auf der gegebenen Kurve Punktepaare CD, C, D, . . . ausschneiden (Fig. 274). Die Geraden C, D, C, D, . . . umhüllen dann eine Kurve, die auch von der gesuchten

Fig. 274.

Tangente berührt werden muß. Denn die letztere ergiebt sich durch Benutzung eines Kreises mit unendlich kleinem Radius. Es sind mindestens drei Hilfskreise zu benutzen; durch die bezüglichen drei Geraden als Tangenten wird dann angenähert ein Kurvenstück bestimmt, mit dessen Hilfe die gesuchte Tangente sich zeichnen läßt. Die durch die Hilfskreise bestimmten Geraden schneiden sich zwar unter sehr spitzen Winkeln, so daß ihre Schnittpunkte nicht sehr genau werden; das hat indessen wenig Einfluß auf die Genauigkeit des Resultates. Da die Normale in einem Punkte einer Kurve diejenige Gerade ist, die auf der bezüglichen Tangente senkrecht steht, so kann nach dem Vorausgehenden mit Hilfe der Tangente die Normale in einem gegebenen Kurvenpunkte bezeichnet werden. Dagegen bedarf die folgende Aufgabe noch der Erwägung.

427. Von einem Punkte A außerhalb einer in Zeichnung vorliegenden Kurve an dieselbe eine Normale zu ziehen.

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